Teoria dei Segnali parte 3: Impulso di Dirac e Teoria dei Sistemi Dinamici

Appunti di teoria dei segnali

Impulso di Dirac e teoria dei sistemi dinamici

Pedone Fabio – Politecnico di Bari

Segnale impulsivo: delta di Dirac

L'introduzione del segnale notevole gradino unitario u(t) consente di studiare un segnale che è la generalizzazione teorica del segnale impulsivo, di fondamentale importanza nel campionamento di segnali analogici e nel comportamento di sistemi dinamici lineari tempo-invarianti. Il segnale u(t) è tale che:

Si pone il problema di calcolare la derivata temporale del segnale gradino. La difficoltà da superare è la discontinuità a salto data in t=0. Non è dunque noto il comportamento della presunta funzione:

Ma pare logico che sia nulla per ogni t≠0. Il segnale impulsivo che dobbiamo ricavare, come il gradino, è una pura astrazione matematica. Nessun fenomeno fisico può presentare discontinuità nette come quelle qui studiate. Consideriamo un'approssimazione del gradino ideale con un gradino reale u(t), dato da:

Il segnale è ora derivabile per ogni t ∈ R e indichiamo la sua derivata come:

Inoltre esprimiamo il gradino reale come:

Riducendo il parametro ε si ottiene un'approssimazione sempre migliore del gradino ideale e una convergenza verso l'impulso per la funzione δ(t).

Per ε→0, la durata di δ(t) tende a 0 e il suo valore in ampiezza aumenta indefinitamente. Per integrazione, il segnale deve sempre restituire un gradino unitario, quindi l'area degli impulsi rettangolari è sempre unitaria. Nella relazione:

La funzione δ diventa limite della successione di impulsi rettangolari. Il limite della successione però non è una funzione nel senso stretto del termine, in quanto dovrebbe assumere valore nullo per ogni t≠0 e se integrate restituisce un valore finito diverso da 0. Quindi è un abuso di linguaggio dire che δ(t) è limite di una successione di funzioni δ_ε(t), ma si può definire la funzione generalizzata o distribuzione impulso unitario δ(t) tale che:

Si ammette che il δ abbia carattere analogo a quello di un segnale ordinario ma che ha significato solo se se ne considera una proprietà integrale come nella definizione. Consideriamo la proprietà campionatrice dell'impulso unitario. Consideriamo il segnale x(t) continuo in t=0 e calcoliamo l'integrale:

Il problema è che δ(t) appare sotto segno di integrale che si calcolerà col noto procedimento al limite:

Per il teorema della media integrale.

Per x(t) continua in t=0. Di norma il δ(t) possiede proprietà i