Teoria della Probabilità (1di3)

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Appunti relativi alle lezioni frontali de prof. Paolo Carbone ad opera del publisher Maxbrix. Costituiscono appunti estesi per l'esame sottostante. Contenuti:-Introduzione alle teoria …

Esame Teoria della probabilità

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Carbone Paolo

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2016-2017

77 pagine

Appunto

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Estratto del documento

(1) Spazio Campionario

Rappresenta l'insieme degli esiti che possono verificarsi in un esperimento

Esempio: lancio di un dado a 6 facce

Specifichiamo qualche proprietà degli insiemi:

1) Insieme Finito

Es.: contiene un numero finito di elementi

2) Insieme Infinito

Es.: contiene un numero infinito di elementi

Esempio:

S={x ∈ ℕ | ^x/₂ = intero}

Entrambi sono numerabili

(3) Numerabilità Infinito

Un insieme non vuoto è detto che i suoi elementi possono venire messi in relazione 1 a 1 con i numeri interi positivi e ne posso quali "contare".

Esempio:

(4) Spazio Numerabile

Es.: non è finito, ma numeralmente infinito

(5) Non Numerabile

Esempio: S={x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1}

- Trattiamo quindi Ω e suoi sottoinsiemi

Le probabilità che nel lancio di un dado esca 1, 2, 3, 4, 5, o 6

e per evento certo e un evento arico =>

Ω = {∅} U {1, 2, 3, 4, 5, 6}

= Ω

∴ {D(Ω)} > 1

(1) Lo spazio campionario

Rappresenta l’insieme degli esiti che possono comparire in un esperimento.

Esempio: lancio di un dato a 6 facce

1 2 3 4 5 6

Procediamo qualche proprietà degli insiemi:

(1) Insieme finito

Si contiene un numero finito di elementi

(2) Insieme infinito numerabile

Si contiene un numero infinito di elementi.

Esempio: S = {x ϵ N | x^2 = interi}

Entrambi sono numerabili

(3) Numerabilmente infinito

Un insieme non finito di elementi, ma elementi possono essere in relazione i dati i veri “numeri” naturali positivi, ne posso quali: “contalli”.

Esempio:

0 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

(4) Insieme numerabile

La coppia “finito” o numerabilmente infinito.

(5) Non numerabile

Si non contene un numero finito di elementi, e non possono restali in relazione o dele con gli interi posizioni.

Esempio: S = {x ϵ R | 0 ≤ x ≤ 2}

- Crediamo quindi Ω e suoi sottoinsiemi.

La probabilità che elem. sul bordo di un dado sara 1, 2, 3, 4, 5 o 6 è cento e in quinto

Esempio: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∩ Ω = Ω

D(Ω) ≠ 1

Sc ∩ Ω

Sc ⊂ Ω è sottinsieme. Ω è sovraninsieme.

A)_Insieme Potenza

Le subs di un thx in S no anche in Ω una di ricevere no veli ≡ alome un elemento in Ω che no egualne ed S.

B)_Insieme Complemento

Le potenzialmente puocancellare con Ω

Le vale la doppia inclusione:

H ⊂ Ω
Ω ⊂ H

Sottoinsieme complementi:

Sc ⊂ Ω
S - S ^{(complemento rispetto)} Ω.

Epodomoscon é possos differe queste gragiorni SUS - Ω A ∩ B = D A ∪ B = C

Comke su delle direzioni: il insiemi

Unione Municipale

Soto su orec successione di insiemi ⇒ con x ∈ ℤ

⋁ xn
An = {0, 2, x + l/n}

Distribuzione Numerica:

⋀ An

Equivaljego

D)_Partizione

S_1, p, S_nnm visa.

È una collezione famula Vt uniac che polane alle seguenti promeie:

(S_1 ∪ S_2 ∪ S_3) ∪ S_n = Vm. S
∀i≠j ⇒ S_i ∩ S_j = ∅

Notazione inusuale

A ∪ B - A ∪ B

A ∩ B - A ∩ B

⇒_z S_i ∪ S_i+1 ⋯ ∪ S_m = S

Premessa

Elemento eⁱ complementare: ∪ Σ(U) = ⊂ Σ(U) = ⊆ Σ(U) = Σ(U)
(Σ)ⁱ = Σ
Σ ∪ Σ⊂ ⊂ Σ
⇒ S ∪ Σ⊂ = Ω
S ∩ Σ⊂ = S, con S ⊂ Σ⊂

Legge di De Morgan

1. A ∪ B = A ∩ B
⇒ (^Σ∘(Σ_m)_n₁,m)
2. A ∩ B = A ∪ B
⇒ (^{Σ∘(Σ_{n_m)}}_m)

Due: ∀x ∈ Ω ⊂ A⊂ B ⇒ B^∃A ∉O

∃x tra punti con x ∉ A

⇒ x ∉ ⟨A⟩

per ∉ ⟨B⟩ complementare:

⇒ x ⊂ ⟨B⟩

necessariamente pacchi:

⟨B⟩ ⊂ A^c sottoscrive

di ⟨x⟩ ⇒ Diretta ed A ⊂ x ∈ B

prodice vale

Ω ⊃ B ⊂ A

⇒ A ⊂ B

con per la dop. delle leggi di De Morgan:

A ∩ B ⇒ A

⇒ A ∪ B ⊆ A ⊂ A ∩ B ≤ A

⟨A⟩ interiezione ⟨A⟩ ⊂ A (B)^O - A ⊂ B

pechao B D A ⟨A ⊂ B⟩ ⟨A ⊂ B

⇒ _B

Analogiante

A ⊂ B ⊃ B

⇒ (^{A ∪ B}) ⊆ B

⇒ B ⟨A⊂ B⟩ - B_o B

⇒ B ⟨A ∩ B⟩ = (A ⊂ B)

⇒ A · (A̅ + B) ⊂ B · (A̅ + B)

Δ.⊂ (A̅ + B̅) = (B̅)

⇒ (B + B̅) ⊂ A ⊃ ⇒ A̅B ⊂ A̅ + B

Poiché A̅B + A̅B = Ω

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