Teoremi sul calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Data una funzione f definita su un intervallo [a, b] che restituisce valori reali, continua, preso il suo integrale, se sostituiamo alla b un’incognita x, avremo la funzione integrale F(x) tale che F’ = f, e quindi ciò afferma che l’integrale è l’operatore inverso della derivata. Dimostrazione sul quaderno.

Funzioni diverse possono avere derivate uguali, ci sono diverse funzioni integrali che hanno la stessa derivata ma non viceversa.

Per esempio, x~ ~∫ ' , ma la stessa cosa vale per un’altra funzione integrale F(x) = ∫ f(t) dt, avente estremi diversi.

Se una funzione è costante, ha derivata zero, e se la derivata di una funzione è zero, la funzione è costante (con la funzione derivabile in un certo intervallo), in particolare:

[x₁, x₂] ⊆ [a, b], h(x) = x₁ − x₂

Ma la derivata della funzione nell’x segnata è 0 poiché la funzione è costante.

Se prese due funzioni g e g segnato, tale che la derivata dell’una è uguale alla derivata dell’altra, e quindi , allora presa h = g − g~, è tale che h è costante in x, motivo per il quale due funzioni che hanno derivata uguale, differiscono di una costante (l’importante costante C dell’integrale), prendiamo un esempio generale.

∫_a^x f(t) dt − ∫_a^x~ f(t) dt = ∫_x~^x f(t) dt

Ovviamente con a segnato maggiore di a, come si nota l’integrale finale non dipende da x.

Definizione

Presa una funzione f continua su un intervallo chiuso [a, b], una funzione G definita sullo stesso intervallo chiuso tale che la sua derivata è uguale a f, è detta primitiva di f. Prese due primitive di f, non è detto che siano uguali, ma possono differire di una costante C reale.

Un esempio visto di calcolo dell’integrale definito è la funzione x:

[b² − 0²] = ∫₀^b x dx = b²/2

In quanto l’area sarebbe l’area di un triangolo isoscele rettangolo di cateti di lunghezza b, se al posto dello 0 avessimo avuto a, sarebbe venuta l’area di un trapezio.

Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Data una funzione f continua su un intervallo chiuso [a, b], se G è una primitiva...