Teoria Controlli automatici

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Y Rd 1+CPquindi con dei guadagni abbastanza elevati si riesce a rendere il sistema insensibile ai disturbi lungo la catena diretta.

Se invece il disturbo (di misura) agisce sulla catena di retroazione, per il principio di sovrapposizione, si ha: −CPCP 1=Y R+ d+ d m1+CP 1+CP 1+CP−CP=Per R , d=0 → Y dm m1+CP≅ ≅Y d Y 0 Per |CP|>>1 , mentre per |CP|<<1 .m m m{ }| |≫1=R+dY se CPmIn generale | |≪1=dY se CP

Criterio di stabilità di NyquistPermette di capire qual è il collegamento tra ciò che è possibile fare, cioè le modifiche a catena aperta, e ciò che si ottiene, quindi la fdt a ciclo chiuso.Un sistema stabile, caratterizzato da due poli complessi e coniugati nel semipiano sinistro, presenta un’oscillazione che tende a decrescere, mentre un sistema instabile

presenta un’oscillazione crescente e ha due poli complessi e coniugati nel semipiano destro. Il caso limite si ha quando i poli sono puramente immaginari e quindi l’oscillazione è persistente. Se in uscita troviamo sin(wt) e con riferimento nullo, allora in~ 3 ~entrata al plant avremo -sin(wt). Ciò significa che la F(s) sfasa di 180° la sinusoide, mentre il modulo resta uguale.

Quindi, il numero complesso F(jw) = -1 rappresenta la condizione( ) ( )=1∧ =−πF jw Arg F jwal limite della stabilità. ¿σ , jw

Considerando il piano S ( ed il piano G(s) [Re-Im], una proprietà di cui gode la trasformazione è che ogni contorno chiuso sul piano S si trasforma in un contorno chiuso nel piano G(s); inoltre i contorni sul piano S evitano i punti singolari di G(s) perché in questi punti la funzione diverge. In generale G(s) possiamo vederlo come avente un certo modulo ed una certa fase. Considerando una curva arbitraria

piano complesso al variare di un parametro. In particolare, si considera una funzione di trasferimento a ciclo chiuso e si tracciano i punti corrispondenti ai poli nel piano complesso al variare del parametro. Il luogo delle radici permette di analizzare il comportamento del sistema al variare del parametro e di determinare la stabilità del sistema. Il luogo delle radici può essere utilizzato per progettare e ottimizzare i controllori di un sistema, in modo da garantire la stabilità e le prestazioni desiderate. Il luogo delle radici è particolarmente utile per i sistemi lineari tempo-invarianti, ma può essere esteso anche ad altri tipi di sistemi. Il luogo delle radici può essere rappresentato graficamente nel piano complesso o tramite diagrammi polari. In entrambi i casi, si tracciano le curve che rappresentano i poli al variare del parametro. Il luogo delle radici può essere utilizzato per determinare la stabilità di un sistema. Se tutti i poli del sistema si trovano nel semipiano sinistro del piano complesso, il sistema è stabile. Se almeno un polo si trova nel semipiano destro, il sistema è instabile. In conclusione, il luogo delle radici è uno strumento potente per l'analisi e la progettazione dei sistemi di controllo, permettendo di determinare la stabilità e le prestazioni del sistema al variare di un parametro.variare del guadagno K della funzione a ciclo aperto. ‘’Analogamente al Criterio di Nyquist, il metodo del luogo delle radici ci permette di studiare la stabilità di un sistema a ciclo chiuso valutandone le caratteristiche a ciclo aperto. Nel momento in cui un sistema è stabile non è più sufficiente sapere che i poli della fdt siano nel semipiano sinistro, ma sarà anche importante conoscere l’esatta posizione perché da loro dipende la risposta. L'equazione da risolvere è: ( )N sk( ) ( ) ( )K G s D s K N s L’equazi( )= = =W s ( ) ( ) ( ) ( )+1+ K G s N s D s K N s1+ k ( )D s( )+ ( ) =0D s k N s da cui si deduce immediatamente che : { =0K →≤radici a ciclo chiuso sono gli zeri a ciclo aperto( )X →∞ → D s trascurabile quindi i poli tendono agli zeri  Un punto s per appartenere al luogo dovrà soddisfare l’equazione: K G(s) = -1 G(s) = - 1/K che viene detta Condizione di modulo, e dovrà

Anche soddisfare la Condizione di fase. Queste due condizioni sono importanti perché permettono di capire se un punto appartiene o meno al luogo (se la fase è un numero dispari di π appartiene a K>0). Graficamente, mettendoci in un punto qualsiasi del piano siamo in grado di dire se quel ramo appartiene o no al luogo. Investigando su questo S vediamo che il contributo di fase dei poli/zeri complessi e coniugati è nullo, così come per tutti gli altri poli/zeri perché il punto si trova a destra. La fase complessiva è zero numero pari di π che vuol dire appartenere al luogo per K<0. In questo caso l'unico contributo di fase è dato dal polo a destra, che è di -π (se fosse stato zero era +π). In entrambi i casi è un numero dispari di π, il che vuol dire che appartiene al luogo per K>0. In definitiva si ha che: - Se il numero di poli e zeri alla destra del punto preso in considerazione è pari,

allora quel ramo appartiene al luogo per K<0.- Se il numero di poli e zeri alla destra del punto preso in considerazione è dispari, allora quel ramo appartiene al luogo per K>0.Numero di rami: E' uguale al numero dei poli nella fdt ad anello aperto.Asintoti: E' pari ad n-m, quindi pari al numero di poli-zeri.{n m ( )∑ ∑ 2 h+1 π−p z >0se ki i n−mi=1 i=1= ∏ Ψ =σ A An−m 2 hπ¿ <0se kn−mPunti di diramazione: Sono quei punti dove due o più rami del luogo delle radici dipartono o arrivano.Per tracciare correttamente il luogo delle radici è necessario considerare anche l'angolo di arrivo e dipartenza del luogo per i poli e gli zeri che non si trovano lungo l'asse reale.L'angolo di arrivo può essere calcolato considerano un punto S talmente vicino al polo/zero non appartenente all'asse reale e, sfruttando la condizione di fase (2h+1)π si risale all'angoloincognito.

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Carta di Nichols: Quando si effettua la sintesi di un sistema in sostanza si è interessati al comportamento del sistema stesso a ciclo chiuso, quindi interessano nel dominio della frequenza Bandapassante e Modulo alla risonanza. La carta di Nichols permette il collegamento tra le specifiche a ciclo aperto e ciclo chiuso per qualsiasi sistema, rappresentando i diagrammi polari in fase-modulo del diagramma della fdt.

Per tracciare Nichols si considerano i diagrammi di Bode della a ciclo aperto, riportando un numero congruo di punti per ottenere il diagramma. Ω Pulsazione di attraversamento: È quella pulsazione in corrispondenza del T| |( ) = 1G jΩ, quindi l'intersezione tra il diagramma di Nichols e la curva a 0dB. M Margine di fase: Rappresenta la distanza tra la fase assunta alla pulsazione φ ~ 5 ~Ω e la curva a

-180°. Il margine di guadagno si individua come il modulo tra l'intersezione della curva di Nichols con l'asse a -180° e la curva a 0dB. Banda passante B: Viene definita come quel valore in corrispondenza del quale il modulo della fdt a ciclo chiuso si attenua di 3dB. Modulo alla risonanza M: Rappresenta il valore massimo assunto dal modulo della fdt rispetto al valore a frequenza nulla. <<2→ ωB ω1° Relazione: Banda passante e pulsazione di attraversamento coincidono a -90° T P T2° Relazione: Modulo alla risonanza e margine di fase. Dire che il modulo alla risonanza deve essere inferiore ad una certa quantità significa che il margine di fase deve essere superiore ad un'altra quantità. Sintesi per tentativi: L'obiettivo nella sintesi per tentativi è quello di trovare un compensatore che posto in retroazione al plant dia luogo ad una fdt che soddisfi le specifiche richieste. Si parla di

‘’tentativi’’ perhè la sintesi tende a dare un primo compensatore che ipoteticamente soddisfa lespecifiche, che poi dovranno essere controllate. >0∧M >0MStabilità: Nel dominio della frequenza la stabilità comporta , quindi poli e zeriG φcaratterizzati sempre da parte reale negativa.Specifiche statiche: Sono tutte quelle specifiche legate alla risposta a regime ad ingressi polinomiali.Sono facilmente soddisfabili con l’aggiunta di un certo numero di poli nell’origine nellak=Cfdt a ciclo aperto, indefinitiva si ottiene un compensatore : 1 xsSpecifiche dinamiche: Per definire C (s), dai diagrammi di Bode della funzione C (s)P(s) si rilevano2 1w Me , se sono esattamente quelli imposti dalle specifiche il compensatoret φè proprio C (s), altrimenti si aggiungono particolari reti.1Rete anticipatrice: E’ una rete che aumenta il margine di fase senza modificare la pulsazione di1+ τs( )=R sa τattraversamento,

ed è caratterizzta dalla fdt: 1+ smSolitamente si utilizza un w τ = 1 per non ampliare molto il modulo.tRete attenuatrice: E’ una rete che abbassa la pulsazione di attraversamento senza modificare il margine diτ1+ smfase, ed è caratterizzata dalla seguente fdt: ( )=R sA 1+ τsPer avere un’attenuazione grande con uno sfasamento trascurabile solitamente si utilizzaw τ ≈ 50→100t

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Sintesi con il luogo delle radiciLe specifiche richieste possono essere sempre tradotte in una posizione desiderata per i nostri poli dominanti√ 2=−ξP ω ±ω ∙ 1−ξche possono essere tracciati nel piano complesso tramite: 1,2 n nStabilire le specifiche, in questo caso, non vincola a posizionare i poli in puntiparticolari ma ci si limita a dare una regione di piano compresa tra

due=arcsinα ξsemirette formanti l’angolo α con l’asse ImL’obiettivo è quello, quindi, di posizionare i poli del sistema a ciclo chiusoall’interno della regione che soddisfi le specifiche.Se il compensatore C (s) non soddisfa le specifiche vuol dire che l’intersezione1è al di fuori della zona desiderata. Per farla rientrare allora bisogna modificare il compensatore C (s) in modo da spostare l’intersezione1 all’interno della regione desiderata.