Teoria del corpo rigido

Teoria del corpo rigido

Corpo rigido = collezione di punti materiali {m_i, q_i} _i=1,...,n caratterizzata dalla condizione di indeformabilità (= la distanza tra le particelle è indipendente dal tempo). ↕ Esiste un sistema di riferimento mobile solidale con il corpo rigido, ovvero R (O'; M₁, M₂, M₃) nel quale Q_i,j:=0.

Teoria del corpo rigido: corpo rigido = collezione di punti materiali caratterizzata dalla condizione di indeformabilità (= la distanza tra le particelle è indipendente dal tempo). ↕ Esiste un sistema di riferimento mobile solidale con il corpo rigido, ovvero l(0; M₁, M₂, M₃) nel quale Q̅≡0.

Formule cinetiche

q_i(t) = r + BQ_i

q̅_i(t) = r̅ + ω ∧ (q_i - r) + BQ̅_i

Energia cinetica

Scegliamo di coincidere con il baricentro A del corpo rigido ⇒ r = r_a = Σ μ_iq_i / Σμ_i

T = Σμ_i |q̅_i|² = Σμ_i | r̅ + ω ∧ (q_i - r_a) |² == Σ μ_i | r̅ |² + 2 r̅ [ ω∧(q_i - r_a) ] + | ω∧(q_i - r_a) |² = = M r | r̅_a |² + r̅ [ ω∧ (Σ μ_i (q_i - r_a)) ] + Σ μ_i / 2 | ω ∧ (q_i - r_a) |² == M_a - M_a = 0

Definizioni e teoremi

Per r_a = r_a = M / 2 | r_a |² + Σ μ_i / 2 | B [ Ω∧Q_i ] |²= ☰Ω∧Q_i☰² = (Ω∧Q_i) · (Ω∧Q_i) == Ω · [Q_i∧(Ω∧Q_i)]

Dato Q, Q∧(Ω∧Q_i) è lineare in Ω ed ọ =^ m̂₁^ m̂₂Ω₂Q₃ - Ω₃Q₂^ m̂₃Ω₃Q₁ - Ω₁Q₃Q₃= ^S / S · Ω

dove [S]_i1 = [☰S(Q)_i☰]_ke = ☰Q☰²δ_ke - Q_kQ_c= T = M/2 | r_a |² + 1/2 Σ μ_i Ω S(Q_i) Ω

Se chiamiamo ΣS(Q)_M=I = I matrice di inerzia, otteniamo il teorema di Koenig

T = ¹/₂ H |r_C|² + ¹/₂ Ω · I Ω

Teorema di König

I = ( I₁₁      0          0 )

I_x = ∫ [|Q|² δ - (Q) (Q) ] dm        (     0      I₂₂       0 )        (  0       0      I₃₃ )

Esercitazione

1. Sbarretta uniforme di lunghezza ℓ e massa μ. Calcola I

Q=(x,0,0)      -ℓ/₂ < x < ℓ/₂

I_x = ∫ [|Q|² δ -(Q)(Q)_E ] dm(Q)dom. λ(Q) dI₁₁ = -ℓ/₂∫^ℓ/2 x² λμ/ℓ dx = 0

I₂₂ = μ/ℓ ∫_-ℓ/2 ^ℓ/2 x²dx = μℓ/₃₂( ℓ³/₈ + ℓ³/₈ ) = μℓ²/₁₂