Teoremi principali matematica

ICLER oxo-☒ Un =Pf-PER PIL A)TS TC xo✗ →, ffffofUn LCPCon HP1- =Passurdoper e=LDimostrare e✗ 0✗→ 7 )Ibleo¥ 1-E Irina0 vale=) <C-tcfE> EEc (tper> E= = ✗Dlf JIBP ( ) f-valeIrina Etcf PtPXo ELE✗ <-IIConsidero ')-7 nIbcxo Ib=mm↳ 1-valgono <C-Ibcxo)F EEc (tE✗ f-1 E Pt E(P <-. 1- 1hL 112> P< 1-= conclusione assurda1- fa q+ p> i , )teorema lo1- Cln1 ( DelhaDella Delpermanenza segno sgnstessoUN 1- =LHP (a) 70✗ → ✗ o]TS fcxvaleIbraf )tc)(Ib 0>EXo ✗1-DIMOSTRI /ISSO EL 70 =L 3, 73L 70]per 1-Dlf fx valeIbra §( LIb a) }Lttc E (< Cvdf)✗ - OmmDelteorema permanenzaDella segno 27HP fa7 Un1- F IbraIblxo) )Ea)tc e70 ✗ xo→✗TS Un fa) 70→ xo✗ perDIMOSTRA 1-2 1-llm valeassurdo ' Xd( tcf ' LO(a) Ib naLO E Ibesisterebbe ✗Io✗ -0 )( a') )Ib nE (→ ( n✗ IbXO XO1-vale assurda70Ib✗ conclusioneE f-valeI' <b o✗ E tonteorema GM tonilacalcolo composizione commeDel per DIuna

composta è lunauna commaUN 1- )(HP =L G inX continua✗ =L✗✗→ o ][ (c)1-TS )(gUn g× =✗ ✗→ o tunzDellaTeorema Della COMPOSTOcontinuità1-HP 1-continua )(continuagin Xoxo in.is got e- incontinua ✗o limite alloraBilateraleilselimiti unilaterali esisteBilateraliteorema e ☒su (limite unilateraleciascun siaPoichéHP 1-FA a) = % riarredosoddisfare la alcondizione. )dipunto ha loaccumulazione stessoBilateralelimitevalore Del8fa)Se xèDI ( )TS anan )E + ooxoxo =✗ → .,Se )( xdAnto ami xóflx)eio %☐ =→, UnGenerale BilateraleIn fa)Un 1- 1-Un) ( esiste)llm nonXèse ( il=\ ☒xó × ✗ →✗✗✗ →→ .loro Bilateralelimiti unilaterali lin esisteTeorema iluguali tra anchesu → ugualeed è al comunevalore1- 1-UNUnHP xò == ✗ xò→→ ✗ limitiDueDelUN 7UNofTS xó= ✗ =✗ → →✗variabilecambio di7(teorema cv )giaµ Pongo ✗ =UNHP è(4)

lol esisteG )Ib TC )Xo Streit( (monotonaG IbYo4- inno no=• (4)TS 1- [ )1- (Un9Una ×=neo ✗- →✗ o luacoreTeorema (di Weierstrass valore MINIMax )b) fam)7 ]f- [:[HP fanR bcontinuaa )in→ a, ,, ]] 1- 77)()(TS anche Maxper e mindi Punto di MINPuntoin ✗Max e m( )/lesoft viola checondizioni PUOma necessarie se esistanoinnon Darsi ✗ o no= mteorema zeriDegli7 1-(a)f-]Ca 7 [b) aibHP (b)continua→ in <R e o: , , !]TS lab) 1-( )tcAlmeno soluzionea èC- -0cxoun èf-✗ unica se/ iniettiva-①Teorema valoriDei intermedi ]1- [b) 1-1- )(a)1-R b:[HP (ba → aincontinua =\,, ,/ i )1-1-TS 1- ((a)valori betraassume tuttiDIMOSTRA? 1-1- )1- (1- ) (a)((a) b<b tcsia <40e<suppongo ✗ Deglisoddisfa Del☐ zeriteoremag HPb) fcx:[ Gcx) CaYo) ]fRasia g bE✗→ = - (, 7 )Almeno, gcxob), un OE ai te O> ✗= =In Corinne )(continua 1- ) 1=0CXOovvero -(a) f- (a) Yog <= o- 1- )( -40ovvero CvdXO -(b) f-g )( b Yo 70= - ②valori intermediTeorema

Dei1-HP Corinnae IntervalloRI ): in→ I esserepossonoTS 7 surfriffvaloriassume pesi nocontratutti oei 1-diImmagine )uff(f)→ supf(IM = ,limitatoè-7 Se chiuso eI Mintmaxfper 7Weierstrass e][? (f) 7Mint MaxIm= = ,llTeorema Game Derivabili continuitàTai - ')(UN f- )(fcxo) Xofcx 0=0Xo) X - = .f 1- )HP -a Derivabile ( DanaR 0€ •→ ✗:= in (, ✗×✗✗ o→ o- ! 1- Derivabile XOinD= è1- xoincontinua [1-(+711×0)]=0ftp.1-CH-fcxo ¥1cioè)DIMOSTRA cheDevo2 in= ☐ .to )(for contrarioè ancheDell nopuntoIN continuaunteorema1-HP Derivabilie g sono= gcxl) )]è1-h derivabilefog ( ['[TS 'hai )1- () ggcx ×→ ☐= = = .=fermatTeorema di (1-HP ) flocaleAERa MINXo Punto diR per/-0 Max: , f è DerivabileperXO aPunto e [c ✗interno in o'1-TS a) 0( tg✗ ORR=1Punto stazionario 1- F)]DIMOSTRA locale xd1-)( (( MA2 teXo 7 ) E Ia( ✗XOMax toIno ×- , 7che )è (POI punto interno E=)Xo AIz✗o f- FXEI1- )soddisfa ()ICXO ))→ E (( cheXd ((Xd )) 7AIi( (nIn Iz Xo> XXOc-XOI XO= =( )( )I nc- aIaXO XO )1- (f- XO)( × - finito7 Un1- è lol èPoiché Derivabile Xoin ✗ o ✗ xo→ × -Un¥7Quindi = ''" l '+,+ 1- ✗→ ☐ 1- d(1-( ✗'✗Un )(→ - 0 vicinoEDIMOSTRO per XOache IE✗ Xo× ✗: > oxot X✗ → ✗ o- 1- 1-faf- ) )) (( c- 0eCHE toXO - XO✗ - Un <→ Tlo DelDella 0Ferman segno _ .xò✗ →modo UnDIMOSTRO che Peranalogo 70in ✗<✗ o"'-✗ ☒→UnGM Deduco cheRappr rappr= ''f- ( ) Ouguali Xosonosx =MCRdncr zeroaTeorema nottedi 1-] )(([ bf-b) Derivabile (a)HP b)aib7 :[ e-Ra a→ inincontinua e =/,, À-] (almeno unTS b) )1-E tea. ( (✗ Tangpendenza xdin xoo ,tg orizzontaleDimostrazione 7 7per Weierstrass Perne xm✗Due casi :• ( b)( )almeno Lab) /✗ ✗aib e meuno a.meappartiene ad • o-per locale 1-esxm ètal perin

mincaso→ f-diIlInterno DOMINIOperPunto7 e- Bille Deriva dnxmfermat )'1- Hm 0implica b)ca= estremi,µ{ }• b nellab la b)b)entrambi mecioèe ✗a miain ✗ovvero xm e ✗= /, /][FeIn 1- aiballe ( b)1-Def f-(a) ( =)base =→ x b)7b)[poiché (b) è [(a)1- 1- costanteF1- ( ) a.cioèbA) 1-= ai inE✗= l'FXE )'( soddisfab) oeca ( 0'1- uguaglianza 1-Quindi A) 0 a b) Xo =ognie ✗= / ,LagrangediTeorema b)[[HP b) ( b)a Derivabilee-1- a. aicontinua in: inR e→ /f 1- ( )TS ' (a)1-1-la bte✗ E )Hob)Almeno =un -o , b- a netta bpendenza per apassantemmm ,' Rolle particolare lagrangediDelè teoremacasoun• .) )(7calla ) a)1- (a)1- 1-(b 1-( b (retta ) ha→ b (a)passa Yche per e eq - ×+= -, , ab-Dimostrazione b):[considero R→a.g HbtfÌ ( a)1-gcx 1-) ×(a))