Teoremi sulle serie 1

Teoremi sulle serie

Successioni

Si chiama successione un'applicazione dall'insieme dei numeri naturali in un dato insieme A: N → A. L'immagine è usualmente indicata con un simbolo del tipo a_n o più brevemente (a_n) con n ∈ N. A volte può essere comodo indicare una successione nel seguente modo: a₀, a₁, a₂, …, a_n, ….

Spesso la successione è definita in un sottoinsieme "A" di N, quale l'insieme dei numeri naturali positivi. L'insieme A può essere un insieme qualsiasi: noi considereremo quasi sempre successioni con valori nell'insieme dei numeri reali R, quindi una successione di numeri è una funzione che ha come dominio N₀ o un suo sottoinsieme proprio e come codominio R, ossia è una legge che ad ogni numero naturale n fa corrispondere uno ed un solo numero reale a_n.

Esempi di successione

Successione geometrica di ragione h: a₀, a₀h, a₀h², a₀h³, …. Una successione geometrica è una successione di numeri tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è sempre costante. Tale costante è detta ragione della successione. In generale sarà a_n = a₁r^n-1 dove r > 0 è la ragione e a₁ è il primo termine della successione.

Successione di Fibonacci è definita ricorsivamente dalla relazione: F_n = F_n-1 + F_n-2 per ogni n > 2, con F₁ = 1 e F₂ = 1. Questa è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F₁ = 1, F₂ = 1. I primi termini della successione di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … (numeri di Fibonacci).

La successione di Fibonacci è un esempio di successione definita per ricorrenza, ossia un termine è calcolabile mediante i due termini immediatamente precedenti (è ricorsiva perché richiama sempre se stessa). Il limite del rapporto tra due elementi successivi della successione di Fibonacci tende alla sezione aurea.

Proprietà delle successioni

Una successione è crescente se per ogni n, a_n ≤ a_n+1. Una successione è decrescente se per ogni n, a_n ≥ a_n+1. Una successione è strettamente crescente se per ogni n, a_n < a_n+1. Una successione è strettamente decrescente se per ogni n, a_n > a_n+1. Una successione si dice monotona se è crescente o decrescente.

Può accadere che una proprietà di una successione (come la monotonia o altre che incontreremo in seguito) non sia vera per ogni valore di n, ma valga da un certo valore intero in poi (fino a infinito): in questo caso diciamo che la proprietà in questione è valida definitivamente.

Limite di una successione

Successione convergente

Un numero reale l si definisce limite di una successione di numeri reali (a_n) se, per ogni ε > 0, esiste un intero positivo ν tale che per ogni n > ν si ha |a_n - l| < ε. Quando si verifica tale condizione si dice che la successione converge a l e si scrive lim_n→∞ a_n = l. Se l = 0, la successione è detta infinitesima.

Successione divergente

B1) Si dice che una successione ha limite +∞ (e si scrive lim_n→∞ a_n = +∞) se, per ogni M > 0, esiste ν ∈ N tale che per ogni n > ν, a_n > M.

B2) Si dice che una successione ha limite -∞ (e si scrive lim_n→∞ a_n = -∞) se, per ogni M > 0, esiste ν ∈ N tale che per ogni n > ν, a_n < -M.

In entrambi i casi si dice che la successione è divergente. Le successioni convergenti e divergenti sono dette regolari, le altre sono dette irregolari. Per il teorema di unicità del limite, il limite di una successione (che sia finito o infinito) se esiste è unico (si rinvia a un qualsiasi testo di analisi).

Maggiorante e Minorante

Definizione. Un maggiorante (minorante) di un insieme numerico è un qualsiasi numero maggiore o uguale (minore o uguale) a tutti gli elementi dell'insieme. Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto, l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto, l'insieme si dice limitato inferiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato (cioè, un insieme che ha sia minorante che maggiorante).

Definizione. La successione {a_n} è non-negativa se a_n ≥ 0 per ogni n ∈ N, ed è positiva se a_n > 0 per ogni n ∈ N. Analogamente per la non-positività e la negatività.

Definizione. La successione {a_n} è inferiormente limitata se esiste un numero reale α per cui a_n ≥ α per ogni n ∈ N, ed è superiormente limitata se esiste un numero reale β per cui a_n ≤ β per ogni n ∈ N. Se queste due proprietà sono contemporaneamente vere, la successione è limitata, e ciò equivale ad avere |a_n| ≤ M per ogni n ∈ N e per qualche M ≥ 0. Quindi la successione è limitata se esiste un numero M tale per cui tutti i numeri della successione sono compresi tra -M e M.

Estremo superiore e inferiore

Definizione. Sia E un insieme di numeri reali limitato superiormente. Un elemento è ∈ R si dice che è l'estremo superiore di E, in simboli y = sup E, se è il più piccolo maggiorante di E. Possiamo scrivere,

• 1) y ≥ z, ∀ z ∈ E (y è un maggiorante di E),
• 2) ∀ ε > 0 esiste z ∈ E, tale che z > y - ε (z non è un maggiorante di E, ossia è il più piccolo maggiorante di E).

Analogamente, sia E un insieme di numeri reali limitato inferiormente, un elemento si dice che è l'estremo inferiore di E, in simboli y = inf E, se è il più grande minorante di E. Valgono, cioè, le proprietà:

• 1) y ≤ z, ∀ z ∈ E (y è un minorante di E),
• 2) ∀ ε > 0 esiste z ∈ E, tale che z < y + ε (z non è un minorante di E, ossia è il più grande minorante di E).

Se E non è limitato superiormente (o inferiormente) in R, si dice che il suo estremo superiore (o inferiore) è infinito, e si scrive sup E = +∞ (o inf E = -∞).

Teorema. L’estremo superiore e inferiore sono unici. La dimostrazione viene lasciata al lettore come esercizio.

Massimo e minimo

Definizione. Si dice che un elemento y ∈ R è il massimo dell’insieme E se y = sup E e y ∈ E. Analogamente, un elemento z ∈ R è il minimo dell’insieme E se z = inf E e z ∈ E. Quindi la differenza tra “massimo” ed “estremo superiore” e tra “minimo” ed “estremo inferiore” sta nel fatto che gli estremi possono non appartenere all’insieme, mentre “minimo” e “massimo” devono necessariamente appartenere all’insieme.

Sottosuccessione

Definizione. Una sottosuccessione o successione estratta della successione {a_n} è una successione della forma {a_nk}, dove {n_k} è una successione strettamente crescente.

Teorema. Una successione estratta da una successione che ha un limite l, finito o infinito, ha lo stesso limite. La dimostrazione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema delle successioni monotone

Una successione monotona di numeri reali {a_n} con n ∈ N converge sempre ad un limite l che coincide con l’estremo superiore o inferiore della successione a seconda che questa sia crescente o decrescente. Quindi ogni successione monotona ammette limite. In particolare ogni successione monotona e limitata è convergente.

Dimostrazione. Supponiamo la successione sia monotona crescente. Se la successione è illimitata, allora per ogni M > 0 esiste ν ∈ N tale che a_ν > M. Di conseguenza, per la monotonia, si ha a_n > M per ogni n > ν. Quindi lim_n→∞ a_n = +∞.

Quindi se la successione è illimitata significa che non ha maggioranti, di conseguenza l’estremo superiore è +∞ e, di conseguenza, lim_n→∞ a_n = +∞.

Se la successione è limitata, sia l il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N tale che l - ε < a_ν. Allora, per la monotonia, a_n < l < l + ε per ogni n > ν. Per definizione di limite, lim_n→∞ a_n = l.

Nel caso in cui sia monotona decrescente si può procedere in modo analogo.

Limite di una successione che diverge positivamente

lim_n→∞ a_n = +∞ SE E SOLO SE esiste m &in N: ∀n > m, a_n > M (per ogni M > 0).

Disuguaglianze e criteri

Disuguaglianza triangolare: |a + b| ≤ |a| + |b|

Disuguaglianza triangolare inversa: |a - b| ≥ ||a| - |b||

Criterio di Cauchy

Una successione di numeri reali è convergente ad un numero reale l se e solo se per ogni ε > 0 esiste un intero positivo N tale che la disuguaglianza |a_n - a_m| < ε si verifichi per ogni n, m > N.

In sintesi una successione è convergente ad l se e solo se il valore assoluto della differenza tra due termini successivi è minore di ε per n e m opportunamente grandi ed ε piccolo a piacere. Poiché una successione che soddisfa la condizione (C) è detta di Cauchy, si può anche dire che una successione converge se e solo se è di Cauchy (Criterio di Cauchy).

CONDIZIONE NECESSARIA: se {a_n} converge allora è di Cauchy.

CONDIZIONE SUFFICIENTE: da un certo n in poi tutti i termini della successione si mantengono più piccoli di ε → la successione è di Cauchy → è convergente.

Condizione necessaria e sufficiente affinché una successione sia convergente è che questa sia di Cauchy e che quindi il valore assoluto della differenza tra due termini successivi della successione sia minore di ε per n e m opportunamente grandi ed ε piccolo a piacere.

Dimostrazione del criterio di Cauchy

Innanzitutto proviamo che se {a_n} converge allora è di Cauchy. Per ipotesi, il limite della successione sia l. Quindi, per ogni ε > 0 esiste N tale che |a_n - l| < ε per ogni n > N. Di conseguenza, per la disuguaglianza triangolare (vedi sopra), aggiungendo e sottraendo l, poniamo |a_n - a_m| = |a_n - l + l - a_m| < 2ε per ogni coppia n e m di numeri maggiori di N. Poiché 2ε è piccolo a piacere, ne segue che {a_n} è una successione di Cauchy e i termini della successione sono sempre più vicini man mano che aumenta l’indice degli elementi della successione.

Lemma 1 Una successione di Cauchy è limitata.

Viceversa sia {a_n} di Cauchy. Una tale successione è necessariamente limitata. Infatti fissato un ε > 0, per definizione esiste un intero positivo N tale che se n, m > N si ha: |a_n - a_m| < 1.

In particolare se m > N: |a_n - a_N+1| < 1. Quindi per ogni n > N si ha |a_n - a_N+1| < 1. Di conseguenza, posto M = max {|a₁|, |a₂|, …, |a_N+1|} si ha |a_n| < M per ogni n. Quindi M è un maggiorante per tutti i |a_n|.

Lemma 2 Se una successione di Cauchy ammette una sottosuccessione convergente ad un limite l allora anche la successione di partenza converge allo stesso limite.

Facciamo ora vedere che poiché la successione è limitata, esiste una sottosuccessione convergente ad un certo limite l. Anzitutto, osserviamo che, essendo la successione limitata, i termini della successione appartengono tutti ad un intervallo chiuso e limitato [a; b]. Costruiamo ora una successione di intervalli I_k = [c_k; d_k], ognuno contenente infiniti termini della successione per infiniti valori dell’indice k.

Poniamo inizialmente a = c₁ e b = d₁, e I₁ = [c₁; d₁]. Dividiamo ora [c₁; d₁] in due sottointervalli [c₁; (c₁ + d₁)/2] e [(c₁ + d₁)/2; d₁]. Almeno uno di questi due intervalli conterrà termini della successione per infiniti valori dell’indice n. Scegliamo quindi I₂ come quello dei due intervalli che contiene termini della successione per un insieme infinito di indici. Se ambedue gli intervalli contengono termini della successione per infiniti indici, scegliamo I₂ come l’intervallo più a destra.

Ripetiamo la stessa costruzione a partire da I₂ per ottenere I₃, e così via. In generale supponendo di aver definito i primi k intervalli incapsulati in modo che ognuno di essi sia la metà del precedente e che ognuno di essi contenga termini della successione per un insieme infinito di indici, per definire I_k+1 dividiamo I_k = [c_k; d_k] nei due intervalli [c_k; (c_k + d_k)/2] e [(c_k + d_k)/2; d_k]. Scegliamo I_k+1 come quello tra questi due intervalli che contiene termini della successione per infiniti indici, e se ambedue contengono termini per infiniti indici, quello più a destra ("Tertium non datur" -> principio del terzo escluso).

In tal modo abbiamo una successione di intervalli I_k = [c_k; d_k], ognuno dei quali contiene termini della successione per una quantità infinita di indici, ed ha lunghezza che è la metà della lunghezza del precedente intervallo, il che implica che la lunghezza di I_k è (d_k - c_k) = 1/2^k perché (d_k - c_k) = (d₁ - c₁)/2^k.

Costruiamo ora la sottosuccessione convergente come segue. Scegliamo n₁ = 1, scegliamo poi n₂ > n₁ in modo tale che a_n2 ∈ I₂. Proseguiamo in questo modo, scegliendo una sequenza di {n_k} con la proprietà che a_nk appartenga a I_k. Questo è sempre possibile perché I_k contiene termini della successione a_n per infiniti indici e quindi contiene termini di indice arbitrariamente grande.

Osserviamo ora che le successioni c_k e d_k convergono (c_k è una successione crescente limitata superiormente, mentre d_k è una successione decrescente limitata inferiormente, quindi c_k converge a c e d_k converge a d). Esse convergono allo stesso limite per la (%). Per il teorema del confronto anche a_nk converge allo stesso limite l.

Infine, dalla definizione di limite, per ogni ε > 0 esiste N tale che |a_nk - l| < ε per ogni k > N. Poiché {a_n} è una successione di Cauchy, esiste N’ tale che per ogni n, m > N’, |a_n - a_m| < ε. Quindi |a_n - l| < |a_n - a_nk| + |a_nk - l| < 2ε per ogni n maggiore sia di N che di N’.

Punti limite

Data una successione di numeri reali, definiamo E come l’insieme dei punti limite (anche noti come valori di aderenza, o anche un po’ impropriamente punti di accumulazione). Sono tutti i reali estesi a cui converge qualche sottosuccessione di {a_n}. Questo insieme, è facile da dimostrare, è chiuso in R ∪ {−∞, +∞}. Quindi di sicuro ammette massimo e minimo (eventualmente divergenti) che definiremo rispettivamente massimo limite e minimo limite di {a_n}.

Definizione di limite inferiore o minimo limite. Sia {a_n} una successione di numeri reali, il minimo limite è l’estremo superiore dei minoranti definitivi, dove un minorante definitivo è un numero m per cui esiste un intero ν tale che a_n ≥ m per ogni n > ν.