Teoria Controlli automatici

TEORIA CONTROLLI AUTOMATICI

Stabilità: Il concetto di stabilità comporta la presenza di poli a parte reale strettamente minore di zero.

Routhe: Non è un criterio di valutazione della stabilità di un sistema ma è semplicemente un criterio che

permette di valutare il segno della parte reale delle radici del polinomio.

Stabilità a ciclo chiuso: Considerando il sistema seguente, con G(s) = N(s) / D(s) , per valutare la stabilità a

( ) ( ) ( )

Y s k G s K N s

= =

ciclo chiuso effettuiamo ( ) ( ) ( ) ( )

+k

R s 1+k G s D s N s

e quindi si applica semplicemente Routhe al denominatore.

Sistemi 1° ordine: E’ un sistema avente un solo polo , quindi risulta asintoticamente stabile se il sistema

−1

1

( )=

P s s=

presenta un polo esattamente in .

+1

sτ τ

La costante di tempo caratterizza la velocità con cui il sistema parte, cioè più è piccola

più il sistema sarà veloce e viceversa.

Tempo di assestamento: E’ quel tempo entro il quale il sistema si porta entro un certo

valore assunto a regime. 1

( )=

P s

Sistemi 2° ordine: E’ un sistema avente una coppia di poli reali del tipo ( )( )

+ +

s τ 1 s τ 1

1 2

( Poli reali ) Analizzando il transitorio si nota che sono di fondamentale importanza le costanti di

tempo, quindi si parla di Polo dominante andando a guardare quelli più lenti.

Discorso equivalente con gli zeri, tanto più lontani sono dall’asse Im più sono trascurabili.

Sistemi 2° ordine: E’ un sistema caratterizzato da una fdt con due poli complessi e coniugati ed una w detta

n

Pulsazione caratteristica del sistema e ξ Fattore di smorzamento. 1

( )=

P s 2

s s

Il sistema è del tipo: +2 +1

ξ

2 w

w n

n

-Tempo di salita Ts: E’ il tempo che impiega il sistema a

raggiungere il valore desiderato.

-Sovraelongazione: Parametro che misura l’ampiezza

dell’oscillazione del sistema dopo aver

superato il valore di regime.

-Tempo di assestamento (2%-5%): E’ il tempo impiegato dal sistema ad assestarsi intorno al valore

raggiunto a regime.

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Risposta in frequenza

Esiste una dualità tra risposta nel dominio del tempo e risposta nel dominio della frequenza, infatti se G(s)

tende a far passare segnali a frequenze elevate più veloce sarà la risposta nel dominio del tempo;

viceversa se G(s) blocca dei segnali a frequenze elevate presenterà una risposta nel dominio del tempo molto

lenta.

La Risposta in frequenza permette di vedere il comportamento di un segnale a delle sinusoidi a varie

frequenze, e siccome un qualsiasi segnale lo possiamo rappresentare come somma di sinusoidi, è possibile

capire come un sistema risponde a qualsiasi segnale.

~ 1 ~ ( ) =sin

u t wt

Se un sistema asintoticamente stabile viene sollecitato tramite un segnale d’ingresso

questo fornisce una risposta a regime del tipo

+arg ¿

wt La risposta in frequenza può essere rappresentata con tre modi diversi: Bode,

| |

( )= ( ) ¿

Y t G jw sin

R

Nyquist e Nichols.

Vantaggi della retroazione

Considerando un qualsiasi sistema P, sostanzialmente abbiamo due modalità per controllarlo

1] Controllo a Catena Aperta : Quando vogliamo che l’uscita assuma un certo andamento poniamo in

cascata al sistema originale P un organo di controllo C che faccia assumere il

comportamento desiderato.

Controllo a Catena Chiusa :

=CP

W ¿

2

o

Nel momento in cui il controllo viene effettuato a catena chiusa tra il

regolatore ed il processo ci sarà sempre un Attuatore, in realtà sempre

inglobato nel processo.

In retroazione, per misurare l’uscita Y si pone un Trasduttore.

CP

=

W c 1+CPH

L’obiettivo è quello di evitare che la fdt finale sia

dipendente da un paramentro α , ∂w

w ∂w α

α = =

S

quindi definiamo la Funzione sensitiità w ∂α ∂α w

α

∂ w ( )

∂ CP

α α ∂ P α

α o α α α

= = = =S

S =S

S



A catena aperta otteniamo: w P

w P

∂ α w ∂ α CP ∂ α P

o o

o

per cui una variazione di un paramentro si ha pienamente sull’uscita.

∂ w ∂ w 1

α ∂ P α 1 α α

α c c α =

S S

= = =

S S 

A catena chiusa otteniamo w w

w w 1+CPH

∂ α w ∂ P ∂ α w 1+CPH c o

c o

c c

α ≅

S 0

per cui, ponendo CPH>>1 si ottiene quindi il sistema è insensibile alle variazioni del paramentro.

w c

Attenzione perché CPH non è un numero ma un prodotto di fdt, quindi con CPH>>1 si intente che in

corrispondenza delle frequenze in cui il modulo di CPH è molto grande, solo allora la sensibilità alle

variazioni paramentriche diventa molto piccola.

------------ 

Se invece è il sensore H a presentare una variazione parametrica H(s,β)

−CPH

β β

=

S S

Calcolando la sensitività al variare di β si ottiene : w H

1+CPH

c

da cui se ne deduce che per |CPH|>>1 la sensibilità del sistema al variare del parametro è direttamente

~ 2 ~

proporzionale alla sensitività del sensore.

Solitamente si utilizza una retroazione unitaria (H=1) infatti se non lo è potremmo utilizzare le regole degli

schemi a blocchi.

Il problema è che non sempre si può effettuare l’inversa di una fdt, quindi non si può seguire l’obiettivo

principale (uscita segue segnale di riferimento) anche perché

spesso il riferimento è un segnale costante o nullo.

-----------

Spesso, invece, deve controllare il sistema al variare dei disturbi,

ovvero ingressi che non dipendono dalla nostra volontà.

-A catena aperta il disturbo lo si trova direttamente all’uscita: applichiamo la sovrapposizione degli effetti:

=d+CPR =d −A

Y per R=0 →Y catenachiusa

CP 1 |CP|>>1 si ha

=

Y R+ d Considerando

1+CP 1+CP

1 e

≅

=

Y d 0 ≅

Y R

d 1+CP

quindi con dei guadagni abbastanza elevati si riesce a rendere il

sistema insensibile ai disturbi lungo la catena diretta.

-----------

Se invece il disturbo (di misura) agisce sulla catena di retroazione, per il principio di sovrapposizone, si ha:

−CP

CP 1

=

Y R+ d+ d m

1+CP 1+CP 1+CP

−CP

=

Per R , d=0 → Y d

m m

1+CP

≅ ≅