Calcolo integrale - Dimostrazioni teoremi spiegate

Calcolo Integrale

Teorema della Media Integrale

Siano f : [a,b] -> ℝ integrabile e

m = inf [a,b] f e M = sup [a,b] f

Allora vale:

m ≤ ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx ≤ M

dove ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx si chiama media integrale.

Inoltre, se f è continua, allora ∃c ∈ [a,b] t.c. f(c) = ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx

Dimostrazione:

Per ipotesi, sappiamo che m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a,b].

Applicando il teorema di monotonia integrale, si ottiene che

◉ ∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx = M(b-a)

Dividendo per b-a, abbiamo dunque

m ≤ ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx ≤ M

Inoltre, se \( f \) è continua, dal teorema dei valori intermedi vale che \( f([a,b]) = [m,M] \).

Siccome, da quanto visto sopra,

\( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \in [m,M] \), allora, sempre per il teorema dei valori medi, sappiamo che

\( \exists c \in [a,b] \) t.c. \( f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \).

\( \star \) Per me: Spiegazione

Da ipotesi, sappiamo che \( f \) è una funzione limitata in quanto \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \), ovvero, per definizione di funzione limitata,

\(\exists m, M \in \mathbb{R} \) t.c. \( m \leq f(x) \leq M \quad \forall x \in [a,b] \)

\( \diamond \) \( \heartsuit \) Per me: Da dove viene fuori?

Dato che \( m = \inf_{[a,b]} f \) e \( M = \sup_{[a,b]} f \), vuol dire che in \([a,b]\) assumono dei valori costanti di conseguenza

potremo paragonarli a valori di funzioni costanti,

nello specifico \( f(x_m) = m \) e \( f(x_M) = M \in [a,b] \).

Quindi, dalla proprietà degli integrali, sappiamo che

se \( f(x_m) = m \) e \( f(x_M) = M \) sono funzioni costanti allora vale che

\( \int_a^b m \, dx = m \cdot (b-a) \); \( \int_a^b M \, dx = M \cdot (b-a) \).

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Sia \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione integrabile. Se \( F \) è una qualsiasi primitiva di \( f \) in \([a,b]\), allora

DIMOSTRAZIONE:

Sia \( F \) una primitiva di \( f \) in \([a,b]\). Per la definizione di primitiva di una funzione, sappiamo che \( F \) è una funzione derivabile in \([a,b]\) tale che \( F'(x) = f(x) \). Di conseguenza, siamo nelle condizioni di poter applicare il teorema di Lagrange: fissata una partizione \( P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \) di \([a,b]\), \(\forall K = 1, \ldots, n\) nell'intervallo \([x_{k-1}, x_k]\) \( \exists \xi_k^* \in [x_{k-1}, x_k] \) t.c.

Moltiplicando entrambi i membri per \((x_k - x_{k-1})\) otteniamo

Tabella integrali immediati (indefiniti)

∫k dx = k x + c

∫x^α dx = x^α+1/_α+1 + c

∫1/x dx = ln |x| + c

∫a^x dx = a^x/ln a^x + c ; ∫e^x dx = e^x + c

∫sin x dx = -cos x + c

∫cos x dx = sin x + c

∫1/cos²x dx = ∫1 + tan²x dx = tan x + c

∫1/sin²x dx = -cot x + c

∫sinh x dx = cosh x + c ; ∫cosh x dx = sinh x + c

∫1/cosh²x dx = tanh x + c ; ∫1/sinh²x dx = -coth x + c

∫1/1+x² dx = arctan x + c ; ∫1/√1-x² dx = arcsin x + c

∫-1/√1-x² = arccos x + c ; ∫1/x√x²-1 dx = arcsec x + c (x∈]-1,1[ )

∫1/1-x² dx = settanh x + c (x∈]-1,1[ )

∫1/√x²-1 dx = settcosh x + c

Integrali di Funzioni Razionali

dove sono polinomi

Proposizione

Sia .

Se:

• (in caso contrario basta raccogliere )
• grado grado
• ammette:

1. soluzioni reali di molteplicità :
2. soluzione reale di molteplicità :
3. coppia di soluzioni complesse coniugate di molteplicità :

Allora: (per il teorema di Ruffini)

Inoltre, esistono dei numeri tali che