Corpo rigido

Un corpo rigido si dice libero se è esente da vincoli

esso possiede 6 g.d.l. Si usano il prefisso STEREO per indicare i problemi che riguardano lo schema di corpo rigido. Si distinguono diversi problemi statico-dinamici, nei quali nota la sollecitazione attiva si devono trovare tutti i moti compatibili con essa. Nota le condizioni iniziali è possibile ricavare il particolare moto compatibile con le sollecitazioni con esso. Le condizioni iniziali consistono nelle posizioni iniziali (all’t = 0) e nell’atto di moto del corpo sempre in t=0. Le incognite cinematiche di questo tipo di problema hanno carattere cinematico e sono le 6 funzioni, scalari, che rappresentano il moto. Le equazioni cardinali della dinamica sono soddisfatte da tutti i moti di una sezione particolare per un corpo rigido e sufficienti a individuare i moti compatibili con una sollecitazione distribuita o attiva (attiva).

Queste equazioni esprimono la somma e il momento totale delle sollecitazioni attive agenti sul corpo quindi, si riconosce che è possibile moti e le eventuali posizioni di equilibrio (lo stesso discorso si prima vale per le 2 condizioni della statica) dipendono esclusivamente da F_a e M_a. Quindi si vede che una sollecitazione e assegnato le 6 non voti F_a e M_a

Eventuali posizioni di equilibrio non mutano in una sollecitazione se si sostituisce una equivalente

(questa proprietà è molto utile nella risoluzione dei problemi); questa proprietà non vale per una scema porticella. Lo stesso discorso vale se si applica una sollecitazione localmente diversa. A differenza di quello che avviene per una scema porticella la variazione nelle pose esteme. di un campo rigido non influisse sul moto del barocentro.

Adottiamo alle sezioni di corpo rigido le equazioni

del capitolo 10. Dopo aver aggiustato a zero la somma e il momento totale della sezioni parametri che individuano la posizione del corpo è la somma, il momento della velocizzazione sia esprimibile in funzione di essi e delle derivate delle funzioni che rappresentano il moto. Nella prima equazione compaiono le accelerazioni del baricentro e le velocità rispetto RC sono date da 𝐵_C(t), 𝐶_C(t) e 𝐷_C(t). Detto che per un corpo rigido e saldo ad esso, la posizione del corpo è individuata mediante tutto ciò parametri Q₁, Q₂, Q₃. Se consideriamo la terna RC per E equivalente a RC, rapido ef rispetto a RC (e quindi rispetto RC) il individuato degli angeli di Eulero Θ, Ψ, Φ. Il moto di un corpo può essere rappresentato quindi da 6 funzioni sedi di indipendenti X_s(t) Y_s(t) Z_s(t) Q_s(t) G_s(t) P_s(t): Della formula fondamentale della cinematica (CAP 3) si ha rispetto a RC sono 𝐵,_C, 𝐶_C 𝐶_C mentre quella della velocità angolare (sempre rispetto RC) sono Θ Ψ e Φ. Consideriamo il vettore O'P^-'' che individua la posizione del punto della RC con occupa detto nel corpo: esso dipende solo da Q, Θ, Φ. Domando rispetto T per la terziata di Q(t) Θ(t) Ψ(t) si ha 𝐺 = ⊕ fatto di equivalenti 20P'₀Θ + 20P/2₄ Ψ + rispetto Q, Θ, Ψ. Consideriamo con ξ₁,ξ₂, ξ₃ e rispetto dei assi E, ^_E3 E diventi del capop sovrasposti con detti assi. altrenti

Proiettando la seconda eq della fissodinamica sup% così estesa si ha

_s ^{A + C - C = M _{[ x}}

che prendono il nome di equazioni di Eulero. Sostituendo nelle il complementare delle loro espressioni (linear (θ(t), ψ(t), ϕ(t) e

▂▂(t), ▂▂(t), ▂▂(t)) si ottiene un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine avente il det aintines degli coefficienti %. è quindi possibile ricavare un sistema di 3 eq del secondo ordine rispetto θ(t), ψ(t), ϕ(t) risolto rispetto alle derivate seconde. Usando queste equazioni con le 3 eq che si ottengono proiettando la prima della fissodi.

me su zC si ottiene un sint di 6 eq di ii° indivia mundia compatto o primo. Sotte condizioni soddisfatte delle Iggi F e M _{tale sist ammette una soluzione soddisfacente determinate condizioni iniziali. Ti corrisp a oo ^{scelte possibili per la pos iniziale e 00 scelte possibili dell' ORE di moto initiale si hanno aria condizioni initial asbutricable quel comporabando altre tante condizioni particolari la soluzione pressndo ed ropperesantda da 6 funtioni scalant do t sulla qual colimperono 12 costanti antichione. Procedando come vista nel capitole 7 e possitato determinare le 12 costanti risoleendo un slist di 12 eq in 12 incognite in termini finiti. Dete la notored difficotla anditicia che si incoctrano nella risduciore dei problem diretti el elintension a considerore sollecitazioni attive semplice, caustrint e pesi dai sol perti o da forzr arcoalde tou loin indebendenti dallo stato circuistico del cap° e di intratisto prop delle nolle su cui espoiscono.}}

Se si sceglie il centro polare dei momenti

Siccome _Vc(t) = 0 dalla relazione

dL = _FcVcdt + _Mcwdt si ha

dL = _Mcwdt

La potenza della sollecitazione vincolare risulta quindi nulla V_c

dL^Cdt = _Mcw

(essendo _Mc =0). Per esprimere l'energia cinetica basta osservare che ogni atto di moto risulta essenzialmente una funzione del tempo che esprime. Il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse ist di rot dalla rotazione

T = (w²/2 _i ^{N r}_i²m_i) valida per un sistema particolare

si ha che T = ((1/2 J(t) w²) = (1/2((Aw_t² + Bw^_u2 + Cw^_z2)

T > 0 si ha che _{W e R} formano tra loro un angolo acuto. Dalla relazione dt = dL. Si ha che

1/2 d(Aw_² + Bw_u²+ Cw_²) = _Mcw dt

La quale esprime il teo del lavoro per un intervallo di tempo infinitesimo. Dalla ^{( * )} ponendo ( ^ ) = 0, ^w = 0, ^w = 0 e considerando sollecit non dipendenti da t si ha ( = 0 _Mc suff a individuare la pos di eq di un corpo rigido vincolato da vin sondo sferico. Sono (t tutte le pos nulle qual in ass rot a un atto di moto nella la sollecitazione attiva a equivalente a una forza opposta al centro dille vincolo. Indivinuata la par di eq per completare la (sis) del problema per ognuna di esse occorre det

Se in un intavallo di tempo ^{M_p = 0} allora ⁰ = cost e il moto è uniforme.

Se la sollecitazione è sostanzialmente conservativa si ha

^1/2 J_x d(^O)^'' = U(^O) - U(^Oo)

Introducendo l'energia pot ^T =0 si ha

^1/2 J_x ^O' + ^TI(o) = ^1/2 J_x ^{O 2} + ^TI(o) = E

che esprime il teo di conservazione dell'energia per un corpo rigido vincolato da una cerniera e soggetto a una forza sost conservativa.

Dalla reazione J_x ^O = M_x (^O; ^{O t}) ponendo ^O(t)=0 e ^O''(t)=0 e considerando sollecitazioni indipendenti da ^T si ha o = M_x (^O;^O)

Suff a individuare tutte le pos di eq del corpo vincolato dalla cerniera e soggetto a una data sollecitazione attiva. Sono di eq tutte le pos nella quali se l'att di moto è nulla la sollecitazione attiva ha momento nullo rispetto all' asse della cerniera. Se ^O ₂ è l'angolo di una pos di eq se tale pos è occupata dal corpo con att di moto nulla il vincolo esplica su esso una sollecitazione avente sommma F^V = F^O (^O ₂; o).

Dalla seconda eq cardinale della statica il motore M_X = o numerò M_Y = - M_{t O2 O} 2 O sub>; o) e M₂ = - M₂ (^O ₂; o) le pos di eq non mutare se alla sollecit assegnata se ne sostituisse una avente lo stesso momento totato rispetto all' asse della cerniera.