Teoria degli insiemi parte 1

N.B. i primi due metodi sono equivalenti in quanto sono usati per rappresentare insiemi finiti (quelli

dotati di cardinalità (= numero di elementi finiti)), mentre il terzo solitamente per rappresentare

insiemi finiti e infiniti (quelli con cardinalità infinita)

Nota:

- Il concetto di ordine sugli elementi di un insieme non esiste, ad esempio presi in

A= 1,2,3 e B= 2,3,1

{ } { }

considerazione gli insiemi possiamo dire che A=B in quanto

hanno gli stessi elementi anche se disposti in ordine differente.

- Il concetto di molteplicità non appartiene al concetto di insieme ( in altre parole non ha

senso contare due volte uno stesso elemento in un insieme)

Es. L’insieme delle soluzioni dell’equazione (x-1)=0 è l’insieme unitario (vale a dire quello

caratterizzato da un unico elemento) x=1, analogo ragionamento se prendo l’insieme delle

2

x−1

( ) =0.

soluzioni dell’equazione In questo caso però essendo il quadrato di un

binomio, che solitamente implica per equazioni di secondo grado un discriminante minore

di zero l’esistenza di due soluzioni reali e coincidenti, l’insieme delle soluzioni sarà dato per

l’esattezza x=1, che avrà molteplicità algebrica 2, ma ciò non cambia l’insieme delle sue

soluzioni che sarà l’insieme unitario x=1.

Definizioni di Uguaglianza e Inclusione

a. A=B quando hanno gli stessi elementi.

Dimostrare tale fatto implica la dimostrazione di due proposizioni ben distinte che sono le

seguenti: ⤇ ⤇

x : x A x B e analogamente x : x B x A

∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈

QUINDI parole povere:

∈ ' '

occorre dimostrare che idue insiemi sianol uno il sottoinsieme del l altro

A B

⊆

b. si legge fondamentalmente che A è sottoinsieme o è incluso in B e si ha tale

proprietà quando ogni elemento di A è anche elemento di B

Per definizione dal punto di vista formale:

⤇

x : x A x B

∀ ∈ ∈