Teoria dei sistemi - modi naturali

La risposta libera nello stato

L'evoluzione o risposta libera nello stato si esprime come:

x_e(t) = e^At x(0)

Se A è uno scalare λ, ho:

x_e(t) = e^λt x(0)

È una legge esponenziale che assume tre andamenti. Per caratterizzare la rapidità con cui lo stato evolve nel tempo, si introduce un parametro τ, detto costante di tempo:

τ = -1/λ

τ rappresenta, se lo stato decresce, il tempo necessario affinché lo stato diventa 1/e del valore iniziale.

Modi naturali

Generalizzazione per N ≥ 2 del discorso precedente.

Autovalori distinti

Cas 1) Autovalori reali ⇒ modi naturali aperiodici

e^At = T e^Λt T^-1 = ∑_i=1ⁿ e^λ_it v_i v_i^T

x_e(t) = e^At x(0) = ∑_i=1ⁿ e^λ_it v_i x(0)

Per t=0, ottengo:

x_e(0) = ∑_i=1ⁿ C_i v_i, dove C_i = v^-1 x(0)

La risposta libera nello stato

L'evoluzione o risposta libera nello stato si esprime come:

x_e(t) = e^At x(0)

Se A è uno scalare λ, ho:

x_e(t) = e^λt x(0)

È una legge esponenziale che assume i tre andamenti. Per caratterizzare la rapidità con cui lo stato evolve nel tempo, si introduce un parametro τ, detto costante di tempo:

τ = -1/λ

τ rappresenta, se lo stato decresce, il tempo necessario affinché lo stato diventa 1/e del valore iniziale.

Autovalori distinti

Cas i) Autovalori reali > Modi naturali aperiodici

e^At = T e^Λt T^-1 = ∑_i=1ⁿ e^λ_it ν_i ν_i^T

x_e(t) = e^At x(0) = ∑_i=1ⁿ e^λ_it ν_i ν_i^T x(0)

Per t=0, ottengo:

x_e(0) = ∑_i=1ⁿ C_i ν_i, dove C_i = ν_i^T x(0)

x(0) è pari alla somma di n componenti nello spazio costruito dagli autovettori u₁, u₂, ..., u_n. I coefficienti C₁, C₂, ..., C_n rappresentano le ampiezze di tali componenti.

x_ι(t) = e^At x(0) = Σ_ι=1ⁿ C_ι e^λ_ιt u_ι

La legge di moto di ciascun termine è ancora esponenziale, la cui ampiezza C_ιe^λ_ιt dipende dalla componente dello stato iniziale nella direzione corrispondente u_ι.

La traiettoria del singolo termine si mantiene lungo l'autovettore ed ha questi tre possibili comportamenti:

• λ > 0
• λ = 0
• λ < 0

L'evoluzione libera nello stato nel caso di autovalori reali e distinti è la combinazione lineare, secondo coefficienti che dipendono dallo stato iniziale, di n evoluzioni indipendenti che hanno luogo nei sottospazi ad una dimensione generati dagli autovettori.

Queste evoluzioni nella direzione degli autovettori sono detti modi naturali aperiodici. Le leggi temporali dipendono dagli autovalori λ₁, ..., λ_n e sono distinte. Si può definire una costante di tempo T_ι per ciascun autovalore:

T_ι = -1 / λ_ι

Caso iii) Autovalori reali e complessi coniugati

μ reali, 2ν complessi coniugati α+jω

n = μ+2ν

X_e(t) = ∑ C_i e^λ_i t x_b + μ_k ∑ M_k e^{α_k t} (sin(ω_k t + φ_k) x_k,a + cos(ω_k t + φ_k) x_k,b)

con M_k = √(C_k,a² + C_k,b²) e^α_k t_k

sin φ_k = C_k,a / M_k

cos φ_k = C_k,b / M_k

L'evoluzione libera è combinazione lineare di μ modi naturali aperiodici e ν evoluzioni che avvengono in piani generati da x_k,a e x_k,b e prendono il nome di modi naturali pseudoperiodici.

L'evoluzione temporale ammette un inviluppo esponenziale e^α_k t con componenti periodiche seno e coseno, lungo due direzioni del piano.

Possibili traiettorie del moto

• α_k > 0
• α_k = 0

x₀, x₂ - le leggi temporali sono α_k > 0 α_k = 0

Autovalori distinti -> M modi n armonici, 2M modi n pseudoarmonici

Modi naturali semplici con leggi di moto distinte

L'asse immaginario separa i modi convergenti (a sx) da quelli divergenti (a dx).

Parametri

• ω_n = √( α² + ω²)
• ξ = -α / √( α² + ω²)

Pulsazione naturale - pulsazione che avrebbe il sistema se non ci fosse la parte reale -> α=0

Smorzamento - il suo aumento corrisponde ad una attenuazione dell'ampiezza della funzione oscillatoria

Modi naturali con A regolare & autovalori non distinti

In corrispondenza ad ogni autovalore con molteplicità algebrica maggiore di uno ho altrettanti modi naturali semplici con leggi temporali coincidenti.