Teoria dei circuiti

C ircuito R-L Serie (Nel Dominio del tempo)

V (t) = L i’(t)

L

V (t) = R i(t)

R

Osservazioni:

Se V(t) = Cost. => i(t) = Cost. => V (t) = L i’(t)= 0 Cortocircuito

L

=> V (t) = V(t)

R Nota1: t V (t) = V(t) = E

infinito

0 , t<0 R

Se V(t) = E , t>0 V (t) = 0

L

Cosa succede per t >0 ? Nota2: t < 0 V (t) = 0 , V (t) = 0

R L

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t) 

L R

L i’(t) + R i(t) = E

 Equazione differenziale di primo

ordine a coefficienti costanti

non omogenea.

L i’(t) + R i(t) = E

1- Risoluzione generale (E. Differenziale Omogenea)

L i’(t) + R i(t) = 0 

La soluzione sarà del tipo i(t) = A

 

Sostituendo

 

L A + R A = 0

 

L A = - R A

 

= -

 

i (t) = A

 1

2- Risoluzione particolare

Devo trovare quella soluzione che soddisfa

L i’(t) + R i(t) = E 

i (t) =

 

2

infatti sostituita dentro l’equazione

 differenziale otteniamo E = E

3- Risoluzione

i(t) = i (t)+ i (t) = A + 

1 2 i(t=0) =0

 

Condizioni iniziali

= A + E/R = 0

i(t=0) 

E/R

A=- 

i(t)= - +

 

i(t)= ( 1 )

 Resistore V R

I = I

R

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t) 

L R

V (t) = V(t) - V (t)

 

L R

V (t) = E – E ( 1 )

 

L

V (t) = E

 L Induttore

V V

L L I = I

L

Confronto simultaneo V - V

R L V R

V L

Nota: Dal confronto simultaneo notiamo che per t che

tende all’infinito la tensione si posiziona tutta sulla

resistenza , ma questo lo sapevamo già in quanto L si

comportava come un corto circuito.

Nota: La corrente in entrambi i componenti è la stessa

in quanto sono collegati in serie.

Nota: L ha tensione massima quando i = 0

L ha tensione = 0 quando i è massima

R ha tensione massima quando i è massima

R ha tensione = 0 quando i = 0

Nota: C’è un istante t=t per il quale la

1

tensione del resistore = tensione dell’induttore

Deduciamo che è normale che se la tensione in un

componente è massima allora nell’altro componente

deve essere uguale a 0 (kirchhoff).

C ircuito R-C // (Nel Dominio del tempo)

I(t) = C Vc’(t)

V (t) = R I(t)

R

Osservazioni:

Se V(t) = Cost. => V (t) = Cost. => I(t) = C V ’(t)= 0 = C.aperto

c c

=> V (t) = 0 => V (t)= V(t)

R c Nota1: t V (t) = 0

infinito R

0 , t<0

Se V(t) = E , t>0 V (t) = V(t)= E

L

Cosa succede per t >0 ? Nota2: t < 0 V (t) = 0 , V (t) = 0

R L

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t) 

R C

R I(t) + V (t) = E

 

C

V ’(t) + V (t) = E

RC Equazione differenziale di primo

C C ordine a coefficienti costanti

non omogenea

RC V ’(t) + V (t) = E

C C

1- Risoluzione generale (E. Differenziale Omogenea)

RC V ’(t) + V (t) = 0 

C C

La soluzione sarà del tipo V (t) = A

 

C

Sostituendo

 

RC A + A = 0

 

RC A = - A

 

= -

 

V (t) = A

 C1

2- Risoluzione particolare

Devo trovare quella soluzione che soddisfa

RC V ’(t) + V (t) = E 

C C

V (t) =

 

C2

infatti sostituita dentro l’equazione

 differenziale otteniamo E = E

1- Risoluzione

V (t) = V (t)+ V (t) = A + 

C C1 C2 Vc(t=0) =0

 

Condizioni iniziali

i(t=0) = A + E = 0

 

A=- E

 

V (t)= - +

 