Teoremi sul calcolo integrale

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Data una funzione f definita su un intervallo [a, b] che restituisce valori reali,

b

∫ ( )

continua, preso il suo integrale , se sostituiamo alla b un’incognita x,

f t dt

a

x

∫ ( )

avremo la funzione integrale =: F(x) tale che F’ = f, e quindi ciò

f t dt

a

afferma che l’integrale è l’operatore inverso della derivata.

Dimostrazione sul quaderno.

Funzioni diverse possono avere derivate uguali, ci sono diverse funzioni

integrali che hanno la stessa derivata ma non viceversa.

x

~ ~

∫ ' , ma la stessa cosa vale per un’altra funzione integrale

( ) ( ) ( )=f ( )

=

F x f t dt , F x x

~

a

avente estremi diversi.

~ g−~

( ) ( ) ( )( )=x−x−1=−1

=x =x+1,

Prese g x , g x g x

Se una funzione è costante, ha derivata zero, e se la derivata di una funzione è

zero, la funzione è costante (con la funzione derivabile in un certo intervallo), in

particolare:

[ ] ( ) ( )

∈ −h =h' ( −x )

x , x a ,b , h x x x́)(x

1 2 2 1 2 1

Ma la derivata della funzione nell’x segnata è 0 poiché la funzione è costante.

Se prese due funzioni g e g segnato, tale che la derivata dell’una è uguale alla

g−~ h=g−~

( ) =0

derivata dell’altra, e quindi , allora presa , è tale che h è

g

g '

costante in x, motivo per il quale due funzioni che hanno derivata uguale,

differiscono di una costante (l’importante costante C dell’integrale), prendiamo

un esempio generale.

~

x x a

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

f t dt− f t dt= f t dt

~

a a a

Ovviamente con a segnato maggiore di a, come si nota l’integrale finale non

dipende da x.

Definizione: presa una funzione f continua su un intervallo chiuso [a, b], una

funzione G definita sullo stesso intervallo chiuso tale che la sua derivata è

uguale a f, è detta primitiva di f, prese due primitive di f, non è detto che siano

uguali, ma possono differire di una costante C reale.

Un esempio visto di calcolo dell’integrale definito è la funzione x:

[ ] b

b 2 2 2 2

x b 0 b

∫ = − =

xdx= 2 2 2 2

0

0

In quanto l’area sarebbe l’area di un triangolo isoscele rettangolo di cateti di

lunghezza b, se al posto dello 0 avessimo avuto a, sarebbe venuta l’area di un

trapezio.

SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

INTEGRALE

Data una funzione f continua su un intervallo chiuso [a, b], se G è una primitiva

di f, allora: b

∫

( )−G ( ) ( )

=

G b a f t dt

a

La dimostrazione è sul quaderno.

Quindi tutte le primitive di f sono date da:

x

∫

( )= ( ) +G(a)

G x f t dt

a

Quindi se G è tale che G’ = f, se F è la primitiva (intesa come funzione integrale

sopra) di f, G = F+C, per scrivere in modo compatto questa cosa si usa

l’integrale indefinito.

INTEGRALI INDEFINITI ED ESEMPI

∫ ( ) ( ) +C

f x dx=F x , anti derivata

Mentre l’integrale definito è un numero appartenente a R, un integrale

indefinito è una funzione di x, inoltre la variabile x all’interno dell’integrale non

è più muta (come la t), in quanto vale anche al di fuori dell’integrale.

Ecco alcuni esempi

2 b+1

x x 1

∫ ∫ ∫ ∫

| |

b x x

+C + +C +C

xdx= x dx= C dx=log x e dx=e

2 b+1 x 1

∫ ∫ ∫

sin x dx=−cos x+ C cos x dx=sin x+C dx=arcsin x+ C

√ 2

1−x

1

∫ +C

dx=arctan x

2

1+ x

Se invece al posto delle semplici incognite si hanno delle funzioni all’interno

degli integrali, basta avere la funzione derivata moltiplicata per quello che sta

all’interno dell’integrale per poter integrare, ecco alcuni esempi:

+1

b

( )

f x

∫ b '

( )∨¿+C ( ) ( )

¿ ∗f +C

f x f x x dx= b+1

( )

' ( )

f x

∫ dx=log¿

( )

f x INTEGRALI PER PARTI

Dato un integrale del tipo:

∫ x cos x dx

Non è possibile risolverlo con i metodi tradizionali, in questo caso va ricordata

la formula della derivata di moltiplicazione di due funzioni:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

' ' ' ' ' '

( )

∗g =f =¿ (f ∗g)'− =f∗g−

f g+ f g fg '= f g=¿ f g f g

Questa formula è detta integrazione per parti e, da come si può evincere dalla

formula, vanno definiti, in presenza di un prodotto di funzioni da integrare, un

fattore intero (f) e un fattore differenziale (g).

IMPORTANTE: sempre meglio scegliere una x elevata a potenza come fattore

intero in quanto prima o poi si avrà 1 o 0, mentre se si hanno seno e coseno,

dato che derivate e integrali sono periodici, si confrontano con l’integrale

iniziale e si mettono a equazione, infatti:

x

−cos ¿

¿

∫ ∫

x cos x dx= x sin x− 1∗sin x dx=x sin x−¿

INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

Questo stratagemma invece si ricava dalla derivazione di funzioni composte:

' ∫

[ ] ' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )=¿ ( ) ( ) ( )

=f ∗g ∗g +C

f g x g x x f g x x dx=f g x

Ecco un esempio:

1 2t

∫ ∫

√ 2 ' =2

dx= per t= x , x=t e dx=t dt tdt=¿ dx=¿

√ t−3

−3

x

t−3+3 3

∫ ∫ | |

=2 +2∗3 +C

2 dt 1+ dt=2t log t−3

−3

t t−3

A questo punto basta sostituire t con radice di x.

Per gli integrali definiti vi è una formula ausiliaria:

)

t=b x=g(b

∫ ∫

( )

( ) ∗g (t)dt= ( )

f g t ' f x dx con x=g(t)

)

t=a x=g(a

Questa formula ad esempio vale per un passaggio alle funzioni

trigonometriche.

INTEGRALI DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Se si presenta un integrale di questo tipo: