Teoria della Probabilità (2di3)

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Appunti relativi alle lezioni frontali de prof. Paolo Carbone ad opera del publisher Maxbrix. Costituiscono appunti estesi per l'esame sottostante. Contenuti:-Indicatori di Coppie di v.a.: …

Esame Teoria della probabilità

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Carbone Paolo

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2016-2017

71 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Esercizio 1

U = uscita il n^o un uomo

F = uscita il n^o una pallina

Questi eventi nec dson con la stor prob gqn month?

A) FFF UUU
B) FUUUUFUUU
C) UUU UUU1^o equiprob

Esercizio 2

Si estraggono 5 palline da un recipiente contenente 5R e 5B.

P(R⁵) = 5/10 - 4/2 e P(B⁵) = 5/10 - 3/2

Calcolare P(.5 palline blu) = (₅C₅) / (₁₀C₅) = 0,9%

Esercizio 3

Si lano largo 2 decl a 6 facce sando io numeri e suinte alcuni 6. Fai culare, Maeno us 5Λ− − − 6Ω 6 36B: ulavio un 5

P(A) : 25 / 36Ω H M P(B ⋂ A) = 9 / 25Muevo

Esercizio 4

M = medita 1/mar

F = medita 2/uno studente

Questi eventi accadano con la stessa prob. quanto?

TFF MMMFMU FEMMUU MUM

Esercizio 5

Sia estraggono 5 palline da un recipiente con dentro 5R e 5B.

P(R) = 5/10 = 4/2 e P(B) = 5/10 = 4/2

Calcola P(5 palline blu) = (5 su 5) / (10 su 5) = 0,041%

Esercizio 6

A: [lanciare 2 dadi a 6 facce uguali e non] e [sortito almeno 6]

Omega : 36Uscivo un 5

P(A) : 25 / 36Mi restringo

Esercizio 7

Si lanciano 2 dadi e si facie e si considera il simbolo A: casuale (variabili statistiche)

Da def. X v.c. = ^{ 1, se A < 6 _0, altrimenti

Y v.c. = ^{ 1, se A > 7 _0, altrimenti

p_x,y(x,y) = P(Ω_x, Y=y)

A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

ΩX: ^{ 1 Ω (1,3,2), (4,3); (4;2;3) _0, altrimenti

Y : ^{ 1 Ω (4,1), (5,2), (2;1) _0, altrimenti

Allora le p.d.f. congiunte:

p_X,Y(x,y) p_x(y) ^O 0 6/16 3/80 01 6/16 1/16 3/81 3/8 5/8

p_X(h) 3/8 5/8le parole dell'or. costruimo l'elenco

Calcolo

r_xy = E(x,y) = ∑∑ x_iy_j p_xy(x_iy_j)1 1/32 p_xy(x_iy_j) = 1/64p(y)1/2 = 25/32

Cov(x, y) = r_xy - µ_xµ_yn = 8, exit

Esercizio 8

Siano B e D due eventi → implica la legge delle probabilità.

Esercizio 9

Lancio di una moneta 5 volte. X, n° teste nei primi 3 lanci → a° X "B(3,p)"

Y, n° teste negli ultimi 3

P(X = x) = p(x) = (3 x) p^x (1-p)^3-x, con p=1/2

P(X ≥ 2 | X ≥ Y)

P(y=y), p_γ(y)= (5 y) p^y (1-p)^5-y, con y ≤ 3

Calcolo

h 2⁵ = 32 usiti, (quintuple di usiti) T/C

Esercizio:

\[ \sum_{x=0}^{\infty} x^m \cdot \frac{1}{1-\lambda}, \quad |x| \] \[ \Phi(\lambda \geq 2) = \sum_{x=2}^{\infty} p(x|\lambda) - \sum_{x=0}^{1} p(x|\lambda)\] \[= \sum_{x=0}^{\infty} p(x|\lambda) - p(x|0) - p(x|1)\] \[ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^3}{3!} p \cdot (1-p) - \left(\lambda - p\right)^3 - 3\left(p\left(4-p\right)^2\right) \] \[ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{3^x}{3!\cdot(x-1)!}p^n \cdot (1-p)^{3-x}\] \[= 1 + p(x|0) - p(x|1) - 1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\] \[1 - 1 - \frac{1}{8} - 3 \cdot \frac{1}{2}\] \[ \Phi(X \geq Y) \Rightarrow Costruire \text{ la tabella }\]

(x,y)_(x,y)

P(x,y)

0123Y=0(0,0)2/324/320Y=112/324/326/321Y=221/321/321/321/32Y=304/324/323

P^\[\text{P}(\lambda \ge 2) \Rightarrow P(X \ge 2 | X \ge 1) :\]

\[= P(x_1(x_0) \cdot p(x_2|1) + p(x_1|2) + p(x_1|3) \cdot p(x_2|3) + p(x_3|3))\] \[= \frac{3}{16} - \frac{1}{4}\]

Elenco variabili

M₁ M₂ M₃ M₄ M₅ X Y X∨Y X→Y X22T T T T T 3 3 2 ✓ ✓T T T T C 3 3 2 ✓ ✓T T T F T 3 2 2 ✓ ✓T T F T T 3 2 2 ✓ ✓T T C F T 2 2 2 ✓ ✓T C T T T 2 2 2 ✓ ✓T C T T C 2 2 2 ✓ ✓T C C T T 2 2 2 ✓ ✓T C C F T 2 2 2 ✓ ✓T C T F C 2 2 2 ✓ ✓T C C T C 2 2 2 ✓ ✓T C C F C 2 1 0T T C T C 2 1 0T T F T C 2 2 2 ✓

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