Teoremi su Limiti e Continuità

Teoremi e Dimostrazioni di Analisi Matematica 1

Carmine Pacilio

Indice

1 Introduzione 2

2 Successioni numeriche 3

2.1 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Limiti di Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Limiti e operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 Limiti Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Limiti di Funzioni Reali 10

3.1 Funzioni Continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

1 Introduzione

Questi appunti sono stati realizzati sulla base del corso Analisi Matematica 1 per Ingegneria

Informatica tenuto al Politecnico di Milano dal Professore Pata Vittorino.

Nelle pagine che seguono sono enunciati e dimostrati tutti i principali teoremi e i risultati

fondamentali dell’analisi matematica, partendo dalle Successioni numeriche e dal calcolo di limiti

di funzioni reali, Derivate, Serie Numeriche ed Integrali.

Le dimostrazioni segnate con il simbolo ” * ” sono state svolte per esercizio e pertanto

potrebbero risultare facoltative per alcuni corsi, ma possono essere utilizzate come esercizio dal

lettore il quale potrá confrontarne a sua volta il risultato.

2

2 Successioni numeriche N R

→

DEFINIZIONE 1. Una successione é una funzione a : il cui dominio é definito come

N R.

sottoinsime di ed immagine come sottoinsieme di

convergente

DEFINIZIONE 2. Una successione a si dice se

n

∀ ∃n ≥ ⇒ | − |

! > 0 (!) t.c se n n a ℓ < ! (1)

0 0 n R.

∈

verificata tale condizione diremo che la successione ha limite ℓ

divergente

DEFINIZIONE 3. Una successione a si dice se

n

∀ ∃ ≥ ⇒

M > 0 n t.c. se n n a > M (2)

0 0 n −∞

verificata tale condizione diremo che la successione tende a +∞ oppure a e viene indicato

→ ±∞

con lim a n ⇔ | −ℓ | →

TEOREMA 1. Sia a una successione, allora a converge ad un limite reale ℓ a 0.

n n n

Dimostrazione. Dalla definizione di successione convergente sappiamo che

∀ ∃ ⇒ | − |<

! > 0 n (!) t.c se n > n a ℓ ! (3)

0 0 n

Da cui ricaviamo | | − | − |< ⇒ | − |

a ℓ 0 ! a ℓ < ! (4)

n n

Il che soddisfa l’ipotesi iniziale e la definizione di successione convergente

TEOREMA 2. (Unicitá del limite) se una successione a converge allora il suo limite esiste

n

ed é unico. → → ∕

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che a ℓ e che a ℓ con ℓ = ℓ e fissato

n 1 n 2 1 2

|ℓ −ℓ |

1 2

! < 2 | − |< | − |<

a ℓ ! e a ℓ ! (5)

n 1 n 2

⇒ | − | − − | ≤ | − | | − |<

Dunque se fissiamo n > n ℓ ℓ =| ℓ a + a ℓ ℓ a + ℓ a ! + ! <|

0 1 2 1 n n 2 1 n 2 n

− | | − |

ℓ ℓ ma questo é assurdo poiché si é arrivati al punto che ℓ ℓ é minore di se stessa.

1 2 1 2

TEOREMA 3. Sia a una successione convergente allora é limitata.

n

Dimostrazione. Fissiamo un ! = 1 (arbitrario) e notiamo che per la definizione di successione

| − |< ∀n ≥ ≥ ⇒| | |

convergente (1) otteniamo a ℓ 1 n ma questo comporta che se n n a =

n 0 0 n

− | ≤ | − | | |< | |, | |< |, | |, | |

a ℓ + ℓ a ℓ + ℓ 1+ ℓ invece se n < n a max{| a a ..., a

n n 0 n 1 2 n +1

0

} ∀n ⇒| |< | |}.

= k ma quindi abbiamo che a M dove M = max{k, 1+ ℓ

n →

TEOREMA 4. (Permanenza del segno) Sia a ℓ. Allora:

n

⇒

1. Se ℓ > 0 a > 0 definitivamente.

n 1

≥ ⇒ ≥

2. Se a 0 ℓ 0

n

1 ≥ ≤

Se sostituiamo con > (o con <) la relazione non varrebbe poiché ci sono successioni che rispettano la

1

condizione di positivitá (o negativitá) il cui limite é 0, un esempio é a = .

n n

3

≤

Entrambe le relazioni valgono anche con < e

Dimostrazione. Punto 1. Fissato ! > 0 per la (1) abbiamo che

−! − ⇒ −

< a ℓ < ! ℓ ! < a < l + ! (6)

n n −

a questo punto siccome sappiamo che ℓ > 0 possiamo fissare ! t.c ℓ ! > 0 ma a questo punto

−

la disuguaglianza ℓ ! < a ci dice che la successione a é positvia.

n n

Punto 2. Supponendo per assurdo che ℓ < 0 allora per il punto 1 otterrei che a < 0 definitiva-

n

≥

mente, il che é assurdo poiché la nostra per ipotesi avevamo a 0.

n

≤

I casi ℓ < 0 e a 0 si dimostrano analogmente.

n ≤ ≤

TEOREMA 5. (Confronto primo tipo) Siano a c b allora

n n n

→ ∧ → ⇒ →

a ℓ b ℓ c ℓ (7)

n n n

Dimostrazione. Per la definizione di successione convergente (1) sappiamo che:

| − |< ∧ | − |<

a ℓ ! b ℓ !

n n

− ≤ ≤

da cui ricaviamo che ℓ ! < a c b < ℓ + ! ed in particolare:

n n n

−

ℓ ! < c < l + !

n

→

pertanto c ℓ.

n ≤

TEOREMA 6. (Confronto secondo tipo) Siano a b allora se:

n n

→ ⇒ →

1. a +∞ b +∞

n n

→ −∞ ⇒ → −∞

2. b a

n n

Dimostrazione. * Dimostriamo il caso 1 (il caso 2 é analogo) per assurdo supponiamo che la

→

successione b ℓ in particolare dal teorema 3 sappiamo che la successione é limitata ma

n ≥

questo é assurdo poiché per un certo M > 0 avremo che la successione a b che contrasta

n n

→ −∞

con l’ipotesi iniziale, analogamente se b allora si raggiunge nuovamente l’assurdo essendo

n

≤

partiti da a b .

n n × ·

TEOREMA 7. (Infinitesima limitata) Sia ε infinitesima e a limitata. allora a ε é

n n n n

infinitesmia. | |≤

Dimostrazione. Sapendo che per definizione di successione limitata a M allora possiamo

n

≤| · |≤| | · | |≤ | | | |→ ⇒ · | |→

supporre che 0 a ε a ε M ε ma ε 0 M ε 0 ma allora per il

n n n n n n n

≤| |≤ | |→ ⇒ →

teorema del confronto concludiamo che 0 a ε M ε 0 a ε 0

n n n n n

2.1 Successioni monotone

TEOREMA 1. Se a é monotona allora é regolare, quindi a converge se e solo se é limitata.

n n

Viceversa a diverge a +∞ (−∞) se é non limitata e crescente (risp. decrescente).

n

Dimostrazione. Caso 1: a non limitata

n

Assumiamo a crescente e non limitata superiormente, fissiamo quindi M > 0 arbitrario. Poiché

n ∃n

a non é superiormente limitata allora t.c. a > M e poiché a é crescente sappiamo che

n 0 n n

0

∀n ≥ ⇒ ≥ ⇒ → −∞).

n a a > M a > M ovvero a +∞ (Dimostrazione analoga per

0 n n n n

o

Caso 2: a limitata

n 4 {a }

Assumiamo a crescente e limitata superiormente, allora l’insieme A = , a , ..., a é

n 1 2 n

R ∃

superiormente limitato poiché é completo allora sicuarmente ℓ = sup A. Dato che ℓ = sup A

fissato un ε > 0 arbitrario abbiamo che − ≤

ℓ ε < a l

n 0

ma esseondo a crescente allora

n − ≤ ≤

ℓ ε < a a l

n n

0 −

∀ ≥ ⇒ − ≤ →

In conclusione quindi ε > 0 troviamo un n t.c. se n n ℓ ε < a ℓ. Ovvero a ℓ

0 0 n n

(dal basso).

2.2 Sottosuccessioni N

DEFINIZIONE 4. Sia a una successione e n una successione a valori in e strettamente

n k sottosuccessione

crescente allora la successione composta a é detta di a .

n n

k

R

∈

TEOREMA 1. Sia ℓ allora:

→ ⇐⇒ ∀a ⇒ →

a ℓ di a a ℓ (8)

n n n n

k k R)

COROLLARIO. Data a , se esistono 2 sottosuccessioni che convergono (in a due limiti

n