Teoria dei sistemi - diagrammi di Bode

Diagramma Bode

Scala logaritmica

Per facilitare lo studio su un elevato spettro di pulsazioni, sia il diagramma del modulo sia il diagramma della fase vengono rappresentati su carta logaritmica o semilogaritmica divisa in decadi. La carta semilogaritmica è caratterizzata dal fatto che la distanza che separa due valori ω è proporzionale alla differenza tra i logaritmi (solitamente in base 10) di ω. Fatte queste premesse, una possibile rappresentazione dei valori della pulsazione sulla carta semilogaritmica potrebbe essere.

Diagramma del modulo

Nel diagramma del modulo si rappresenta sulla carta semilogaritmica la pulsazione sull'asse delle ascisse mentre su quello delle ordinate il modulo espresso in decibel, cioè il modulo espresso secondo la formula.

Diagramma della fase

Nel diagramma della fase si rappresentano le ampiezze assunte dall'argomento F per diversi valori di ω. Anche in questo caso è utile servirsi della carta semilogaritmica indicando sull'asse delle ascisse le pulsazioni e sull'asse delle ordinate le ampiezze, solitamente espresse in gradi sessagesimali (DEG).

Diagrammi asintotici

Per tracciare il diagramma reale di Bode sia del modulo che della fase, sono richiesti una quantità particolarmente elevata di calcoli, dovendo valutare il modulo e la fase della funzione F per un ventaglio di valori della pulsazione molto ampio. Questo, in assenza di un calcolatore elettronico che esegue parecchi calcoli in breve tempo, può risultare molto difficile o comunque dispendioso in fatto di tempo. Per ovviare a questo problema è prassi comune quella di disegnare i diagrammi di Bode a partire dai diagrammi asintotici e approssimando il comportamento dei grafici reali da questi ultimi.

Funzione di trasferimento in forma normale

La funzione di trasferimento di un sistema è una funzione frazionaria sicuramente propria, nella quale compaiono a numeratore le uscite e a denominatore gli ingressi. Per studiare con maggiore facilità una funzione di trasferimento è utile riportarla in forma canonica o forma di Bode. Questa particolare forma è costituita da una serie di monomi, binomi e trinomi espressi nella variabile complessa di Laplace. Essa assume la forma:

• μ: Valore costante che esprime il guadagno della funzione di trasferimento.
• gs: Zeri o poli nell'origine, a seconda del valore assunto da g.
• Zero reale della funzione di trasferimento.
• Polo reale della funzione di trasferimento.
• Coppia di zeri complessi coniugati.
• Coppia di poli complessi coniugati.

Effettuando la sostituzione s = jω si passa alla forma canonica.