Teoria Algebra lineare e geometria (definizioni e teoremi)

Iniettività

Ai funzioni vengono associati elementi distinti del dominio rispetto ad elementi distinti del codominio. Graficamente associati a X del dominio avente più di una freccia collocate all'asse Y; se le mette in corrispondenza in una sola volta la funzione.

Suriettività

Alla funzione ogni elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio.

Gruppo (G, ★)

È un insieme dove è confermata la condizione:

• Operazione associativa di ★
• Esistenza elemento neutro e ogni elemento è invertibile

Se vale la proprietà commutativa il gruppo si dice abeliano.

Anello (A, +, ·)

Un insieme dove sono confermate:

• Proprietà di gruppo abeliano
• Operazione associativa 2° rispetto a b · c · d = a · b · c · d per ogni elemento di A si ha che:

(a+b)·c = a·(b+c)(b+c)·a = b·(a+c)

Se vale la proprietà commutativa di (A,), l'anello si dice commutativo.

Un anello è commutativo e presenta l'elemento neutro 1 rispetto all'operazione "·". Allora l'anello commutativo è un campo se l'elemento nullo 1 è invertibile.

Matrici

Sono delle strutture algebriche composte da righe e colonne all'interno delle quali sono presenti elementi di un generico campo K⊆R.

• Sono quadrate se: hanno lo stesso n° di righe e colonne
• Sono simmetriche se: la loro matrice trasposta è uguale a quella originale
• Sono antisimmetriche se: la loro matrice trasposta è diversa da quella originale

Si definisce matrice trasposta la matrice la quale vengono invertite le colonne con le righe.

Operazioni tra matrici

È possibile se due o più matrici sono dello stesso tipo (stesso numero di righe e colonne), gode delle proprietà del gruppo abeliano.

Prodotto tra matrici o righe per colonne: È possibile solo se le matrici in questione hanno una n righe e l'altra n colonne.

Esempi

A = ^a ₁₁ ^a ₁₂ ^a ₂₁ ^a ₂₂ Matrice 2x3 B = ^b ₁₁ ^b ₁₂ ^b ₁₃ ^b ₂₁ ^b ₂₂ ^b ₂₃ Matrice 2x3

Iniettività

Alla funzione vengono associati elementi distinti del dominio rispetto agli elementi distinti del codominio grafico ogni avente più o un elemento associato all’asse x; se le rette intersecandone una sola volta la funzione. La funzione è iniettiva.

Suriettività

Alla funzione ogni elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio.

Gruppo (G,★)

È un insieme dove è confermata la condizione:

• Operazione associativa di ★
• Esistenza elemento neutro e. {a,b} con a★e=a e★a=a
• Ogni elemento è invertibile.

Se vale la proprietà commutativa il gruppo si dice abeliano.

Anello (A, +, ·)

È un insieme dove sono confermate:

• Proprietà di gruppo abeliano.
• Operazione associativa 2 “•” per ogni elemento di A si ha che a,b,c a°(b·c) = a·b·c.
• (b·a·c)=b·c ·b·c°a.
• (b°c)·a = b·(c°a).

Se vale proprietà commutativa di (A, ·)

L’anello si dice commutativo.

1 anello è commutativo e presenta l’elemento neutro 1 rispetto all’operazione “·” allora l’anello commutativo campo se l’elemento nullo è invertibile.

Matrici

• Sono delle strutture algebriche composte da righe e colonne all’interno delle quali sono presenti elementi di un generico campo KεR.
• Sono quadrate se: hanno lo stesso n di righe e colonne.
• Sono simmetriche se: la loro matrice trasposta è uguale a quella originale.
• Sono antisimmetriche se: la loro matrice trasposta è diversa da quella originale.

Si definisce matrice trasposta la matrice la quale vengono inventate le colonne con le righe.

Operazioni tra matrici

• Somma

Possibile se due o più matrici sono dello stesso tipo (stesso numero di righe e colonne), gode delle proprietà del gruppo abeliano.

• Prodotto per uno scalare
• Prodotto tra matrici o righe per e colonne e possibile solo se e matrici in questione hanno una un n righe e l’altra n colonne.

Esempi

A=

B=

Matrici particolari

Matrice nulla: matrice composta da elementi tutti uguali a zero

Matrice riga: matrice formata da 1 sola riga, chiamata anche vettore riga

Matrice colonna: matrice formata da 1 sola colonna chiamata anche vettore colonna

Confronto tra matrici

Due matrici si dicono uguali quando:

• Uguali ogni elemento i,j nella posizione originale sono tra loro uguali
• Opposte ogni elemento i,j nella posizione originale hanno lo stesso valore assoluto e di segno opposto

Determinante

È un numero che si definisce solo per le matrici quadrate.

È possibile calcolarlo con: