Teoria dei circuiti

R C

R I(t) + V (t) = E

 

C

V ’(t) + V (t) = E

RC Equazione differenziale di primo

C C ordine a coefficienti costanti

non omogenea

RC V ’(t) + V (t) = E

C C

1- Risoluzione generale (E. Differenziale Omogenea)

RC V ’(t) + V (t) = 0 

C C

La soluzione sarà del tipo V (t) = A

 

C

Sostituendo

 

RC A + A = 0

 

RC A = - A

 

= -

 

V (t) = A

 C1

2- Risoluzione particolare

Devo trovare quella soluzione che soddisfa

RC V ’(t) + V (t) = E 

C C

V (t) =

 

C2

infatti sostituita dentro l’equazione

 differenziale otteniamo E = E

1- Risoluzione

V (t) = V (t)+ V (t) = A + 

C C1 C2 Vc(t=0) =0

 

Condizioni iniziali

i(t=0) = A + E = 0

 

A=- E

 

V (t)= - +

 

C

V (t)= ( 1 )

 C

Con I(t) = C V ’(t) = E/R

C Condensatore V C

I = I

C

Kirchhoff: V (t) + V (t) = V(t) 

C R

V (t) = V(t) - V (t)

 

R C

V (t) = E – E ( 1 )

 

R

V (t) = E

 R Resistore

V R

I I

C Confronto simultaneo V – V

R C V C

V R

Nota: Dal confronto simultaneo notiamo che per t che

tende all’infinito la tensione si posiziona tutta sul

condensatore , ma questo lo sapevamo già in quanto C

si comportava come un circuito aperto.

Nota: La corrente in entrambi i componenti è la stessa

in quanto sono collegati in serie.

Nota: C ha tensione massima quando i = 0

C ha tensione = 0 quando i è massima

R ha tensione massima quando i è massima

R ha tensione = 0 quando i = 0

Nota: C’è un istante t=t per il quale la

1

tensione del resistore = tensione del condensatore

Deduciamo che è normale che se la tensione in un

componente è massima allora nell’altro componente

deve essere uguale a 0 (kirchhoff).

Nota: Gli andamenti delle grandezze elettriche nel R-L

sono gli inversi degli andamenti nel R-C

Tipologia

Dato un circuito e il suo relativo grafo possiamo distinguere il numero dei nodi N e

il numero dei rami R.

Deduciamo subito che ci sono 2R relazioni dovute al fatto che le prime R sono

legate alle relazioni costitutive dei componenti e le restanti R al modo in cui i

componenti sono collegati tra di loro. Pertanto bisogna trovare quest’ultime!

Introduciamo il concetto di albero, coalbero, maglia fondamentale e taglio

fondamentale:

- Albero: Insiemi di rami connessi in modo tale che non formino un percorso

chiuso. E’ costituito da N-1 rami;

- Coalbero: Tutto ciò che non è albero è coalbero. E’costituito da R-N+1 rami;

- Maglia fondamentale: Essa viene formata aggiungendo un ramo del coalbero

all’albero. Ci sono in tutto R-N+1 maglie fondamentali (II legge Kirchhoff);

- Taglio fondamentale: Esso viene formato aggiungendo un ramo dell’albero al

coalbero. Ci sono in tutto N-1 tagli fondamentali (I legge Kirchhoff);

Pertanto le R relazioni mancanti sono le relazioni di kirchhoff infatti

(R-N+1) + (N-1) = R

Fissato albero e coalbero possiamo scrivere che V = , I =

Osservazione:

- L’albero non ha maglie => allora le tensioni dell’albero indipendenti => posso

scrivere le tensioni del coalbero come combinazione lineare di quelle dell’albero

- Non esistono tagli che interessano solo il coalbero => allora le correnti del

coalbero indipendenti => posso scrivere le correnti dell’albero come

combinazione lineare delle correnti del coalbero

Queste osservazioni si riassumono dicendo che :

I + A I = 0 dedotta dai tagli pertanto 2 legge di kirchhoff

---------

A C

V + B V = 0 <------- dedotta dalle maglie pertanto 1 legge di Kirchoof

C A

Si osserva che A =-B e sono matrici di 0 ,+1 e -1

T

Tellegran Dimostrazione

Dato un circuito e fissato il suo relativo grafo, albero e coalbero ,distinguiamo N

nodi e R rami.

Sappiamo che ogni ramo corrisponde ad un componente (pertanto R componenti), il

quale ha una certa potenza istantanea p(t) = V(t) * I(t) .

Supponiamo di voler calcolare la potenza istantanea complessiva del circuito, bisogna

allora sommare tutte le potenze di ogni componente:

Dove V = , I = allora abbiamo che (V ,V ) . = V I + V I =

aT cT aT cT

a c

Kirchhoff : I = - A I , V = (-B V ) = -V B = + V A Sostituendo

cT T aT T aT

a c a

= - V A I + V A I = 0

aT aT

c c

Allora viene confermato Tellegran il cui enunciato è:

Dato un circuito avente un certo grafo, fissato albero e coalbero, il vettore delle

tensioni risulta ortogonale al vettore delle correnti e viceversa.

L’enunciato si può espandere a più circuiti che differiscono fra loro, ma

l’importante è che essi abbiano tutti lo stesso grafo !!

Introducendo i fasori

Cosa associo alla derivata?

Metodo dei fasori

1- Trasformo

Bisogna trasformare ogni elemento come visto in precedenza, pertanto al

condensatore C si associa l'impedenza 1/jwC mentre all'induttore L si associa

l'inpedenza jwL. Alla resistenza R l'impedenza associata rimane R.

Per quanto riguarda i generatori e le grandezze elettriche si associano i relativi

fasori!

2- Analizzo

Ora posso analizzare il circuito normalmente come facevo nel dominio del tempo!

Valgono quindi, tutte le regole come partitore ti tensione, di corrente,

sovrapposizione etc...

Tutte le impedenze seguono le regole delle resistenze come la somma in parallelo e

la somma in serie.

3-Antitrasformo

Ritrasformo nel dominio del tempo le grandezze interessate con la

formula che sta alla prima pagina.

Generalmente il metodo dei fasori si utilizza per sapere cosa accade in

un circuito all'istante t<0 !

Laplace

Generalmente Laplace si usa per t>0 , per esempio vogliamo vedere come si comporta il

circuito una volta spenti i generatori oppure come si comporta se cambia il segnale da una

sinusoide a costante!

Pertanto vogliamo studiare il transitorio

Trasformata di Laplace (definizione)

s = Re{s}> =Ascissa di convergenza

Proprietà:

1- Linearità : } = }

2- Derivata : -

Metodo di Laplace:

1- Trasformo il circuito (In che modo? lo vedremo nelle pagine successive);

2- Analizzo il circuito (una volta trasformato anche qui si analizza come facevamo nel

dominio del tempo, ovvero tutte le grandezze rispettano le stesse regole );

3- Anti - trasformo (Alla fine noi vogliamo trovare un risultato nel dominio del

tempo, pertanto anti-trasformo da Laplace a Tempo)

Trasformazione del circuito

Valgono ancora le leggi di kirchhoff

I - 0

=0

2 - 0

=0

Resistore

v(t) = R i(t) }

V(s) = R I(s)

Condensatore

i(t) = C v'(t) } ] V(s) C

V(s) Induttore

v(t) = L i'(t) } ]

V(s) V(s)

Segnali

: Applicando la definizione di trasformata di Laplace passando però per il

limite di T che tende ad infinito ci ricaviamo le trasformate dei segnali:

Dominio Tempo Dominio Laplace

u (t) = Gradino unitario 1/s

-1 u (t)

-1

u (t)

-1

u (t) = Gradino Impulso 1

0

Antitrasformazione

L'antitrasformazioni di segnali semplici come quelli visti in precedenza è

immediata mentre se ci capita un segnale nel dominio di Laplace del

tipo: F(s) =

Allora bisogna applicare lo sviluppo in frazioni parziali, che consisterà nel

trovare i poli e i residui.

In questo modo la funzione data si semplificherà in una combinazione

lineare di funzioni semplici le quali conosciamo le anti-trasformate!

Nota: La funzione finale nel dominio del tempo dovrà andare a moltiplicare il gradino unitario per

garantire che essa parte da 0 verso tempi positivi , pertanto per annullare tutto quello che c'è a

sinistra dello 0.