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Esercizio 1
M = uscita di un maschio F = uscita di una femmina
Questi eventi succedono con la stessa prob. quanto?
- FFF MMM
- FMM FFM
- MMM MMM
Esercizio 2
S'estraggono 5 palline da un recipiente contenente 5R e 5B.
P(R) = 5/10 = 4/2 e P(B) = 5/10 = 4/2
Calcolare P(5 palline blu):
9,1%
Esercizio 3
Si lanciano 2 dadi e si felice sapendo che non è uscito alcun 6
(almeno un 5)
ω = 6⁶ = 36
B: almeno un 5
P(A): 25/36
P(B|A) = 9/25
Esercizio
Data una funzione X definita tale per cui si considera il singoletto A = {li estristi rimettosi}
Per defi. X v.s. = {1, se A < 6, 0, altrimenti}
Y v.s. = {1, se A ≥ 7, 0, altrimenti}
Px,y(x,y) = P(tx = x, ty = y)
A = {2, 3, 5, 6, 7, 8}
X = {1, Ω = {(1, 3), (4, 3), (6, 2)}, 0, altrimenti}
Y = {1, Ω = {(4, 1), (5, 1), (7, 1)}, 0, altrimenti}
Allora la P.O.F.: congiunta è:
- Px,y(x,y)
- Py(y)
Px(x) = 3/8 5/8
Ricordiamo che:
cov (x,y) = E (x - μx) (y - μy)
rxy = E (x; y)
ρx, y = cov (x,y) / √var(x) var(y)
Il Coefficente di Correlazione
ρxy = cov (x,y) / √[var(x) var(y)]
coeff. di corr. el.
Funzione di densità di Prob.
pX|B(n) = p(n) / P(B) , n ∈ B , P(B) > 0
= 0 , altrimenti
pX|Y,B(x,y) = P(x=x ∀ y) P(B)
pxy(x,y) / P(B) , (x,y) ∈ B
= 0 , altrimenti
Prospa comb. i ded. dipinse
y γ 4 4/16 4/16 4/16 4/16
3 4/16 4/16
2 4/16 4/16
1 4/16 4/16 4/16 4/16
P(B) = pxy (2,2) + pxy (2,4) + pxy (3,1) + pxy (x,y)
Distribuzione di probabilità continua
Una variabile aleatoria continua X è positiva della:
\( f_x(x) = \frac{d F_x(x)}{dx} \)
Si usa una notazione diversa per distinguere dal caso discreto e per ricordare che \( f_x \) è continua.
Proprietà
- \( f_x(x) \geq 0, \forall x \)
- \( F_x(x) = \int_{-\infty}^{x} f_x(t) dt \)
- \( \int_{-\infty}^{\infty} f_x(x) dx = 1 \)
- \( P(x_1 \leq X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f_x(x) dx \)
Note
Può notare la notevole differenza rispetto al caso discreto nella proprietà 2, poiché lo stesso uguagliamento sarebbe intravvisto in \((x_1 \leq X \leq x_2)\). Questa differenza è per le proprietà dell'integrale:
\( P(2 \leq X \leq 2) = \int_{2}^{2} f_x(x) dx = 0 \)
Valore Atteso
\( E(x) = \mu_x = \int_{-\infty}^{\infty} x f_x(x) dx \)
\( E(g(x)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_x(x) dx \)
\( E(x^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_x(x) dx \)
Con differenza di cubi - A3 - B3 - (A-B)(A2 + AB + B2)
(A2 + AB + B2) - 3 (A2 + 2AB + B2)
(b2 + 2cb + c2) - 3 (b2 + 2cb + a2)
f(a1) b2 - 2cb + c2 12 b2 + a2
RIASSUNTO - U(a,b)
E(x) Vex(x) (b-a)2 f(a,h)
f(a
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