Teoria della Probabilità (1di3)

Modello Classico

Rappresenta l'insieme degli esiti che possiamo considerare in un evento sperimentale. Esempio: lancio di un dado a 6 facce.

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Mettiamo qualche proprietà degli insiemi:

Insieme Finito

Se contiene un n° finito di elementi.

Insieme Infinito

Se contiene un numero infinito di elementi. Esempio: S = { x ∈ N | x/2 = intero}

Quest'ultimo è numerabile.

Numerabilemente Infinito

Un insieme non vuoto, se tale che i suoi elementi possono tutti essere messi in relazione e con i numeri naturali positivi e poi quasi contati. Esempio:

• 1
• 0
• 1/2
• 1/3
• 1/4
• 1/6

Insieme Numerabile

Se non è finito o numerabilmente infinito.

Insieme Non Numerabile

Se non contiene un n° finito di elementi e non possono tutti essere messi in relazione e con gli interi positivi. Es: S = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2 }

Definiamo quindi Ω e suoi sottoinsiemi. La probabilità che nel lancio di un dado esca 1, 2, 3, 4, 5 o 6 e evento: e un evento certo => {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω e P(Ω) = 1

S₂ e sommabile se e solamente se

1^° criterio formale

In dubbio che un S ha anche in Ω un allineamento non veloce ⇒ almeno un elemento in Ω che non appartiene ad S.

2^° criterio formale

Ne potenzialmente può coincidere con Ω.

Si vale la doppia inclusione:

H⊂Ω

⇒ H=Ω

Immagine descrittiva

Post: ∀ S₀, S_c⊆Ω

S - S̅

(coprivalenti se spesso)

È praddozione si possono definire queste questioni...

S⊂⊆Ω   A∩B=D

mʼ⊕g♀j   amon   A∪B⬅C

come si alle descrizioni di insiemi:

Unione Municipale

Poche un una successione di insiemi ⇒ ∁ ... q_k∈ℤ

❤️_xsh k_n   A_n={ 0, 1, ...right

choa ... 1B 

Note: ogni algebra contiene i seguenti

sempre fondamentali:

1. Simpl. Algebra _K/∅⊆⦁ Cui _∅ non vuoto condizione più: _∅∈∅ → _{∅ ≤ ∅ ‼ ⊂♮} Fronte _{⟹∅⊂⟺ ꌌ} c.v.d.

2. Algebra Complim. Dato _ω [_{2, b, ⊂, a, z}] Riusciamo a determinate un algebrico tale a detti e st

   Ω: {φ, (a⊂); (b), K(a⊂B) /,⊂;/&,g ,g\,⊂/,ω,_{c,g,c⊂⊃,ω} Unione

3) G: Algebra

Una funzione definita e volume A,... sono be per lo e es

1. L'inverse numerabile degli hn ∈ fg

2. L'integrazione numerabile ⊂₁

OSS - elimina il concetto di algebrico a collezione numerabile il di un numero oggetto di insieme

_{G: ⊆ [0 ️,1,,⊃4]}

Oggetto:

Le leggi di probabilità:

1. di tipo empirico (frequenza)Voi fatti su un numero volto alto di esperimenti, tenete su osservazione della frequenza di occorrenza.
2. su base classica: Caso limitatoSi utilizza nel calcolo combinatorio. Si basa su categorizzazione. Se si costruisce un numero finito di N possibili esiti tutti equiprobabili.Calcolare la probabilità di singolo singolarmente.

Esempio:Nel caso di un dado a 6 facce la probabilità che esca 3 è 1/6,Nel caso del lancio di un dado a 2 facce la probabilità che esca 3 è 9C(3) 7/6 concambiano le probabilistiche A12→; por yi ⇒ PA = 1/2

1. Su base combinatoria:Nel caso in cui lo spazio campione sia continuo,Si definisce una funzione f(x) ac.
1. f(w) ≥ 0;
2. ∫ f(w) dw = 1

Esempio

[Indications of functions and mathematical formulas]

Cheain Rule - regola del prodotto

Consideriamo una successione di eventi, A₁,... A_n su Ω.

P(A₁∧A₂∧...∧A_n) = P(A₁)·P(A₂|A₁) ... P(A_n|A₁∧A₂∧...∧A_n-1)

Esempio

N=3

P(A₁∧A₂∧A₃) = P(A₁,A₂,A₃) = P(A₁)·P(A₂|A₁)·P(A₃|A₁∧A₂)

= d'f = d'f

= P(A₁∧A₂∧A₃) = P(A₁)·P(A₂|A₁)·P(A₃|A₁,A₂) / P(A₁)

da: Abbiamo dimostrato per N=3 ⇒ Io impiego vero per N=1 e lo dimostro per N=k

Esempio

Supponiamo che il 10.7% dei senatori del congresso degli USA sono senatori, e che il 50% dei senatori sono democratici.

Qual è la probabilità che un senatore eletto in caso - sia senatore (SD)© devene senatore (D)?

1) Il senatore è eletto e caso rì è senatore 2) Il senatore è eletto e caso rì è democratico

Calcolo P(S ∩ D) = P(S) P(D|S) - P(S) Q)(1)

Cheain rule

P(S) = 0.107   P(D|S) = 0.5

Il Trip. Esso, fra più di 2 eventi

Siano A₁, A₂, ..., A_n eventi con n discreto post.

Indip. cond. e obteniamo di questi N eventi

e realizzata la proprietà moltiplicativa ovvia.

  ∀n intero k: 2 ≤ n ≤ N si ha:

    P(A_k1 ∧ A_k2 ∧ ... ∧ A_kn)

    = P(A_k1) P(A_k2) P(A_k3) ... P(A_kn) con

    k₁, k₂, ..., k_n interi distinti tra 1 ed N

Esempio verso N=3

Esercizio ob: è dato un B punto

evento A: {1° dado pari}

B: {2° dado pari}

C: {somma dei numeri pari}

• P(A): 18/36 = 1/2
• P(B): 18/36 = 1/2
• P(C): 16/36 = 1/2

Una selezione tra A, B, C sono stati indip.

(non si espatrio di NO, perché l'evento ci deve supplisce una qual de esperienza).

Considero → a e 2 a 2

→ o tutti e 3 gli eventi insieme

Esercizio 2:

ordinate

le possibili le permutazioni di 52 carte di mazzo da 52

(52₁) = (52₅₂) = 52₁

52!

(52₅₂52₁) = 52!

Calcoliamo

Esercizio 3

Quante sono le mani di poker (non conta l’ordine) , costituiti da 5 carte prese da un mazzo da 52?

51 17 10 126

(52₅)

678 1

52 . 51 . 50 . 49 . 48

9 : 7 : 52 : 1

2'598'960

Qual è la probabilità di avere mani di poker

(1,1,2,3,1,5)?

di picche

= 1

2'598'960

= 0,00003860%

= 0,0001 %

Quante mani di poker con 3 rea e 2 regine?

R.T.E. ->

poker

Qual è se fra 1

8³

si può scegliere 3 carte su 4

la variabile a fini quando la corte perciò lasciare

(4₁)

(1,1,1)

4