Teoria Cinetica dei Gas

Teoria cinetica dei gas (pressione)

Consideriamo il gas contenuto in un recipiente cubico di lato L e con le pareti perfettamente elastiche. Siano A₁ e A₂ le facce del cubo di area L². Sia inoltre m e v̅, massa e velocità della particella. Quando la particella urta sulla parete A₁ rimbalza e la v̅ cambia segno v̅_x -> -v̅_xPer cui la variazione della quantità di moto è:

Δq = q̅_f - q̅_i = -mv̅_x-(mv̅_x) = -2mv̅_x

Supponiamo che la particella raggiunga A₂ senza urtare nessun'altra particella: il tempo necessario per attraversare il cubo è L / v̅_x = t.In A₂ la velocità si inverte e la molecola torna verso A₁, se non si verificano collisioni, il tragitto di andata e ritorno dura T = 2L / v̅_x La forza impulsiva media esercitata dalla molecola su A₁ è uguale a:

F̅ = 2mv̅_x / 2L / v̅_x = mv̅_x² / L

Per ottenere la forza totale esercitata su A₁ da tutte le molecole del gas, si deve sommare la quantità mv̅² / L per tutte le particelle. Otteniamo:

F̅_tot = N∑_{i = A} mv̅_xi² / L = mv̅^N / L ∑_{i = A} v̅_xi² = mv̅_x1² + mv̅_x2² + ... + mv̅_xN² / L

Teoria cinetica dei gas (pressione)

Consideriamo il gas contenuto in un recipiente cubico di lato e con le pareti perfettamente elastiche. Siano A₁ e A₂ le facce del cubo di area L². Sia inoltre m e v, massa e velocità della particella. Quando la particella urta sulla parete A₁ rimbalza e la v cambia segno v_x -> -v_x.

Per cui la variazione della quantità di moto è:

Δq = q̅_f - q̅_i = -mv̅_x - (-mv̅_x) = -2mv̅_x

Supponiamo che la particella raggiunga A₂ senza urtare nessun'altra particella: il tempo necessario per attraversare il cubo è L/v̅_x = t. In A₂ la velocità si inverte e la molecola torna verso A₁, se non si verificano collisioni, il tragitto di andata e ritorno dura T = 2L/v̅_x

La forza impulsiva media esercitata dalla molecola su A₁ è uguale a:

F̅ = (2mv̅_x) / (2L/v̅_x) = mv̅_x² / L

Per ottenere la forza totale esercitata su A₁ da tutte le molecole del gas, si deve sommare la quantità mv̅_x² / L per tutte le particelle. Otteniamo:

F̅_tot = Σ_i=1^N mv̅_ix² / L = (m / L) Σ_i=1^N v̅_ix² = (mv̅₁² + mv̅₂² + ... + mv̅_N²) / L

Possiamo ottenere la pressione dividendo F_tot per A_t=L²

Otteniamo:

p = _F/^L2 = ₁/^L2 (_{mv1x²+mv2x²+...+mvNx²}/^L)

= _Nmu/^L3 (_{v1x²+v2x²+...+vNx²})

Ma sappiamo che la densita' => ρ = _m/^V_X

Quindi:

p = ρ (_{v1x²+v2x²...+vNx²}/^N)

indica la velocita' media

Quindi

p = ρ v̅_X²

=> p = ₁/³ ρ v̅²