Teoria dei Segnali parte 3: Impulso di Dirac e Teoria dei Sistemi Dinamici

Ma pare logico che sia nulla per ogni t≠0. Il segnale impulsivo che dobbiamo ricavare, come il gradino, è una

pura astrazione matematica. Nessun fenomeno fisico può presentare discontinuità nette come quelle qui

studiate. Consideriamo un’approssimazione del gradino ideale con un gradino reale u (t), dato da:

ε

Il segnale è ora derivabile per ogni t ϵ R e indichiamo la sua derivata come:

Inoltre esprimiamo il gradino reale come:

Riducendo il parametro ε si ottiene un’approssimazione sempre migliore del gradino ideale e una

convergenza verso l’impulso per la funzione δ (t).

ε

Per ε→0 la durata di δ (t) tende a 0 e il suo valore in ampiezza aumenta indefinitamente. Per integrazione il

ε

segnale deve sempre restituire un gradino unitario, quindi l’area degli impulsi rettangolari è sempre

unitaria. Nella relazione:

La funzione δ diventa limite della successione di impulsi rettangolari. Il limite della successione però non è

una funzione nel senso stretto del termine, in quanto dovrebbe assumere valore nullo per ogni t≠0 e se

integrate restituisce un valore finito diverso da 0. Quindi è un abuso di linguaggio dire che δ(t) è limite di

una successione di funzioni δ (t), ma si può definire la funzione generalizzata o distribuzione impulso

ε

unitario δ(t) tale che:

Si ammette che il δ abbia carattere analogo a quello di un segnale ordinario ma che ha significato solo se se

ne considera una proprietà integrale come nella definizione. Consideriamo la proprietà campionatrice

dell’impulso unitario. Consideriamo il segnale x(t) continuo in t=0 e calcoliamo l’integrale:

Il problema è che δ(t) appare sotto segno di integrale che si calcolerà col noto procedimento al limite:

Con :

Per il teorema della media integrale.

Per x(t) continua in t=0. Di norma il δ(t) possiede proprietà identiche a quelle di funzioni ordinarie e che

consentono di trattarlo come un segnale analogico ordinario con le dovute cautele. Graficamente si

rappresenta con una freccia sul punto di applicazione con, al suo fianco, il valore, non quello assunto sulle

ordinate, ma dall’area sottesa dall’impulso. Per un’impulso unitario:

Proprietà del δ di Dirac

Innanzitutto si deduce che il δ(t), dalla proprietà campionatrice, è un segnale pari:

Ciò si estende considerando la funzione impulsiva traslata δ(t-t ).

0

Da cui consegue un’altra proprietà:

Un’altra importante proprietà deriva dalla parità di δ(t):

Per cui Dirac è definito elemento neutro rispetto alla convoluzione. La proprietà campionatrice consente

immediatamente di risolvere il problema di trovare la sua F-trasformata:

Per dualità si osserva che se x(t)=1 :

Per la traslazione in frequenza:

F-trasformata del coseno

F-trasformata del seno

Teoria dei sistemi dinamici

Affrontiamo sistemi fisici ideali o reali monodimensionali. Un sistema è un insieme di elementi

interconnessi cui è associato un modello matematico o trasformazione che, a un certo segnale d’ingresso

(sollecitazione, causa, eccitazione) x(t), fa corrispondere un certo e unico segnale d’uscita (risposta, effetto)

y(t). La trasformazione si indica nel seguente modo:

I sistemi si classificano per le proprietà che soddisfano.

Proprietà dei sistemi

LINEARITA’

Data un coppia di segnali x (t), x (t) per i quali:

1 2

Generato il segnale:

Allora:

ESEMPIO

ESEMPIO

ESEMPIO

ESEMPIO

Tempo-invarianza

Dato un sistema, lineare o meno, tale che:

Considerando il segnale:

Se accade che:

Il sistema T è tempo-invariante.

Sistemi che sono sia lineari che stazionari prendono il nome di sistemi lineari tempo-invarianti o LTI e hanno

proprietà che ne semplificano lo studio. Sui sistemi LTI si dimostra un’importante proprietà.

Risposta dei sistemi LTI

Dati x(t) e un sistema T supposto LTI:

Per la neutralità del δ(t) rispetto alla convoluzione si ha:

Dove si è implicitamente definito il segnale h(t):

Noto come risposta impulsiva di T. I passaggi effettuati hanno validità solo per gli LTI come è facile

constatare, per cui solo tali sistemi hanno risposta analiticamente ben definita e prevedibile.

ESEMPIO: sul sistema integratore dimostrare la tempo-invarianza e ricavare la risposta impulsiva h(t);

ESEMPIO: determinare la stazionarietà e calcolare la h(t) del seguente sistema T;

Causalità

Un sistema LTI è un sistema causale se la sua risposta, a un segnale x(t), in un certo istante t, dipende dai

valori di x(t) da -∞ a t e non valori di ingresso per istan superiori a t. Ques sistemi cos tuiscono un

sottoinsieme dei sistemi LTI.

Per la linearità dell’integrale. La causalità di T è soddisfatta se l’integrale definito da t a ∞ è nullo. Cioè:

Quindi la risposta impulsiva deve essere nulla per ogni t negativo.

Stabilità BIBO

L’acronimo BIBO sta per bounded input bounded output ovvero identifica quei sistemi LTI per i quali la

risposta a un ingresso limitato, è una risposta limitata. Si può dimostrare che condizione necessaria e

sufficiente affinché un LTI sia BIBO è che la sua risposta impulsiva sia assolutamente integrabile.

DIMOSTRAZIONE SUFFICIENZA

Considerando che:

Accade che:

DIMOSTRAZIONE NECESSITA’

Per assurdo si può dimostrare che un sistema è BIBO allora necessariamente la sua h(t) è assolutamente

integrabile. Supponiamo che il sistema sia stabile, nonostante imponiamo che h(t) non sia assolutamente

integrabile. Se il sistema è BIBO ad un ingresso limitato deve corrispondere un’uscita limitata. Questo

accade in particolare per il segnale specifico:

Calcolato per il generico valore:

E ricordando che y(t) deve essere limitato:

Ma questo va contro l’ipotesi di y(t)<∞ per la stabilità BIBO. Quindi se la stabilità è provata è necessario che

h(t) sia assolutamente integrabile.

Risposta in frequenza

Supponiamo di trasmettere un segnale d’ingresso x(t) a un sistema LTI con x(t) sinusoidale complesso: