Teoria dei sistemi - diagrammi di Bode

Fase

Poiché è immaginario puro, e, è sempre positivo, allora i numericomplessi al variare di ω sono sulla semiretta immaginaria negativa, e quindi la loro fase è -90 sempre. Zeri reali (1 + jωτ) [modifica] Gli zeri dei binomi posti a numeratore influiscono sull'andamento della funzione di trasferimento in modo non lineare. Può essere però comodo, per semplificare i conti, studiare un andamento approssimato del modulo e della fase, tenendo conto in seguito dell'errore massimo che si può commettere con questa semplificazione. Modulo: ponendo poi Si possono verificare ora due casi: Ciò significa che il diagramma di Bode approssimato per un termine binomio posto a numeratore della funzione di trasferimento consiste di una spezzata che ha valore 0 per tutte le ω e che cresce linearmente di 20 dB/decade (o 6 dB/ottava) per tutte le ω. È naturale, ora, chiedersi quale sia l'errore massimo che si commette.effettuando questa approssimazione. L'errore massimo è commesso proprio nel caso in cui ω = ω. Infatti: Bse Siamo pertanto sicuri che, nell'approssimazione dell'andamento del modulo di un termine binomio con una spezzata, non si commette un errore maggiore di 3dB. Fase: Esempio [modifica] Un filtro RC passabasso, per esempio, ha la seguente risposta in frequenza: La frequenza di taglio indicata dal punto f (in hertz) ha valore pari a c. L'approssimazione asintotica del diagramma di Bode consiste di due linee: - per frequenze minori di f è una linea orizzontale a 0 dB, - per frequenze f è una linea con una pendenza di -20 dB per decade. Queste due linee si incontrano alla frequenza di taglio. Dal diagramma si vede che per frequenze molto al disotto della frequenza di taglio il circuito ha un'attenuazione di 0 dB, cioè il filtro non modifica il modulo del segnale. Frequenze al disopra della frequenza di taglio sono attenuate.inmisura maggiore tanto più si sale in frequenza. Esempio pratico di tracciamento del diagramma asintotico di Bode da cui poi si può tracciare, con buona approssimazione, quello reale. La spiegazione viene fatta seguendo un esempio pratico: Si vuole tracciare il diagramma asintotico di Bode del modulo e della fase della funzione di trasferimento. Per prima cosa mettiamo in evidenza tutte le informazioni che ci servono. Guadagno statico μ: Si trova, molto semplicemente calcolando μ e poi trasformandolo in decibel con la formula μ = 10 log10(μ). In questo caso μ = 10 da cui μ = 20 dB. Pendenza iniziale: Occorre guardare il tipo, ovvero l'esponente (solitamente si indica con la lettera g) relativo al polo 0 nell'origine. In questo caso s quindi il tipo è zero. La pendenza iniziale è uguale a -g = 0. Fase iniziale: La fase iniziale è uguale a 0. Zeri e poli: Si

individuano a questo punto gli zeri e i poli della funzione di trasferimento:

z = + 201p = − 11p = − 22

I poli e gli zeri sono tutti reali (non complessi) e non nell’origine. Si inseriscono questi valori in una tabella dove sono divisi i poli dagli zeri e quelli a parte reale positiva da quelli a parte reale negativa da quelli nell’origine.

Pendenza finale [modifica]È data dal numero totale di zeri meno il numero totale di poli. Non è necessaria per tracciare il diagramma del modulo ma consente di verificare la correttezza dell’esercizio. In questo caso 1 – 2 =– 1.

Tracciamo ora i diagrammi asintotici di Bode sulla carta semilogaritmica.

Diagramma del modulo [modifica]Partiamo considerando una retta con pendenza iniziale 0 e che passa per il punto iniziale 20dB (significa che nel punto di pulsazione 1 ha modulo 20dB). In corrispondenza di ω=1 troviamo un polo quindi la pendenza del diagramma del modulo si abbassa di 20dB per decade.

Lo stesso accade in ω=2 dove la pendenza scende di altri 20 dB per decade fino a ω=20 dove troviamo uno zero che aumenta la pendenza del diagramma di 20 dB per decade.

Diagramma della fase [modifica]

Possiamo ora tracciare il diagramma della fase. Sapendo che il diagramma ha fase iniziale 0° traccio la prima parte del grafico asintotico.