Teoria dei circuiti

Circuito R-L serie (nel dominio del tempo)

V (t) = L i’(t)L V (t) = R i(t)R

Osservazioni

Se V(t) = Cost. => i(t) = Cost. => V (t) = L i’(t)= 0 Cortocircuito L => V (t) = V(t)R

Nota 1

t V (t) = V(t) = E  infinito 0 , t<0 R

Se V(t) = E , t>0 V (t) = 0 L

Cosa succede per t >0 ?

Nota 2

t < 0 V (t) = 0 , V (t) = 0 R L

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t)  L R

L i’(t) + R i(t) = E  Equazione differenziale di primo ordine a coefficienti costanti non omogenea.

L i’(t) + R i(t) = E

1- Risoluzione generale (E. differenziale omogenea)

L i’(t) + R i(t) = 0  La soluzione sarà del tipo i(t) = A   Sostituendo   L A + R A = 0   L A = - R A   = -   i (t) = A  1

2- Risoluzione particolare

Devo trovare quella soluzione che soddisfa L i’(t) + R i(t) = E  i (t) =   2

Infatti sostituita dentro l’equazione differenziale otteniamo E = E

3- Risoluzione

i(t) = i (t)+ i (t) = A +  1 2 i(t=0) =0   Condizioni iniziali = A + E/R = 0  i(t=0)  E/R  A=-  i(t)= - +   i(t)= ( 1 ) 

Resistore

V R I = IR

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t)  L R

V (t) = V(t) - V (t)   L R

V (t) = E – E ( 1 )   L

V (t) = E  L

Induttore

V V L L I = IL

Confronto simultaneo

V - V R L V R V L

Nota: Dal confronto simultaneo notiamo che per t che tende all’infinito la tensione si posiziona tutta sulla resistenza, ma questo lo sapevamo già in quanto L si comportava come un corto circuito.

Nota: La corrente in entrambi i componenti è la stessa in quanto sono collegati in serie.

• L ha tensione massima quando i = 0
• L ha tensione = 0 quando i è massima
• R ha tensione massima quando i è massima
• R ha tensione = 0 quando i = 0

Nota: C’è un istante t=t per il quale la 1 tensione del resistore = tensione dell’induttore

Deduciamo che è normale che se la tensione in un componente è massima allora nell’altro componente deve essere uguale a 0 (Kirchhoff).

Circuito R-C // (nel dominio del tempo)

I(t) = C Vc’(t) V (t) = R I(t)R

Osservazioni

Se V(t) = Cost. => V (t) = Cost. => I(t) = C V ’(t)= 0 = C. aperto c => V (t) = 0 => V (t)= V(t)R c

Nota 1

t V (t) = 0  infinito R 0 , t<0

Se V(t) = E , t>0 V (t) = V(t)= E L

Cosa succede per t >0 ?

Nota 2

t < 0 V (t) = 0 , V (t) = 0 R L

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t)  R C

R I(t) + V (t) = E   C

C V ’(t) + V (t) = E  RC Equazione differenziale di primo C C ordine a coefficienti costanti non omogenea

RC V ’(t) + V (t) = E C C

1- Risoluzione generale (E. differenziale omogenea)

RC V ’(t) + V (t) = 0  C C

La soluzione sarà del tipo V (t) = A   C

Sostituendo   RC A + A = 0   RC A = - A   = -   V (t) = A  C 1

2- Risoluzione particolare

Devo trovare quella soluzione che soddisfa RC V ’(t) + V (t) = E  C C

V (t) =   C 2

Infatti sostituita dentro l’equazione differenziale otteniamo E = E

1- Risoluzione

V (t) = V (t)+ V (t) = A +  C C 1 C 2 Vc(t=0) =0   Condizioni iniziali i(t=0) = A + E = 0   A=- E   V (t)= - +  