Teoria dei segnali

Teoria dei Segnali

Introduzione

L'obiettivo principale di un servizio di telecomunicazione è il trasferimento dell'informazione emessa da una sorgente agli utenti cui è destinata, nell'ambito di una particolare applicazione. Il trasferimento richiede l'accesso da parte degli utenti ad una rete di telecomunicazione, definita come il complesso di mezzi che, attraverso opportune risorse tecniche ed operative, consente ai suoi utenti il trasferimento dell'informazione.

FIGURA 1 - Rete di Telecomunicazione.

La Comunicazione

Nel senso più generale, la parola comunicazione indica la trasmissione di informazione da un luogo ad un altro attraverso un mezzo. Con il termine segnale si denomina una grandezza fisica, di solito variabile nel tempo e che contiene l'informazione e la cui natura può essere diversa: acustica, ottica, elettrica, … I segnali possono essere rappresentati in molti modi, ma l'informazione è sempre contenuta nelle variazioni di una o più grandezze in qualche dominio: ad esempio il segnale può essere costituito dalle variazioni di una grandezza nel tempo o nello spazio.

Per trasmettere un'informazione, e di conseguenza il segnale che la contiene, da un luogo all'altro si usa un sistema di comunicazione: la cui funzione è di raccogliere l'informazione dalla sorgente che l'ha generata e la consegna al destinatario, situato in un punto distinto dalla sorgente.

Nello studio dei sistemi di telecomunicazione le tre entità fondamentali cui si fa riferimento, come mostrato in Fig.2, sono:

1. Il Messaggio, che rappresenta l'oggetto della comunicazione.
2. La Sorgente del messaggio.
3. Il Destinatario del messaggio.

Il segnale

Per segnale s'intende una qualunque grandezza fisica variabile cui sia associata un'informazione di un qualche interesse.

I segnali che riguardano le comunicazioni elettriche sono spesso il risultato della traduzione della grandezza fisica da osservare, ad esempio la pressione prodotta da uno strumento musicale, in una grandezza elettrica come la tensione o la corrente. Ha, quindi senso parlare di segnali elettrici. Un segnale si definisce monodimensionale quando rappresenta la variazione di una grandezza in funzione di una variabile indipendente. La variabile indipendente nella maggior parte dei casi è il tempo e in questo caso si parla di segnale temporale f(t). Una grandezza generica x descritta da un segnale può essere reale, come ad esempio una tensione, o complessa, come ad esempio l’impedenza.

Sistema di comunicazione

Un sistema di comunicazione ha lo scopo di trasferire l'informazione generata da una sorgente verso una destinazione posta, genericamente, a una certa distanza. L'informazione è contenuta in un segnale elettrico.

Segnali a tempo continuo o analogici.

Un segnale si dice a tempo continuo o analogico quando la variabile indipendente, il tempo, assume con continuità tutti i valori compresi in un certo intervallo (a,b), che può anche essere illimitato.

FIGURA 5 - Segnale a tempo continuo.

Ad esempio, possono essere segnali elettrici derivanti da una velocità, una pressione, un'umidità, una temperatura, ... In fig. 5 è mostrato un altro tipo di segnale analogico:

FIGURA 6 - Altro segnale a tempo continuo o analogico.

I segnali analogici sono segnali che riproducono l'andamento di grandezze del mondo fisico e con esse in stretta analogia.

Lo studio dei segnali.

Lo studio di un segnale, qualunque sia il tipo e qualunque sia la sua forma d’onda, si effettua sempre secondo due direttrici:

1. nel dominio del tempo;
2. nel dominio della frequenza.

Sono due modi di rappresentare la stessa entità, lo stesso segnale. Il legame che esiste tra i due domini è costituito da precise relazioni matematiche, che rende le due rappresentazioni perfettamente intercambiabili. Tali rappresentazioni vengono così definite:

Dominio del tempo:

lo studio nel dominio del tempo consente di determinare:

La forma d’onda, cioè il modo in cui un segnale varia nel tempo; da essa si ricavano l’ampiezza, il valore efficace, il periodo, il valore medio, ecc ... del segnale. Matematicamente si esplicita una funzione del tempo con la scritta:

y = f(t)

La durata del segnale, cioè l’intervallo di tempo in cui il segnale assume valori significativi.

Dominio della frequenza:

lo studio nel dominio della frequenza consente di determinare:

Lo spettro (o trasformata) di un segnale, cioè la rappresentazione delle frequenze che compongono il segnale stesso. Lo spettro viene indicato con la lettera maiuscola ed una dipendenza dalla frequenza. Ad esempio S (f) = ...

La banda che rappresenta l’intervallo delle frequenze in cui lo spettro del segnale assume valori significativi.

Altro parametro caratteristico è l’estensione del segnale:

• a) nel dominio del tempo l’estensione prende il nome di durata, cioè è un intervallo di tempo;
• b) nel dominio della frequenza l’estensione prende il nome di banda, cioè è un intervallo di frequenza.

Sistemi in regime sinusoidale.

Nello studio dell’Elettrotecnica si è appreso che il funzionamento di una rete elettrica costituita da componenti passivi (resistori, induttori, condensatori) ed attivi (generatori), può essere descritto attraverso un modello matematico costituito da un sistema di equazioni differenziali i cui termini noti rappresentano le cause che generano le correnti che attraversano la rete. Il sistema di equazioni che si ottiene dipende dalla forma del circuito e le equazioni sono ricavabili dai principi di Kirchhoff. Sotto opportune ipotesi (linearità e tempo invarianza dei componenti) tale equazione è lineare e a coefficienti costanti. Allora, se le cause forzanti (generatori) sono tutte sinusoidali isofrequenziali, tale è anche il termine noto, e, una soluzione particolare dell’equazione, sarà anch’essa sinusoidale isofrequenziale con le cause forzanti.

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

Cenni Storici (Wikipedia)

Jean Baptiste Joseph Fourier (nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto soprattutto per la sua famosa trasformata.

La sua istruzione si compì dapprima dai Benedettini, poi in una scuola militare. Partecipò alla Rivoluzione Francese, rischiando di essere ghigliottinato durante il periodo del Terrore, ma fu salvato dalla caduta di Robespierre. Entrò poi nella École Normale Supérieure, dove ebbe come professori, tra gli altri, Joseph-Louis Lagrange e Pierre Simon Laplace. Succedette anche a quest'ultimo nel ruolo di professore alla École Polytechnique nel 1797.

Fourier partecipò alla campagna d'Egitto di Napoleone nel 1798 e ricoprì un importante ruolo di diplomatico in quel paese. Al suo ritorno in Francia, nel 1801, fu nominato da Napoleone prefetto dell'Isère. Fu quindi lì, nella città di Grenoble, che condusse i suoi esperimenti sulla propagazione del calore che gli consentirono di modellizzare l'evoluzione della temperatura per mezzo di serie trigonometriche. Questi lavori furono pubblicati nel 1822 in Teoria analitica del calore, ma furono molto contestati, specialmente da Laplace e Lagrange. Nel 1817 entrò a far parte dell'Accademia delle Scienze. A Grenoble incontrò il giovane Jean-François Champollion che, guardando la collezione dei geroglifici, decise che da grande sarebbero stati trascritti da lui (così racconta lo stesso Champollion in uno dei suoi scritti).

Tra i suoi maggiori contributi figurano: la teorizzazione della serie di Fourier e la conseguente Trasformata di Fourier in matematica e la formulazione dell'equazione generale della conduzione termica, denominata legge di Fourier, in termodinamica.

A lui è stato intitolato l'omonimo cratere sulla Luna.