Teoremi sulle serie 1

A

n →∞

≤ a a a a a … …+

( ) ( ) ( )

+a + +a +a + + +a +a + + + ¿ (

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

k

2

∑

a a …+a a

+a + +a + ¿+…=2 =S

n

n n n n n+ 1 k

2 2 2 2 2 2

+1 +1 −1 n=1

1

S ≥ T

ossia, k 2

2 k ∞

∑ S

S

a

Se si suppone che la serie converge, allora anche e l’estratta devono

k

m 2

n

n=0 T

convergere. Quindi la sequenza delle è limitata e quindi convergente perché crescente.

k ∞

∑ a

Osservazione. Dalla dimostrazione si può facilmente dedurre che se entrambe le serie e

n

n=1

∞

∑ n

2 a convergono, allora vale la disuguaglianza

n

2

n=0

∞ ∞ ∞

∑ ∑ ∑

n

a ≤ 2 a ≤2 a

n

n n

2

n=1 n=0 n=1 ∞ 1

∑

Definizione. Si chiama armonica generalizzata la serie dove p è numero reale.

p

n

n=1

Teorema sulla serie armonica generalizzata. Se p>1 la serie armonica generalizzata è

p≤ 1

convergente se invece allora la serie armonica generalizzata è divergente positivamente.

Dimostrazione. Poiché il termine generale è positivo e tende a zero da destra, per p positivo, è

possibile sfruttare il criterio di condensazione per dimostrare la convergenza o la divergenza della

serie in tale caso (la tesi è banale per p non potisivo). Infatti, per il criterio di condensazione, le serie

∞ 1

∑ p

n

n=1

e ∞ ∞

n

2 1

∑ ∑

=

p n( p−1)

2

n

( )

2

n=1 n=1

hanno lo stesso carattere: Quindi la serie armonica generalizzata converge se solo se converge la

seconda serie, che è una serie geometrica e converge se e solo se la ragione è <1 (ossia, se p>1).

Teorema. La serie

∞ 1

∑ α β

n log n

n=2 β β> 1

(con α e numeri reali) converge se α>1 oppure se α=1∧ , diverge

per α oppure α β ≤ 1 .

<1 =1 ∧

Dimostrazione. Per il criterio di condensazione di Cauchy, si ha

∞ ∞ ∞

n

1 2 1

∑ ∑ ∑

≤ ≤ 2 D)

(

α β α β α β

n log n n log n

n n

( ) ( )

2 log 2

n=2 n=1 n=2

Per le proprietà delle potenze e dei logaritmi, si ha:

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

n

2 1 1 1 1 1 1

( )

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

= = = =

n α n β nα β n(α β β β n(α β β n

−n −1 ) −1)

2 2 2 log 2) 2 n log 2 log 2 2 n log 2 β

( )

(2 ) (log ) (n (α −1)

2 n

n=1 n=1 n=1 n=1 n=1

β> 1

Quest’ultima serie converge se α>1 oppure se α=1∧ , diverge

per α oppure α β ≤ 1 . Applicando il criterio del confronto alle disuguaglianze (D) si ha la

<1 =1 ∧

tesi. ∞

∑ a

Criterio di confronto con la serie armonica generalizzata. Sia una serie a termini non

n

n=1

p

lim n a

negativi e supponiamo che esista il limite dove p è un numero reale. Osservato che

n

n →∞

p

lim n a =c non può essere negativo, se

n

n →∞ ∞

∑

p

1¿ 0 ≤ lim n a e p>1, allora a converge

<+∞

n n

n →∞ n=1

∞

∑

p

2 lim n a 0 e p ≤1, allora a diverge positivamente

¿ >

n n

n→∞ n=1

Dimostrazione ε 0

1) Per la definizione di limite, fissato un , per n sufficientemente grande, si ha

> 1

a M

p <

M

. Posto risulta . La serie armonica generalizzata

n a c+ ε =c +ε

< n

n p

n

∞ ∞

1

∑ ∑

p>1

M a

converge per e per il criterio di confronto, converge anche .

n

p

n

n=1 n=1

c ε 0 c−ε

2) Sia , fissato un tale che . Per n sufficientemente grande, si può

<+∞ > >0 1

a M

p >

M c=+∞

scrivere . Posto risulta . Se , possiamo

n a c−ε =c−ε

> n

n p

n 1

a M

p >

sicuramente scegliere, per definizione di limite infinito, un M tale che e .

n a M

> n

n p

n

∞ ∞

1

∑ ∑

p≤ 1

M ∞ a

Poiché per e per il criterio di confronto, risulta .

=+ =+∞

n

p

n

n=1 n=1

( ) =

lim a 0

a a ∀ ∈

≥ n N n

Definizione. Sia una successione tale che 0 e .

n n n

Se esiste un p > 0 tale che

a ] [

= = ∈ +∞

p

n

lim lim n a c 0

,

n

1

n n

p

n 1

( )

a n

si dice che la successione è infinitesima di ordine p rispetto a .

n

Criterio dell’ordine di un infinitesimo ( )

∞ a

∑ a

Sia una serie a termini non negativi e supponiamo che la successione sia infinitesima

n

n

n=1 ] [

∈ +∞

p

lim n a 0

,

n

n

di ordine p per definizione risulta . Valgono le seguenti implicazioni:

 

∞

( ) ∑

> ⇒  

p 1 la serie a converge

n

 

=1

n

 

∞

( ) ∑

≤ ⇒  

p 1 la serie a d iverge positivame nte

n

 

=1

n

Dimostrazione. Si tratta di un corollario del criterio di confronto con la serie armonica

generalizzata. ≠ +∞

p

lim n a n

Infatti se p > 1 essendo per ipotesi la tesi segue dalla prima implicazione del

n

( )  

∞

∑

≠ +∞ > ⇒  

p

lim n a e p 1 la serie a converge

n n

 

n

suddetto teorema : .

=

n 1

≠

p

lim n a 0

≤

p 1 n

Se invece essendo per ipotesi la tesi segue dalla seconda implicazione del

n

( )  

∞

∑

≠ ≤ ⇒  

p

lim n a 0 e p 1 la serie a diverge positivame nte

n n

 

n

suddetto teorema : .

=

n 1

SERIE A SEGNI ALTERNI ∞ n

∑

a

{ } a

Definizione. Sia una successione a termini positivi. La serie si dice serie

(−1 )

n n N n

∈ n=0

a segni alterni.

Per le serie a segni alterni sussiste il seguente risultato che fornisce una condizione sufficiente di

convergenza. ∞ n

∑ a

Criterio di Leibniz. La serie a segni alterni è convergente se la successione

(−1 ) n

n=0

a S

{ } di numeri reali è non negativa, decrescente ed infinitesima. Inoltre, indicate con e

m

n n N

∈ ∞ n

∑ a

S, rispettivamente, le somme parziali m-esime e la somma della serie , si ha:

(−1 ) n

n=0

∣ ∣

S ≤a L1)

−S (

m m+1 a ,

{ }

Dimostrazione. Per la decrescenza di si ha:

n n N

∈

S a ≤ S

( )

=S − −a

2(m 2m 2m+1 2m+2 2m

+1)

S a ≥ S

( )

=S + −a

2m+1 2m−1 2m 2m+1 2m−1

S S

{ } { }

Di conseguenza, è decrescente e è crescente. Per il teorema sui limiti

2m 2m+1

m N m N

∈ ∈

delle successioni monotone, si può porre

lim S S

=inf =S

2m 2m P

m m

¿

lim S m S

= =S

2m 2m D

+1 +1

m a ≥ 0

Essendo ,

n

S ≤ S

=S −a

2m+1 2m 2m+1 2m

Quindi

S ≤ S ≤ S

1 2m+1 2m S S

La sottosuccessione delle somme parziali è limitata inferiormente, pertanto è un

2m P

numero reale. Possiamo allora scrivere:

S S a S S

( )

−a =lim −lim =lim =¿

2m 2m+1 2m 2m+1 2m P

m m m

S S

=lim =lim ¿

D 2m+1

m m

S=S S → S

{ }

=S

A questo punto, posto , mostriamo che . Infatti, fissato un ε>0, si ha:

D P m

∣ ∣

N tale che k N , k ≥ ν si ha S ε

∃ν ∈ ∀ ∈ −S <

P P 2m

∣ ∣

N tale che N , k ≥ ν siha S

∃ν ∈ ∀k ∈ −S <ε

D D 2m+ 1

Si ha: { ∣ ∣

S ε per n=2k ,k ≥ ν

−S <

2m P

∣ ∣

S −S =

m ∣ ∣

S per n=2k k ≥ ν

−S <ε +1,

2m+1 D

∣ ∣

S −S <ε

Prendendo n opportunamente grande, è , quindi la serie di partenza converge a S.

m

¿

S ≤ m S S ≤ S

=S =S=S =inf

Infine, osserviamo che, per ogni m, . Se m=2k,

2m+1 2m+1 D P 2m 2m

m

0 ≤ S ≤ S ( )

−S −S =− −a =a =a

2k 2k 2k 2k+1 2k m+1

+1 +1

Se m=2k+1,

0 ≤ S−S ≤ S −S =a =a

2k 2k+2 2k+1 2k m

+1 +2 +1

Da queste due relazioni si deduce la (L1).

Esempio.

Consideriamo la serie a segni alterni:

1 1 1 1 1

−

− + − + + + − +

n 1

1 ... ( 1

) ...

p p p p p

2 3 4 5 n

∈

con p R 1 1 1 1

> = =

lim 0

( ) p

p +

n n 1 + ∞

p

n

n

Se p > 0 risulta e

Conseguentemente per il criterio di Leibnitz tale serie è convergente. ( )

 

1 −

= p

  n

p

n

 

Se invece p < 0 la serie non converge poiché la successione diverge positivamente e

quindi non è infinitesima.  

1 =

  1

p

n

 

Se infine p = 0 la successione converge quindi a 1.

Concludiamo l’esempio osservando che la serie:

1 1 1 1 1

−

− + − + + + − +

n 1

1 ... ( 1

) ...

2 3 4 5 n

si chiama serie armonica a segni alterni ed è un caso particolare della serie che abbiamo considerato

con p = 1 .

Da quanto stabilito in precedenza possiamo affermare che la serie armonica a segni alterni è una

serie convergente.

Si osservi, inoltre, che la (L1) fornisce una stima dell’errore che si compie qualora si

approssimi la somma della serie con la somma parziale n-esima, ossia l'errore commesso non supera

∞ n

(−1)

∑

il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie: ,

n

n=1

10 n

(−1)

∑

s ≈−0,6456

calcolando la somma dei primi dieci termini, si ott