Teoria Algebra lineare e geometria (definizioni e teoremi)

INIE'ITTIVITA’

ALLA FUNZIONE VENGONO ASSOCIATI ELEMENTI DISTINTI DEL DOMINIO RISPETTO A ELEMENTI DISTINTI DEL CODOMINIO.

GRAFICO: OGNI X AVENTE PIU’ DI UN PUNTO RETTE SULL’ASSE X; SE LE RETTE INTERSECHIAMO UNA SOLA VOLTA LA FUNZIONE =>

LA FUNZIONE E’ INIETTIVA

SU'RIETTIVITA’

ALLA FUNZIONE OGNI ELEMENTO DEL CODOMINIO CORRISPONDONO ALMENO UN ELEMENTO DEL DOMINIO.

GRUPPO (G,*

G E’ UN INSIEME DOVE E’ CONFERMATA LA CONDIZIONE

° OPERAZIONE ASSOCIATIVA*

° ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO E INVERSIBILE

SE VALE LA

° PROPRIETA’ COMMUTATIVA

IL GRUPPO SI DICE ABELIANO

ANELLO (A, +, ·)

INSIEME DOVE SONO CONFERMATE:

° LE PROPRIETA' DI GRUPPO ABELIANO

° OPERAZIONE ASSOCIATIVA^

PER OGNI ELEMENTO DI A SI HA CHE:

(a+b)+c=a+(b+c)

(a·b)·c=a·b·c

SE VALE ° PROPRIETA' COMMUTATIVA DI (A, ·)

L’ANELLO SI DICE COM MUTATIVO

CAMPO SE L'ELEMENTO NULLO E’ INVEDITILE.

L'ANELLO E’ COM MUTATIVO E PRESENTA L'ELEMENTO NEUTRO 1 RISPETTO ALL’OPERAZIONE ‘·’.

ALLORA L’ANELLO COMMUTATIVO E’ CAMPO SE L’ELEMENTO NULLO E’ INVEDITILE.

MATRICI

SONO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE COMPOSTE DA RIGHE E COLONNE ALL'INTERNO DELLE QUALI SONO PRESENTI ELEMENTI DI UN GENERICO CAMPO K

.

SONO QUADRATE SE: HANNO LO STESSO N DI RIGHE E COLONNE

SONO SIMMETRICHE SE:

LA LORO MATRICE TRASPOSTA E’ UGUALE A QUELLA DIAGONALE.

SONO ANTISIM METRICHE SE:

LA LORO MATRICE TRASPOSTA E’ DIVERSA DA QUELLA ORIGINALE.

SI DEFINISCE MATRICE TRASPOSTA

VENGONO INVERTITE LE COLONNE CON LE RIGHE.

OPERA ZIONI TRA MATRICE

SOMMA

POSSIBILE SE 2 O PIU’ MATRICI SONO DELLO STESSO TIPO

(STESSO NUMERO DI RIGHE E COLONNE), GODE DELLE PROPRIETA’ DEL GRUPPO ABELIANO.

PRODOTTO PER UNO SCALARE

PRODOTTO TRA MATRICE O RIGHE PER COLONNE

POSSIBILE SOLO SE LEMATRICI IN QUESTIONE HANNO UNA N RIGHE E L’ALTRA M COLONNE

ESEMPI

A=( a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a_{22 23}

a₂₁ a₂₂ a₂₃

B= a₁₁ a₁₃

MATICE

                |                                   

                      |                            

QUADRATA

Matrici Particolari

• Matrici nulla: matrice composta da elementi tutti uguali a zero.
• Matrici riga: matrice formata da 1 sola riga chiamata anche vettore riga.
• Matrici colonna: matrice formata da 1 sola colonna chiamata anche vettore colonna.

Confronto tra matrici

Due matrici sono uguali quando:

• Uguali: tutti gli elementi nella posizione originale sono tra loro uguali.
• Opposte: tutti gli elementi nella posizione originale hanno stesso valore assoluto e di segno opposto.

Determinante

È un numero che si definisce solo per le matrici quadrate.

È possibile calcolarlo con:

• Metodo diagonale (ordine 2).
• Metodo Sarrus (ordine 3).
• Metodo del completamento algebrico (ordine > 3).

Ordine di una matrice

Il numero di righe e colonne della stessa può anche essere chiamato dimensione di una matrice.

Primo teorema di Laplace

È applicato a qualsiasi matrice quadrata di ordine n. La somma del prodotto degli elementi di una riga (o colonna) per i corrispettivi complementi algebrici è uguale al determinante della matrice. Il risultato è indipendente dalla riga (o colonna) scelta. Generalmente si applica a matrici di ordine ≥3.

a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + ... + a_1nC_1n = detA = |A|

Secondo teorema di Laplace

Fornisce una proprietà delle matrici, applicabile a qualsiasi matrice quadrata di ordine n. La somma dei prodotti s_egli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) è uguale a zero. Il prodotto va fatto solo con elementi e complementi della stessa provenienza (riga e riga opposta, colonna e colonna).

a₁₁C₃₁ + a₁₂C₃₂ + (a₃₂ + a₁₃C₃₃ + ... + a_1nC_3n = 0

Vettori

I vettori sono degli elementi dello spazio ordinandoli con punto iniziale, uno finale, di lunghezza _AB, direzione e verso.

Si dicono equivalenti due vettori paralleli, quindi di verso e modulo uguali.

Vettore nullo caratterizzato da punti (iniziali e finali) coincidenti, di modulo zero con direzione e verso indeterminati. Il punto finale può essere omesso nella notazione.

Somma

• Commutatività
• Associativa
• Inverso
• Opposto

Risultato vettore

Vettore scalare

• Distributiva
• Associativa

Risultato vettore

Condizioni

• Ortogonalità ⊥ → ∙=0
• Parallelismo ⊥
• Complanarità ∙(∧)=0
• Unitarietà ∙=1

Coseni Direttori

Angolo vettore asse x

cosα^ˆvx=_Vx/^{√(Vx2+Vy2+Vz2)}

Angolo vettore asse y

cosα^ˆvy=_Vy/^{√(Vx2+Vy2+Vz2)}

Angolo vettore asse z

cosα^ˆvz=_Vz/^{√(Vx2+Vy2+Vz2)}

Spazi Vettoriali

Sia K un campo e V un insieme, si definisce V un K-spazio vettoriale se sono definite su V le operazioni di somma e prodotto esterno:

• somma: V×V→V
• prodotto esterno: K×V→V

Tali che (V,+) sia un gruppo abeliano e il prodotto esterno sia commutativo rispetto all’elemento neutro:

• (a·b)v=(b·a)v → pseudo associativa
• (a+b) v=av+bv distributiva nello spazio vettoriale V
• (a·v)w=av+aw distributiva nel campo K
• 1·v=V elemento neutro rispetto al prodotto

Teorema di equipotenza di una base

Sia un k-s-v e sia V = <v₁, ..., v_n> e siano u₁, ..., u_r vettori l.i.

• Allora esiste una base che contiene u₁...u_r

Dimostrazione

• Ovviamente v₁, ..., v_n generano V.
• Si applica il metodo degli scarti successivi.
• Si scartano i generatori se sono solo u₁, ..., u_r
• L'ultimo è del'iperc. Ha solo il primo appartenuto più volte il metodo di ottenere una base togliendo gli elementi di v₁ rimasti (anche nessuno) e i generatori di u₁, ..., u_r.

Teorema di equipotenza delle basi

Sia V un k-s-v e siano V₁, ..., V_n e U₁, ..., U_m due basi di V. M = n.

Tutte le basi di un k-s-v hanno gli stessi elementi.

Dimostrazione

La base contenente V₁, ..., V_n è F

La base contenente U₁, ..., U_m è E

Considerando F insieme di vettori l.i. allora per il lemma di Steiniz m ≥ n

Considerando E insieme di vettori l.i. allora per il lemma di Steiniz n ≥ m

• Per confermare la dimostrazione M = n

Dimensione di uno spazio vettoriale

Sia V un k-s-v che ha dimensione n

• dim_kV = V
• Una base di V è formata da n vettori per una dimensione n si ha:
• v₁, ..., v_n vettori l.i. → base di V
• u₁, ..., u_r vetti generazioni → base di V
• v₁, ..., v_n con m > n → l.i.
• u₁, ..., u_n con m > n → non sono generatori di V

Si definisce sottospazio nullo l'unico sottospazio/spazio vettoriale di dimensione 0

Sia V un k-s-v di dimensione n sia W ≤ V un suo sottospazio

• dim(V) = 0 ↔ f ⊆ V
• dim(W) ≤ n ↔ W = V

Teorema o formula di Grassman

Siano un k-s-v, siano U, W ≤ V sottospazi

• dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W) somma
• dim(U ∪ W) = dim(U) + dim(W) somma diretta (dove dim(U ∩ W) = 0)