Teoria del corpo rigido

teoria del corpo rigido

corpo rigido = collezione di pt. materiali {P_i; i=1,2,...,n} caratterizzata dalla condizione di indeformabilita (=la dist. tra 2 pt. qualunque e indipendente dal tempo).

→ E.S.R. mobile solidale con il corpo rigido, ovvero R(O';M₁,M₂,M₃) nel quale O'=0

q_i(t)= ṙ + BQ_i

q̇_i(t)= r̈ + ω ∧ (q_i - r) + BQ̇_i

Voglio esprimere l'energia cinetica, quantità di moto e momento angolare in termini

di ṙ e ω (formule cinetiche).

Energia Cinetica

Scelgo O' coincidente con il baricentro A del

corpo rigido. r= r_A = Σμ_iq_i

Σμ_iq̇_i² = Σμ_i||ṙ + ω∧(q_i-r)||²

= Σμ_i||ṙ||² + 2ṙ [ω∧(q_i-r)] + ||ω∧(q_i-r)||²

Σμ_i||ṙ_A² + ṙ[ω∧(Σμ_i(q_i-r))]

+ Σμ_i||ω∧(q_i-r_A)||²

M_rA - M_r = 0

per r= r_c

= M₂||ṙ_A² + Σμ_i²[ω∧q_i]²

=Σ[ω∧q_i]²

= [Ω∧Q_i]= Ω∧(Q∧S)

=Ω∧[Q_i∧(Ω∧Q_i)]

Dato Q, Q∧(Ω∧Q) e lineare in Ω ed e

1. Ŝ₁, Ω₁ = | Ŝ Σ
2. Ŝ₂, Ω₂ = | Ŝ Ω
3. Ŝ₃, Ω₃ = |

Ω₂Q₁-Ω₃Q₂, Ω₃Q₁-Ω₁Q₂, Ω₁Q₂-Ω₂Q₁

dove [S]ω = [ΩS(Q)]_ke = [Q]²_ke - Q_kQ_e

=>T = M₂ṙ_A² + 1₂Σμ_iΩ Ŝ(Q_i) Ω

*azione

I e': simmetrica => diagonalizzabile con λ_i∈ℝ definita positiva

t. di ugu. Cauchy-Schwartz

Chiamare gli autovalori λ_i di I, I₁, I₂ e I₃ ≥ 0 le direzioni identificate dagli I detti assi principali, i detti vengono gli assi principali d'inerzia.

Gli autovettori di I possono essere scelti ortonormali e definiscono una terna per costruzione solidale al corpo rigido.

Nella base dei suoi autovettori I è una matrice diagonale di elementi I₁, I₂, I₃. Conviene scegliere M₁, M₂, M₃ coincidenti con gli autovettori. Allora di tengo:

T = 1/2 m|u|² + 1/2 (I₁Ω₁² + I₂Ω₂² + I₃Ω₃²)

perche I = (₁ ⁰) => IΩ = (I₁Ω₁ I₂Ω₂ I₃Ω₃)

Per descrivere completamente il sistemo definisco anche

• Quantità di moto β = Σ m_iq_i
• Momento angolare ℓ = Σ m_i (q_i-r_i)q_i

Posso scrivere anche queste quantità in termini di I, M & ℓ e Ω

Anche il momento angolare è conservato:

L² = I₁²Ω₁² + I₂²Ω₂² + I₃²Ω₃²

lo verifico.

{I₁Ω₁ + (I₂ − I₃)Ω₂Ω₃ = I₂Ω₂ + (I₃ − I₁)Ω₃Ω₁ =

I₃Ω₃ + (I₁ − I₂)Ω₁Ω₂ = 0

Λ

d(I₁²Ω₁² + I₂²Ω₂² + I₃²Ω₃²) / dt =

= 2I₁Ω₁ + I₂Ω₂ + I₃Ω₃(I₁ − I₂)Ω₁Ω₂

+ 2I₂Ω₂(I₃ − I₁)Ω₃Ω₁ + 2I₃Ω₃(I₂ − I₁)Ω₂Ω₃ = 0

□

• caso I₁ = I₂ = I₃: ellissoide di rotazione è una sfera; il corpo si muove di moto rotatorio uniforme. (I₁ = I₂ = I₃ ≠ 0)

{I₁Ω₁ = 0

I₂Ω₂ = 0

I₃Ω₃ = 0

→ Ω costante

→ rotazione attorno a m̂₃

• caso I₁ = I₂ ≠ 0 e I₃ = 0

{I₁Ω₁ = I₂Ω₃

I₃Ω₃ = −I₁Ω₂Ω₃

Posso proiettare Ω sul piano xy perché

Ω̂ = Ω̂ e il corpo ruota solo rispetto ad

m̂₁ o m̂₂.

• caso I₁ = I₂ ≠ 0 e I₃ ≠ 0

Ellissoide simmetrico attorno a m̂₃,

I₃Ω₃ = 0 ⇒ Ω₃ = Ω(0) = costante

⇒ il corpo è libero di ruotare attorno

a m̂₃

• caso I₁ ≠ 0, I₂ ≠ 0 e I₃ ≠ 0

Il corpo, oltre a un moto di rotazione

propria e di precessione, ha un moto

di nutazione; il moto è a 2 periodi:

Rotazione propria = periodico

Precessione = quasiperiodica