Statistica e teoria della probabilità - Esercitazioni

Esercizi Prova di esame, Promusica

Probabilità

1. Una classe è composta da 20 studenti, di cui 12 femmine e 8 maschi. Vengono estratti 2 studenti a caso, senza reinmissione.

a) Calcolare la prob. che entrambi gli studenti siano femmine

- eventi indipendenti

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) = (12/20) ⋅ (11/19) = 34,74%

b) Se il 1^o studente è maschio, qual è la prob. che il 2^o estratto sia femmina

- eventi indipendenti

P(A|B) = P(A) = (12/20) = 60%

c) Qual è la prob. che entrambi gli studenti siano dello stesso sesso

- eventi indipendenti + incompatibilità

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) + P(B) ⋅ P(B)

= (12/20) (11/19) + (8/20) (7/19) = 50%

d) E la prob. che siano di sesso ῾*

2P(A) ⋅ P(B) = 2 (12/20) ⋅ (8/19) = 50,52%

e) Una 2^a classe è composta da 14 femmine e 6 maschi; Vi estrae a caso uno studente da una delle 2 classi. Qual è la prob. che sia maschio?

_F12 P = 1/2 _{F14 M8 M6} P = 1/2

P(B) = 1/2 ⋅ (8/20) + 1/2 ⋅ (6/20) = 35%

2.

Un'urna è composta da 20 palline, di cui 12 verdi, 6 bianche e 2 rosse; vengono estratte due palline senza reimmissione

_{12 V 6 B 2 R 20}

a. entrambe le palline sono bianche:

• eventi indipendenti

^P(B).^P(B) = (⁶/₂₀) (⁵/₁₉) = 7,89%

b. qual è prob. di ottenere solo palline Verdi e Bianche

• eventi indip. e incompatibili

P(V).^P(V) + P(B).^P(B) + 2 P(V).^P(B) =

= (¹²/₂₀) (¹¹/₁₉) + (⁶/₂₀) (⁵/₁₉) + 2 (¹²/₂₀) (⁶/₁₉) = 80,53%

c. qual è prob. di estrarre due palline dello stesso colore?

• eventi indip. e incompatibili

P(V).^P(V) + P(B).^P(B) + P(R).^P(R) =

= (¹²/₂₀) (¹¹/₁₉) + (⁶/₂₀) (⁵/₁₉) + (²/₂₀) (¹/₁₉) = 43,16%

d. Se la 2a estratta è B, quale prob. che la 1a sia V?

• eventi independenti

P(V) = (¹²/₂₀) = 60%

e. Si supponga si partecipi a un gioco in un'unica estrazione:

• Si vince 1 se la pallina estratta è V, si perde 1 se è B, e non si vince se è R. Si calcoli il guadagno atteso. Il gioco è equo?

x P 1 12/20 -1 6/20 0 2/20

E[X] = 1. (¹²/₂₀) + (-1). (⁶/₂₀) + 0.(²/₂₀) = 0,3

gioco equo =

E[X] = 1. (¹/₃) + (-1). (¹/₃) + 0. (¹/₃) = 0

_E[X] = ^0,3/_≠0 il gioco non è equo

8.

Un condominio turistico in zona Stadio delle Alpi è abitato da 60 XX, di cui 40 femmine e 20 maschi. Intervistati i condomini, il 90% dei maschi ha dichiarato di seguire le partite del campionato dei mondiali di calcio, mentre solo il 40% delle femmine le segue.

60 Xsone

40 F ➔ 0,4 → 2/3 → 16F

20M ➔ 0,9 → 1/3 → 18M

a.

Estratto a caso uno xzone, calcolo la prob. che guardi le partite

• probabilità totali

P(A) = (2/3 * 0,4) + (1/3 * 0,9) = 56,6%

b.

Sapendo che la xs. estratto guarda le partite, con quale prob. è F?

• Teorema di Bayes

P = (2/3 * 0,4) / ((2/3 * 0,4) + (1/3 * 0,9)) = 0,4%:

c.

Vengono estratti 2 condomini senza rinunissione: quale prob. che guardino entrambi il campionato

16 + 18 = 34 (si partite)

26 (no partite)

P(C) * P(C) = (34/60) * (33/59) = 31.69%

d.

Quake prob. che entrambi non lo guardino

P(NC) * P(NC) = (26/60 * 25/59) = 18,36%

e.

Vengono estratti 3 condomini senza rinunissione. Quake prob. siano tutte femmine.

• eventi indip.

P(F) * P(F) * P(F) = (40/60) * (39/59) * (38/58) = 28.87%

Esercizi Teoria della Probabilitá

1.

Siano A e B 2 eventi e P una misura di probabilitá. Dimostrare:

1. P(̅A) = 1 - P(A)

   La probabilitá del complementare é 1 meno la Prob di A

   ∀ A ∈ A , P(A) + P(̅A) = 1

   essendo Ω = A ∪ ̅A

2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

   La prob. dell'unione di due qualsian° eventi é data dalla somma delle loro probabilitá meno la probabilitá della loro intersezione.

3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B - (A ∩ B)

   = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

   Si esprime A ∪ B come unione di insiemi disgiunti

4. Teorema delle probabilitá totali

   P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|̅B) P(̅B)

   dim. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ ̅B)

   P(A ∩ B) = P(A|B) P(B)

   che deriva da P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

   P(A ∩ ̅B) = P(A|̅B) (1 - P(B))

   che deriva da P(A|̅B) = P(A ∩ ̅B)

   quindi P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|̅B) (1 - P(B))