Fisica medica - teoria cinetica dei gas

Teoria cinetica dei gas

TFØ Per ottenere la forza totale esercitata dal gas sulla paretexA cioè la quantità di moto trasmessa ad A per unità di tempo,1 1da parte di tutte le molecole del gas, si sommano i contributi ditutte le altre molecole, le quali possono avere velocità diverse:m ( )T 2 2 2F v v ............... v= + + +x x x xL 1 2 Ndove N è il numero delle molecole del gas nel cubo.TØ Dividendo per l’area di A si ottiene la pressione P sullaF 1xparete A :1TF m m( ) ( )2 2 2 2 2 2xP v v ........ v v v ........ v= = + + + = + + +x x x x x x2 3A LL L1 2 N 1 2 N1Moltiplicando e dividendo per N si ha:2 2 2 2v v ........ v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞NNm Nm+ + +x x x xP ∑1 2 N i= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟3 3 ⎜ ⎟⎜ ⎟L N L Ni 1⎝ ⎠⎝ ⎠ =

Si osservi che la quantità in ( ) è il valore medio delle2xvcomponenti di tutte le velocità molecolari ⇒Nm M2 2 2P v v

vρ= = =x x xV Vdove = M/V è la densità del gas, essendo M la massa di tutteρle molecole nel cubo.2 2 2 2v v v v .Ø molecola: = + +∀ x y zPoiché N è molto grande e poiché le molecole sono tutte in movimento in direzioni casuali i valori medi dei quadrati⇒delle componenti delle loro velocità sono uguali:12 2 2 2 2v v v v v= = ⇒ =x y z x 3cioè non esiste alcuna direzione preferenziale nel moto delle molecole e quindi ogni direzione è equiprobabile.Teoria cinetica dei gas (1) 9Sostituendo si ha: 1 2P vρ= 32v vØ Si osservi che è definita "velocità quadratica= qmmedia" ed è una sorta di velocità media così calcolata: 2v"si eleva al quadrato ogni v , si calcola la media di tutte le eiipoi si estrae la radice ⇒ 1 2P vρ= qm3Ø Questo è un risultato importante che mette in relazione una grandezza macroscopica (P) con

una grandezza microscopica (v).Ø Si ricordi che l’espressione di P si è ottenuta trascurando gli urti tra le molecole nel percorso A A A . Questo risultato→ →1 2 1resta valido anche quando si tiene conto di tali urti.

Teoria cinetica dei gas (1) 10Infatti, in un urto elastico tra particelle identiche, c’è unoscambio di velocità tra le due particelle che hanno la stessamassa quando una molecola A si allontana dalla parete⇒A con velocità v , appena urta una qualsiasi altra molecola B,1 xquesta acquista la v e continua a muoversi con tale v fino alx xprossimo urto con un’altra molecola C.

Nell’urto tra le molecole B e C c’è ancora uno scambio divelocità e la molecola C prosegue con v fino all’urtoxsuccessivo e così via.Ø Inoltre, il tempo di collisione è trascurabile rispetto al tempotra un urto e l’altro (urti elastici). Quindi trascurare gli urti tra le

molecole è solo un espediente per semplificare il calcolo. 2Ø COMMENTO: si noti che sia che P sono valori medi eqmquindi possono fluttuare a seconda del campione che si sceglie su2vcui mediare, ma essendo N molto grande, sia P che sonoqmvalori medi ben definiti per un gas in equilibrio termodinamico.

Teoria cinetica dei gas (1) 111 2P vØ Dall'espressione si può ottenere: ρ= qm33P 3PV 3nRT2v essendo PV nRT( )= = = = = ⇒qm M Mρ 3nRTv =qm MM massa totale del gas = n , essendoM≡M massa molare (la massa di 1 mole di gas)≡ ⇒3nRT 3RTv = =qm M Mn

Teoria cinetica dei gas (1) 12VM qmGAS (gr/mole) (m/s) Trattasi di velocità molto alteH 2.02 19202 > della velocità di un proiettileHe 4.00 1370 ( 1000 m/s).≈H O 18.0 6452 ? se si stappa una bottiglia diN 28.0 5172 profumo, la diffusione è moltoO 32.0 483 lenta2 T 300 K=Teoria cinetica dei gas (1) 13Interpretazione cinetica della TØ Dalla teoria

cinetica dei gas si è trovato:1 12 2P v PV V vρ ρ= ⇒ =3 3Ricordando che PV = nRT (equazione dei gas perfetti) edindicando con M la massa totale del gas nel volume V (M = V)ρ1⎧ 2PV M v 1 1 3=⎪ 2 2M v nRT M v nRT3⇒ ⇒ = ⇒ =⎨ 3 2 2⎪ PV nRT=⎩ 1 2E M v è l'energia cinetica totale media traslazionale=T 2M MM n ; con massa molare (cioè di una mole di gas)= ≡ Teoria cinetica dei gas (1) 14