Teoria Analisi 2

Capitolo 1: Curve in Rⁿ

R^m è uno spazio metrico con una distanza euclidea tra punti:

d(P, Q) = √(x₂ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_n - y_m)²

ed è munito delle operazioni di somma e prodotto (anche per uno scalare) - detto prodotto è possibile definire una norma:

distanza(P, Q) = √[ x₂ + x₃ + ... + x_n]

• Se d è una distanza in R^m, il triplo (R^m, d) verrà detto spazio metrico

la distanza verifica:

• i) di(P, Q) ≥ 0 , ∀ P, Q ∈ R^m ed il(P, Q) = 0 se e solo se P = Q;
• ii) di(P, Q) = di(Q, P) ∀ P, Q ∈ R^m;
• iii) di(P, Q) ≤ di(P, R) + di(Q, R) ∀ P, Q, R ∈ R^m − *

la distanza rappresenta la lunghezza del segmento P-P₀.

Fissato un punto P₀ possiamo rappresentare ogni altro punto P utilizzando le coordinate polari (ρ, ϑ) rispetto a P₀ dove ϑ = d(P, P₀) e ϑ ∈ [0, 2π), ϑ è l'angolo formato dallo segmento con la semiretta passante per P₀ e l'asse delle ascisse:

{ x = x₀ + ρ cos ϑ y = y₀ + ρ sin ϑ }

Nel caso cirru: P₀ = (0,0) a livello di multipli interi di π, rimoslo ϑ = arctan y_x

In generale, fissati due parametri a, b > 0 e un punto P₀ possiamo rappresentare ogni punto P utilizzando le coordinate polari ellittiche:

{ x = x₀ + a ρ cos ϑ y = y₀ + b ρ sin ϑ }

essendo ϑ = √ ((x_−x0)² / a² + (y_−y0)² / b²) ∈ [0, 2π)

(a livello di multipli int. di π sarà dato da arctan (y_−y0, x_−x0))

∀ ϑ > 0 e ϑ ∈ [0, 2π) il punto P appartiene alle coniche:

(x-x_o)² (y-y_o)²

────── + ────── = 1

ϑ²α² ϑ²b²

Possiamo porre inoltre che:

→ ∀λ₁, λ₂ = ||v₁||||v₂||cosϑ (ϑ angolo compreso tra i 2 vett.)

≥ |λ₁|λ₂ v₁| = λ₂λ₁|v₁|/uⁿϑ

Una curva parametrizzata e mi applicazioni f(t) con t parametro della curva, la cui immagine f(I) è detta

tracciato → una curva cui tracciato è detto curva piana

Se f: [a, b] è una curva, i punti f(a) e f(b) sono detti

punti iniziale e finale, se f(a) = f(b) la curva è detta

chiusa

curva è detta semplice se presi 2 punti distinti t₁ e t₂

dei cui almeno 1 subarco dell'arburquello risulta

ρ(t₁) ≠ ρ(t₂)

Una curva parametrizzata ρ(t) viene detta di classe

C₁ se le sue componenti risultano derivabili; di classe

C₀ tratt.testo divisi test di intervalli tale che ρ punti C₁ su ogni subarco.

Una curva è detta regolare se risulta di classe C₂ e se

ρ'(t) ≠ 0 ∀t e → regolare a tratti se risulta di classe C₁ a tratti. * VEDI PAG. 6 → REITA , VETTORE TANCHE, PUNTO REGUARE

Una curva di eq. polare ρ = g(ϑ) è regolare se e solo

se è di classe C₂ e g(ϑ) = g'(ϑ)² + g''(ϑ)² ≠ 0. Ψ' – assoluta

che ρ'(ϑ) ha come risata della derivata |1/(g'(ϑ)² + g''(ϑ)²)|^1/2

Se ρ: [a, b] è una curva parametrizzata di classe C₁

in [a, b] detta da curva e rettificabile e la lunghezza è:

L(ρ) = ∫_a^b ||ρ'(t)||dt

In generale la lunghezza di una curva di

TH. FOND. DELLA TEORIA DELLE CURVE IN Rⁿ

Data una linea continua K: I ⊆ R → ℝⁿ, ∃ (a,b)⊆I e Cⁿ(t) curva in ℝ². Un unico arco γ: I → ℝ² di classe C² regolare e parametrizzato regolabile attraverso curve. Dire con un punto arbitrario k.

Sia ρ(t) = (ρ₁(t), ρ₂(t), ..., ρ_m(t)), t ∈ I, è una curva di classe C¹, ∀ t_o ∈ I, si intende definita p(t_o) = (ρ₁(t_o), ρ_m(t_o)), se t_o è un punto interno a I e ρ'(t_o) ≠ 0, da curva γ(t) = P(t_o) + ρ'(t_o)(t - t_o) t ∈ ℝ che sia per tangente la retta di eq parametrica:

• γ_o:
  • x₁ = ρ₁(t_o) + ρ'(t_o)(t - t_o)
  • x_m = ρ_m(t_o) + ρ_m(t_o)(t - t_o)

è la retta tangente alla curva nel punto P(t_o), è infatti la retta limite per h → 0 delle rette racchiuse passanti per punti P(t_o) e P(t_o + h), h ≠ 0, di eq parametriche:

• γ_h:
  • f(x₁ = ρ₁(t_o) + ρ₁(t_o+h) - ρ₁(t_o)(t - t_o)
  • x_m = ρ_m(t_o) + ^ρ_m(t_o+h)/_h - ρ_m(t_o) (t - t_o)

Il vettore ρ'(t_o) che individua la retta tang. al trabegno in P(t_o), è detto vettore tangente.

Se t_o ∈ I è tale che ρ'(t_o) ≠ 0, si dice che P(t_o) è un punto regolare della curva

T(t_o) = ^ρ'(t_o)/_{‖ ρ'(to) ‖} è il versore tangente alla curva in P(t_o)

z = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x(x₀, y₀)(x - x₀) + ∂f/∂y(x₀, y₀)(y - y₀)x - x₀ = 0

=> una funzione f(x,y) è differenziabile in (x₀, y₀), punto interno al suo dominio, se e solo se risulta verificabile:f(x,y) è derivabile parzialmente in (x₀, y₀), alla formula di Taylor, cioè è verificato il limite(vedi bene sull'altro libro)

lim(x,y)→(x₀,y₀)[√((x-x₀)² + (y-y₀)²)=0

=> la differenziabilità implica la continuità;

=> TH. CONTINUITÀ FUNZ. DIFFERENZIABILI DIM.

=> la differenziabilità implica l'esistenza delle derivate lungo una qualunque direzione;

=> TH. DEL GRADIENTE DIM.

=> se f(x,y) è differenziabile in (x₀, y₀) allora ∀ vettore v ∈ R² arbitrario ∂f/∂v(x₀, y₀) = ∇f(x₀,y₀) ⋅ v = ||∇f(x₀, y₀)||cosθessendo θ l'angolo tra i vettore v e ∇f(x₀, y₀), quindi didf/dvsarà massima quando θ=0 cioè quando v=∇f/||∇f|| => ∂f/∂v = ||∇f||

=> se non nullo il gradiente di una funzione differenziabileindica verso e direzione di massimo pendio del grafico nel punto

=> TH. DEL DIFFERENZIALE DIM.

=> arbitrario che se f(x,y) è di classe C¹ sull’aperto Aallora f(x,y) risulta differenziabile e continua in A

=> TH. DI DERIVAZIONE DELLE FUNZ. COMPOSTE 1ᵒ DIM.

CAP. 4 INTEGRALI DI FUNZ. DI PIÙ VARIABILI

1) INTEGRALI CURVILINEI

Data una curva γ di classe C¹ e una sua parametri-zzazione ϕ : [a,b] poniamo per definizione

∫_a^b f (γ(s)) ds = ∫_a^b f (ϕ(t)) ||ϕ'(t)|| dt = integrale curvilineo

Se non dipende dalla parametrizzazione scelta per la curva ma dagli estremi punti suddetti, il secondo integrale indica l’area (o il segno) della sup. regolare costruiscono la regione tra 0 e 0 e il grafico della funzione

2) INTEGRALI DOPPI

Un sottoinsieme D ⊂ R² è detto dominio normale rispetto a x o y se esiste un intervallo [a,b] ⊂ [c,d] e 2 funzioni α(x) e β(x) o γ(y) e δ(y) continue in [a,b] o [c,d] con α(x) ≤ β(x) o γ(y) ≤ δ(y) ∀ x o y ∈ [a,b] o [c,d] tali che {x∈[a,b], α(x)≤y≤β(x)} o {y∈[c,d], γ(y)≤x≤δ(y)}.

L’area di D è ∫_a^b β(x) - α(x) dx = ∫_c^d δ(y) - γ(y) dy.

Considerata una partizione P = {D₁, D₂, Dₖ} del dominio in domini normali, si definiscono l’integrale sup e inf di f(x,y) in D cu S(P,ε) ≤ S(f) ≤ ε il passaggio a 0 viene detto integrale doppio ∫∫_D f(x,y) dxdy che indica il volume della regione tra il dominio nel piano xy e il