Teoria dei sistemi - Appunti

TDS: Teoria dei Sistemi

Lo stato x(t) è un insieme di variabili che descrivono un sistema.

L'ingresso u(t) è un insieme delle funzioni che ne modificano lo stato x(t).

Per determinare uno stato futuro di un sistema è sufficiente conoscere lo stato iniziale al tempo t₀, con t₀ ≤ t, e l'ingresso al tempo t.

Funzione di transizione dello stato

I sistemi si rappresentano tramite modelli matematici, ossia funzioni φ(t) che, a partire da uno stato iniziale x(t₀), e da un ingresso u(s) sono in grado di determinare lo stato del sistema al tempo t.

In particolare, φ è detta funzione di transizione dello stato:

X(t) = φ(t, t₀, x(t₀), u(s))

con: t ≥ t₀ e u∈U (spazio di funzioni)

dove:

• φ: (T* x T*) x X* x U* → X
• x∈ℝⁿ; x∈ℝ
• e (T*, T**)∋ (t, t₀)∋TxT /t ≥ t₀

Esempio: Vogliamo descrivere il volume V(t) di vino contenuto in un serbatoio date le portate in ingresso q_in(t) e d'uscita q_out(t) (entrambe sono funzioni di ingresso del sistema).

V(t) = V(t₀) +∫_t0^t (q_in(τ) - q_out(τ))dτ

Volendo calcolare l'altezza del vino al tempo t, abbiamo bisogno di un'ulteriore equazione, detta equazione di uscita:

V(t) = V(t₀) + ∫_t0^t (q_in(τ) - q_out(τ))dτ

h(t) = V(t)/A → equazione di uscita

In generale la funzione (o trasformazione) di uscita di un sistema è:

y(t) = η(t, x(t), u(t))

dove η: T x X x U

Proprietà della funzione di transizione dello stato

Consistenza

Se t = t₀, la funzione di transizione dello stato fornisce uno stato finale coincidente con quello iniziale, al prescindere da quale esso sia e dall'ampiezza dell'ingresso.

X(t) = φ(t, t₀, x, u) → x(t) = φ(t₀, t₀, x(t₀), u)

2) Causalità

A fini della valutazione dello stato finale, x(t)_f, di un sistema, ciò che interessa della funzione di ingresso u(t) è la restrizione di tale funzione all'intervallo [t₀, t], mentre non interessa affatto l'andamento della funzione al di fuori di questo intervallo.

Dati x(t_f) = φ(t, t₀, x(t₀), u_a) e x_B(t_f) = φ(t, t₀, x(t₀), v_B), se u_a(τ) = v_a(τ), con t∈(t₀, t), allora il sistema è "causale".

3) Separazione

Lo stato del sistema nell'istante finale t può essere calcolato direttamente come il passaggio dallo stato iniziale t₀ oppure, passando per un istante intermedio t_k, cioè sommando il passaggio da t₀ a t_k e quello da t_k a t.

Dato: x(t) = φ(t, t₁, x(t_t1), u)_[tt0,t], allora si può scrivere x(t) come:

x(t) = φ(t, t₁, x(t_t1), v)|_tt1t

Sistemi a Tempo Discreto e a Tempo Continuo

I sistemi vengono detti "a tempo continuo" se T è un intervallo di ℝ o R₊ stesso. A tempo discreto se T è un sottoinsieme numerabile di ℝ o ℕ. In quest'ultimo caso la funzione u(t) è una sequenza di valori, e la φ viene detta funzione di transizione a un passo: tale funzione può addirittura non dipendere dal tempo.

Sistema Discreto

{ x(t+k)=f(t,x(t),u(t)) y(t)=y(t,x(t),u(t)) }

Sistema Continuo

{ ẋ(t)=f(t,x(t),u(t)) ŷ(t)=η(t,x(t),u(t)) }

Nel caso del tempo continuo, il sistema si può definire solo se la soluzione della prima equazione differenziale, con condizione iniziale x(t₀), è unica (Problema di Cauchy).

Sistema Stazionario

Se i modelli dei sistemi non dipendono dal tempo, i sistemi si dicono stazionari. Scambiando stato variabile e ingresso, si inverte la traiettoria.

Sistemi Lineari in ℝ

Un sistema è "lineare" se vale la sovrapposizione degli effetti, cioè se alla somma degli ingressi corrisponda la somme delle uscite rispettive e a un ingresso nullo corrisponde un'uscita per sforzo scalare.

f(U₁+U₂)=αf(U₁)+βf(U₂) u₁(t₀) o1(t₀)

MODELLI CHE DESCRIVONO L'EVOLUZIONE A UN PASSO

(tempi discreti)

Si tratta di modelli strettamente causali in cui l'ingresso ad un certo istante modifica lo stato dell'istante immediatamente successivo.

Poniamo: t → t + 1, dunque si ha:

x(t+1) = (ɸ(t+1) x(t) + H(t+1) u(t) = ɸ(t) x(t) + H(t) u(t)

quindi si ottiene la forma implicita di tali modelli (che vale per "sistemi lineari stazionari"):

x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Esempio:

Consideriamo un contenitore in cui è presente una certa quantità di muffa che ogni giorno raddoppia.

Vale quindi il modello: x(t+1) = 2x(t) ⎯ (forma implicita)

Se volessimo calcolare la quantità di muffa dopo 10 giorni, vediamo che:

x(t+2) = 2(2x(t)) = 4x(t) = 2^2 x(t)

x(t+3) = 2(x(t+2)) = 8x(t) = 2^3 x(t)

quindi, vale la forma esplicita: x(t) = 2^t ⋅ x(t₀)

dove ɸ(t) = 2^t = ɸ(t) = 2^t è la matrice di transizione dello stato (in questo caso uno scalare), infatti soddisfa le proprietà di consistenza (2^t+2 = 2^t 2^t) e separazione (2^t+2 = 2^t 2²).

MODELLO CRESCITA: POPOLAZIONE CON RISORSE ILLIMITATE

(tempi discreti)

Generalizzando il modello precedente si ha il modello "crescita-popolazione":

(se t₀ = 0 è stazionario: x(t) = a^t x(0))

Si tratta di un modello di crescita esponenziale.

In particolare, se a è di crescita allora risulta a

altrimenti risulta a, se invece:

a < 1 si ha una decrescita esponenziale

(se a = 1 si ha un caso limite)

Esempio:

Consideriamo il modello: x(t+1) = a ⋅ x(t) - ū (a > 1 e ū > 0)

Vale quindi:

x(t+1) = a x(t₀) - ū

x(t+2) = a(ax(t₀) - ū) = a^2 x(t₀) - aū - ū

x(t+3) = a^3 x(t₀) - a^2ū - aū - ū

quindi vale la forma esplicita: x(t_k) = a^k x(t₀) - ^{a^k - 1}/_{a - 1} ū

Studiando il comportamento del modello per k → ∞ si vede che il modello è instabile, infatti: lim x(t₀+K) → ∞. Si può comunque avere una situazione di "equilibrio temporanea" data dalla condizione: x(t₀+k) = ^a / _{a - 1} dove ^a / _{a - 1} è la "popolazione limite di equilibrio".

I modi naturali e le leggi di moto

L'evoluzione libera si puó decomporre in andamenti tipici. I modi naturali evolvono (evidenziati in giallo) esponenzialmente, ossia delle evoluzioni indipendenti dallo stato iniziale e che seguono una determinata "legge di moto" che vedremo nei seguenti precedenti.

Se si hanno n autovalori reali, si hanno n modi naturali; se si hanno autovalori complessi, ad ogni coppia si associa un modo.

Dai modi naturali si capisce inoltre se un sistema è o meno stabile: se l'autovalore è nullo, si rimuove lo stato iniziale; se è autovalore è positivo, l'andamento diverge allontanandosi dall'origine, se negativo, converge verso l'origine.

Affinché un sistema sia stable, tutti i modi naturali devono esserlo: ne basta uno instabile perché il sistema non lo sia più.

Come già accennato, la parte che dipende dal tempo t (in verità negli "esempi precedenti") costituisce la legge di moto:

• a. Esempio continuo rappresentato attraverso esponenziali e^λt, e possiamo capire la stabilità del sistema dal segno degli autovalori, tuttavia;
• b. Esempio discreto è rappresentato da potenze del tipo λ^k e stabilità: se modulo particulare se modulo < 1 il sistema è stabile; se modulo > 1 il sistema è instabile.

Calcolo evoluzione libera d'uscita

Esempio:

Consideriamo l'esempio precedente (continuo)

Supponendo: y(t) = Cx(t) = 3x(t)₁ - x₂(t) => C = [3 -1]

Allora l'evoluzione libera d'uscita vale:

y(t) = C e^Atx(t₀) = (3 -1)[5e^3t 2e^-2t][2 -3] = 1/5 = 1/5 (9e^3t - 6 e^-2t + 4 e^-2t) - 2 e^-2t = 2 e^-2t y(t) = e^-2t

I modi naturali si dicono "osservabili" quando compaiono nell'evoluzione libera d'uscita e "inossavabili" se non compaiono in d'uscita per qualunque stato iniziale nell'esempio precedenti il contrario, un dato stato iniziale completo.

In generale, si definisce "inossavabili" se per i modo naturali associati a λ_k, si ha che ir ⟶.

Rappresentazione implicita ed esplicita dei sistemi (lin.staz.)

• Forma implicita
• x(t₀) = Ax(t) + Bu(t)
• y(t) = Cx(t) + Du(t)
• Forma esplicita
• x(t) = Φ(t-t₀)x(t₀) + ζ(t₀)u(τ)dτ + H(t-t₀)
• y(t₀) = Ψ(t-t₀)x(t₀)

• Passaggio da forma esplicita a implicita
• A = Φ(^-1) Δτ, B = λ(τ), C = Ψ(0), D = λ(0)ζ(τ)
• Passaggio da forma implicita a esplicita
• Φ(t) = A^-1 B^-1 M, Ψ(t) = C A^-1 B, H(t) = A^-1 B
• M(t) = t_0⁻