Teoria della Probabilità (3di3)

Lecce di V.c. Cont.

Se condite due X₁ ... X_n a costruire la nuove v.c dati dalle somme:

_{Wn = X1 + ... + Xn}

1. E(W_n) = E(X₁) + ... + E(X_n)
2. Var(W_n) = ∑Var(X_i) + 2∑cov(X_i, X_j)

Se sono incorrelate:

1. E(W) = E(X) + E(Y)
2. Var(W) = Var(X) + Var(Y)

cov(X, Y) = 0

F.V.N.A

E(X+Y) = ∫∫ (x+y) f_n(x) f_y(y) dxdy

E(x) = ∫ x f_x dx

E(y) = ∫ y f_y dy

∫ f_W(w) = ∫∫ f_xy(wx,y) f_y(y) dy

= ∫ f_x(x) f_y(w-x) dx

Con W = X+Y

X = W-Y

Y = W-X

∫ f_W(w,x) = ∫∫ f_xy(y,w-x,y) dy

Nota:

Se due v.e continue sono recl. indipendenti → Lo p.d.f della somma si calcola attraverso l'integrale di

Proprietà → Convoluzione di due reti: triangolo

E(Z_m) = E (X_j+β) − ½ (E(X_j)+β) + ½ [E(X_j−X_n+j) − ημ_j] + ½ (ημ_n−ημ_n+j)

E(Z_m) = 0

Var(Z_2m) = Ver ((X₁+β)²) = Ver (X_j) − ½ Ver(X) = ½ ^ηVar(X) = η Var(X) = η Ϭ²₁ / Ϭ²

Var(Z_n) = ^q2 / _{η dt} = ^l

cioè definisco una v.a. Z_n ^{Σ_i=1n(X_i) − qμ} / _{√n α}

allora ⟹

Teor. La Z_2m posì delle seguenti propietà:

1. die F_2m(Z) − Ⲫ (Z)

Inoltre vediamo che:

s.a. W_m = X₁+ . . . + X_m ⟹

cioè Z_n = ^{W_m−η μ} / √η (Ϭ²_i) +η μ

Def: Ensemble

Ex: l'insieme di tutte le possibili traiettorie di un processo stocastico

Immaginiamo di studiare il comportamento di un segnale, quando forniamo un certo r: r

esempio:

u(t) = A cos (wt_t) - su

(X(t) è uno scalare)

È finito si sa che un processo stocastico definire una v. a. da funzioni del tempo contenere uno o più parametri aleatori

² ₁ cos(wt_t)

Nota

L'ensemble è limitato approssimante è inflessamente

Calcolo il th_o del 2^o ordine:

E (x² + t_n), E (R²[cos (nŷ y)]⁻²)

− [cos (xŷ)]⁻¹ E (t R²)

Esercizio 1: Sezione - Affidabilità

• Il tale settore si occupa di dare le cose si risparmio e quando c’è voluto livano il
• attività gestionale dentro alla progettazione.
• Sue x tipo al questo tale la fallire

(m. x, t. f.)

sistemi interconnessi scrivono uno schema ai blocchi

Sia dato un sistema costituito da 3 blocchi:

• S₁, S₂, S₃
• i = 1, 2, 3
• tempo al giunto

Note:

al tempo sue to fallire si accorda ad una graduazione con ordinativo tecnologica

risollevabile con esp. motivativo

f_x (t) − {1/6 e^−1t, t > 20, t > 20}

altrove

benzi bidimensionali

Siano date due v.c. X, Y con supporto S ⊆ (X,Y)[0, u₂].

Determinare se assomano stocasticamente indipendenti sapendo che

f_X,Y(x,y) ≈ 1/u₂

Volume = 1/∬_0,0^u,u f_X,Y(x,y) dx dy

x = y + f = u₂

{ 0<x,u

0,y,u

Calcolo la marginale ⇒

f(x)=> ∫ f_X,Y(x,y) dy = ∫₀^u 1/u₂ dy = 1/u o 0{x,u

f(y)=∫₁ f_X,Y(x,y) dx = ∫₀^u 1/u₂ dx = 1/u o 0u

⇒ f_X,Y(x,y)=1/u₂ = 1/u * 1/u → f_(x)f_(y)

⇒ sono stoch. indip.

D (u,v)∈

e otteniamo invece una nuovo p_2Lois che sia data da: f_X,Y(x,y) = (0, altrove)

[se _t > 0] ⇒ cov (xt, xt+s)= cov (x_s) cov (x_s)

[E (x_u) - E]^2= Var (Xt)

prop. di auto covarianza

R_τ(Xt, Xτ) = E(X(t) X(t+τ))

se R_τ(Xτ, Xτ) = 0 ⇒ X(t) e X(t+τ) sono ortogonali

tempo discreto

R_τ(X_m, X_n+k) = E(X_m) X(n+k))

Calcolo la autocorrelazione.

{cov(X(t), X(t)) = cov(X(t)) X(t+r)) + R_τ(s)

{cov(X_m, X_n)) cov(X_tm X(tm+k)) = cov(yn)k) => 2π λm λn

Sippona di avere una sequenza i.i.d di vv. ee. (indipendienti e identic distributed), i.e.

X₁, X_o, X_i, ...

(per cercare)

( E(x_i) = 0 Var (X_i) = i / ∀

X_n Altro Y_n (Xm┤Xn-i), n∊Z

Calcolo l'auto covarianza di X

(rotrarer è Y_i, X_o, Y_n ...

Si evidenzia il fatto che la convergenza è nulla per k = 1, 0, 1 => dove l’uscita è quindi ancora correlata ed è quindi prevedibile.

Prove per viste che d’intorno più di una, limite tendente k a 0, primo hanno convergenza nulla quindi sono imprevedibile per k che diverge.

Fornire informazione . . . quanto ne possono contenere in rc secondi.

Se kera è elevato => l’andamento del processo non veloce di molto.

Se invece tende a zero => meno (UPK), vie grande variabilità e tende quindi ad avere ancora imprevedibile. È anche autocorrelazione di k(t+s) … .

Cel: Processi stazionari in senso stretto ciel sono integrali

∀ t > t₁ => X(t) è una variabile aleatoria con pd.f p_x(t)(x), i resti altri in tale.

Antecedente sia t ₁ la differenze dipende tra en => x(t)

Def. Processo Boiano (oscillante)

Un X(t) processo stocastico è detto tale se:

• è finitario
• a _n quasi 0
• è in R^m – U₀

Def. Processo Stocastico (rumore)

(X(t)) Di tale se decade che ~k e finisce attraverso R_xy(λ, τ) = E(X(λ)(a(t)), ⋯, a(u))

Se X(t), Y(t) sono 2 vetta flurances> allora le due componenti sono tutte flurance

Teorema per i processi fluranti

Se è fluechero integrando in senso lato lo è anche in senso stretto.

Def. Conversazione

Se non conciliare per due processi stocastici X(t) e Y(t) è R_xy(λ, τ) = E(X(λ)(Y(λ + τ)))

Def. P.S. Congruentemente Storicovolta (in senso lato)

X(t) e Y(t) p.s. sono tali se:

• a(t) e Y(t) sono emorema in senso lato
• R_xy(λ, τ^z) = R_xy(φ(t)) = R_xy(τ)

Meta

Un esempio di processo produttivo che attribuisce a nel campo della produzione

di pezzi a controllo numerico entro tolleranze controllo meccanico

Vettori Causa

_12/12/16

in n-dimensioni → il punto di vista della

relazione testo:

F_x1,x2,x3 (x₁,x₂,x₃) = P

Cioè nel caso n=3 →

Ch_m

n-dim.

F_x1,...,xm (x₁,...,x_m)

= P_x1,x...n

(n <= m)

∫_x1,...,xm (x₁,...,x_n) = D^m

___{Fx1,x....n(x1,...,xm)}__

______[2x₁x₂...2x_m]__