Teoria dei sistemi - Appunti

TDS: TEORIA DEI SISTEMI

Lo stato x(t) è un insieme di variabili che descrivono un sistema. L'ingresso u(t) è un insieme delle funzioni che ne modificano lo stato x(t).

Per determinare uno stato futuro di un sistema è sufficiente conoscere lo stato iniziale al tempo t₀, con s_t, e l'ingresso al tempo t.

FUNZIONE DI TRANSIZIONE DELLO STATO

I sistemi si rappresentano tramite modelli matematici, ossia funzioni φ(t) che, a partire da uno stato iniziale x(t₀), e da un ingresso u(t), sono in grado di determinare lo stato di sistema al tempo t.

In particolare, φ è detta funzione di transizione dello stato:

x(t)=φ(t,t₀,x(t₀),u) con: t≥t₀ e u∈U

dove φ: ^(T×T)Χ×U→Χ

Χ=^Rn

e ^(T×T)* ={(t,t₀)∈T×T/t≥t₀}

Esempio: Vogliamo descrivere il volume V(t) di vino contenuto in un serbatoio, dato le portata in ingresso q_in(t) e d'uscita q_out(t) (entrambe sono funzioni d'ingresso del sistema).

V(t)=x(t₀)+∫_t0^t(q_in(τ)-q_out(τ))dτ

Volendo calcolare l'altezza del vino col tempo t, abbiamo bisogno di un'ulteriore equazione, detta "equazione di uscita":

v(t)=V(t)/A

h_v(t)=V(t)

In generale la funzione (o trasformazione) di uscita di un sistema è:

y(t)=η(t,x(t),u(t))

dove η:T×Χ×U

PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI TRANSIZIONE DELLO STATO

1) COERENZA:

Se t=t₀, la funzione di transizione dello stato produce uno stato finale coincidente con quello iniziale, a prescindere da quale esso sia e dall'ampiezza dell'ingresso:

x(t₀)=φ(t₀,t₀,x(t₀),u)

TDS: Teoria dei Sistemi

La stato x(t) è un insieme di variabili che descrivono un sistema. L'ingresso u(t) è insieme delle funzioni che ne modificano lo stato x(t). Per determinare un stato futuro di un sistema è sufficiente conoscere lo stato iniziale al tempo t₀, con s_t, e l’ingresso al tempo t.

Funzione di Transizione dello Stato

I sistemi si rappresentano tramite modelli matematici, ossia funzioni φ(t) che, a partire da uno stato iniziale x(t₀), e da un ingresso u siano in grado di determinare lo stato di sistema al tempo t. In particolare, φ è detta funzione di transizione dello stato:

x(t)=φ(t,t₀,x(t₀),u) con: t≥t₀ e u∈U

dove: φ: (T×T)^∗ × X × U → X

X: Rⁿ o X: Cⁿ

E (T^∗×T^∗)^∗={t,t₀∈T×T: t≥t₀}

Esempio: Vogliamo descrivere il volume V(t) di vino contenuto in un serbatoio date le portata in ingresso q_in(t) ed uscita q_out(t) (entrambe sono funzioni d’ingresso del sistema).

1. V(t)=v(t₀) + ∫_t0^t [q_in(τ)-q_out(τ)]dτ

Volendo calcolare l’altezza del vino col tempo t, abbiamo bisogno di un ulteriore equazione, detta “equazione di uscita”:

• h_v(t)=V(t)/A

equazione di uscita

In generale la funzione (o trasformazione) di uscita di un sistema è:

y(t)=η(T,x(t),u(t))

dove η: T × X × U

Proprietà della Funzione di Transizione dello Stato

1. Consistenza: Se t=t₀, la funzione di transizione dello stato produca uno stato finale coincidente con quello iniziale, a prescindere da quale esso sia e dall’ andamento dell’ingresso:

• x(t₀)=φ(t₀,t₀,x(t₀),u)

2) Causalità

A fini della valutazione dello stato finale x(t) di un sistema, ciò che interessa della funzione d'ingresso u(t) è la restrizione di tale funzione all'intervallo [t₀, t] mentre non interessa affatto l'andamento della funzione al di fuori di questo intervallo.

Dati x(t₀)=φ(t₀, x(t₀), u_a) e x(t_k)=φ(t_k, x(t_k), u_a), se ∀u_a(t_x)=∀u_b(t_x), con t_x∈(t₀, t) allora il sistema è "causale"

3) Separazione

Lo stato del sistema nell'istante finale t può essere calcolato direttamente come passaggio dall'istante iniziale t₀, oppure "passando" per l'istante intermedio t₁, cioè sommando il passaggio da t₀ a t₁