Teoria dei sistemi - diagrammi di Bode

Modulo In tal caso essendo s = jω e

, allora il modulo risulta:

con

Allora pertanto e per

mentre per , inoltre per

ω = 2 radianti al secondo | G(jω) | = 0.

db

Come si può osservare dal diagramma, la pendenza è -1 sempre.

Fase Poiché , è immaginario puro, e, è sempre positivo, allora i numeri

complessi al variare di ω sono sulla semiretta immaginaria negativa,

e quindi la loro fase è -90 sempre.

Zeri reali (1 + jωτ) [modifica]

Gli zeri dei binomi posti a numeratore influiscono sull'andamento della funzione di trasferimento in

modo non lineare. Può essere però comodo, per semplificare i conti, studiare un andamento

approssimato del modulo e della fase, tenendo conto in seguito dell'errore massimo che si può

commettere con questa semplificazione.

Modulo:

ponendo poi

Si possono verificare ora due casi:

Ciò significa che il diagramma di Bode approssimato per un termine binomio posto a numeratore

della funzione di trasferimento consiste di una spezzata che ha valore 0 per tutte le e che

cresce linearmente di 20 dB/decade (o 6 dB/ottava) per tutte le .

È naturale, ora, chiedersi quale sia l'errore massimo che si commette effettuando questa

approssimazione. L'errore massimo è commesso proprio nel caso in cui ω = ω . Infatti:

B

se

Siamo pertanto sicuri che, nell'approssimazione dell'andamento del modulo di un termine binomio

con una spezzata, non si commette un errore maggiore di 3dB.

Fase:

Esempio [modifica]

Un filtro RC passabasso, per esempio, ha la seguente risposta in frequenza:

La frequenza di taglio indicata dal punto f (in hertz) ha valore pari a

c

.

L'approssimazione asintotica del diagramma di Bode consiste di due linee:

per frequenze minori di f è una linea orizzontale a 0 dB,

 c

per frequenze f è una linea con una pendenza di −20 dB per decade.

 c

Queste due linee si incontrano alla frequenza di taglio. Dal diagramma si vede che per frequenze

molto al disotto della frequenza di taglio il circuito ha un'attenuazione di 0dB, cioè il filtro non

modifica il modulo del segnale. Frequenze al disopra della frequenza di taglio sono attenuate in

misura maggiore tanto più si sale in frequenza.

Esempio pratico di tracciamento del diagramma [modifica]

Vediamo ora, in pratica, come si procede per tracciare un diagramma asintotico di Bode da cui poi

si può tracciare, con buona approssimazione, quello reale. La spiegazione viene fatta seguendo un

esempio pratico: Si vuole tracciare il diagramma asintotico di Bode del modulo e della fase della

funzione di trasferimento

Per prima cosa mettiamo in evidenza tutte le informazioni che ci servono.

Guadagno statico μ: [modifica]

Si trova, molto semplicemente calcolando e poi trasformandolo in decibel con la

formula In questo caso μ = 10 da cui

Pendenza iniziale: [modifica]

Occorre guardare il tipo, ovvero l’esponente (solitamente si indica con la lettera g) relativo al polo

0

nell’origine. In questo caso s quindi il tipo è zero. La pendenza iniziale è uguale a –g=0

Fase iniziale: [modifica]

La fase iniziale è uguale a

Zeri e poli: [modifica]

Si individuano a questo punto gli zeri e i poli della funzione di trasferimento:

z = + 20

1

p = − 1

1

p = − 2

2

I poli e gli zeri sono tutti reali (non complessi) e non nell’origine. Si inseriscono questi valori in una

tabella dove sono divisi i poli dagli zeri e quelli a parte reale positiva da quelli a parte reale negativa

da quelli nell’origine.

Pendenza finale [modifica]

È data dal numero totale di zeri meno il numero totale di poli. Non è necessaria per tracciare il

diagramma del modulo ma consente di verificare la correttezza dell’esercizio. In questo caso 1 – 2 =

– 1.

Tracciamo ora i diagrammi asintotici di Bode sulla carta semilogaritmica.

Diagramma del modulo [modifica]

Partiamo considerando una retta con pendenza iniziale 0 e che passa per il punto iniziale 20dB

(significa che nel punto di pulsazione 1 ha modulo 20dB).

In corrispondenza di ω=1 troviamo un polo quindi la pendenza del diagramma del modulo si

abbassa di 20dB per decade. Lo stesso accade in ω=2 dove la pendenza scende di altri 20 dB per

decade fino a ω=20 dove troviamo uno zero che aumenta la pendenza del diagramma di 20dB per

decade.

Diagramma della fase [modifica]

Possiamo ora tracciare il diagramma della fase. Sapendo che il diagramma ha fase iniziale 0°

traccio la prima parte del grafico asintotico.

Appunti di Teoria dei sistemi per tracciare i diagrammi di Bode, contenente varie nozioni su: la scala logaritmica, il diagramma del modulo, il diagramma della fase, i diagrammi asintotici, la funzione di trasferimento in forma normale (produttorie, sommatorie), guadagno di una funzione di trasferimento.