Teoremi sul calcolo integrale

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Data una funzione f definita su un intervallo [a, b] che restituisce valori reali,

b

∫ ( )

continua, preso il suo integrale , se sostituiamo alla b un’incognita x,

f t dt

a

x

∫ ( )

avremo la funzione integrale =: F(x) tale che F’ = f, e quindi ciò

f t dt

a

afferma che l’integrale è l’operatore inverso della derivata.

Dimostrazione sul quaderno.

Funzioni diverse possono avere derivate uguali, ci sono diverse funzioni

integrali che hanno la stessa derivata ma non viceversa.

x

~ ~

∫ ' , ma la stessa cosa vale per un’altra funzione integrale

( ) ( ) ( )=f ( )

=

F x f t dt , F x x

~

a

avente estremi diversi.

~ g−~

( ) ( ) ( )( )=x−x−1=−1

=x =x+1,

Prese g x , g x g x

Se una funzione è costante, ha derivata zero, e se la derivata di una funzione è

zero, la funzione è costante (con la funzione derivabile in un certo intervallo), in

particolare:

[ ] ( ) ( )

∈ −h =h' ( −x )

x , x a ,b , h x x x́)(x

1 2 2 1 2 1

Ma la derivata della funzione nell’x segnata è 0 poiché la funzione è costante.

Se prese due funzioni g e g segnato, tale che la derivata dell’una è uguale alla

g−~ h=g−~

( ) =0

derivata dell’altra, e quindi , allora presa , è tale che h è

g

g '

costante in x, motivo per il quale due funzioni che hanno derivata uguale,

differiscono di una costante (l’importante costante C dell’integrale), prendiamo

un esempio generale.

~

x x a

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

f t dt− f t dt= f t dt

~

a a a

Ovviamente con a segnato maggiore di a, come si nota l’integrale finale non

dipende da x.

Definizione: presa una funzione f continua su un intervallo chiuso [a, b], una

funzione G definita sullo stesso intervallo chiuso tale che la sua derivata è

uguale a f, è detta primitiva di f, prese due primitive di f, non è detto che siano

uguali, ma possono differire di una costante C reale.

Un esempio visto di calcolo dell’integrale definito è la funzione x:

[ ] b

b 2 2 2 2

x b 0 b

∫ = − =

xdx= 2 2 2 2

0

0

In quanto l’area sarebbe l’area di un triangolo isoscele rettangolo di cateti di

lunghezza b, se al posto dello 0 avessimo avuto a, sarebbe venuta l’area di un

trapezio.

SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

INTEGRALE

Data una funzione f continua su un intervallo chiuso [a, b], se G è una primitiva