Teoremi principali per Analisi 1

Teorema del confronto dei limiti

Sia x₀ ∈ ℝ ∪ {±∞} un p.to di accumulazione per il dominio di 3 funzioni: f, g e h, definite in un intorno I di x₀. Supponiamo inoltre che: ∀x ∈ I → f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Il limite di f(x) per x che tende a x₀ è uguale al limite di h(x) per x che tende a x₀ e tale limite è l. L'appartenenza di l a ℝ. Allora:

lim g(x) per x → x₀ = l

Teorema della permanenza del segno

Sia c ∈ ℝ un p.to di accumulazione per il dominio di f. Se il limite per x → c è uguale a l ∈ ℝ, allora esiste un intorno di c contenuto nel dominio di f(x), in cui la funzione assume lo stesso segno del limite.

lim f(x) per x → c = l > 0 → f(x) > 0 ∀x ∈ I_c
lim f(x) per x → c = l < 0 → f(x) < 0 ∀x ∈ I_c

Il limite deve esistere (finito o infinito) e dev'essere diverso da ∅.

Teorema del confronto dei limiti

Sia x₀ ∈ ℝ∪{±∞} un p.to di accumulazione per il dominio di 3 funzioni: f, g, e h, definite in un intorno I di x₀. Supponiamo inoltre che: ∀ x ∈ I → f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Il lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 h(x) = l → l ∈ ℝ. Allora: lim_x→x0 g(x) = l

Teorema della permanenza del segno

Sia c ∈ ℝ un p.to di accumulazione per il dominio di f. Se il limite per x→c è uguale a l ∈ ℝ, allora esiste un intorno di c contenuto nel dominio di f(x), in cui la funzione assume lo stesso segno del limite.

lim_x→c f(x) = l > 0 ⇒ f(x) > 0 ∀ x ∈ I_c
lim_x→c f(x) = l < 0 ⇒ f(x) < 0 ∀ x ∈ I_c

Il limite deve esistere (finito o infinito) e dev’essere diverso da φ.

Teorema di Rolle

Sia f una funzione di Lagrange (continua e derivabile) in [a..b], con f(a) = f(b), allora esiste c ϵ I tale che: f^'(c) = ϕ

Teorema di Lagrange

Sia f una funzione di Lagrange in [a..b], allora esiste c ϵ I tale che: f^'(c) = f(b) - f(a)/b-a. È la generalizzazione del teorema di Rolle. È un caso particolare del teorema di Cauchy.

Teorema di Cauchy

Siano f, g funzioni di Lagrange in [a..b], allora esiste c ∈ I tale che:

• f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}, g'(c) = ^{g(b) - g(a)}/_{b - a}
• f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)}

Nel teorema di Lagrange si considera g(x) = x → g'(x) = 1.

Teorema sugli zeri

Sia f una funzione continua in [a..b] con f(a) 0 o viceversa. Allora f ammette almeno uno zero interno ad [a..b], ossia ∃ x₀ ∈ (a..b) : f(x₀) = 0

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f una funzione limitata e integrabile in [a...b]. Allora la funzione integrale F(x) è continua nell'intervallo. Inoltre se f(x) è continua su (a...b) allora F(x) è derivabile in ogni punto in cui f è continua. F'(x) = f(x)

F(x) = ∫_a^xf(t)dt

Dim: F(x+h) - F(x) = ∫_a^x+hf(t)dt - ∫_a^xf(t)dt = ∫_a^x+hf(t)dt + ∫_x^af(t)dt = ∫_x^x+hf(t)dt → Il teorema della media integrale ci assicura che: ∃c∈I: f(c)⋅h = ∫_x^x+hf(t)dt → F(x+h) - F(x) = f(c)⋅h → lim_h→0 (F(x+h) - F(x))/h = lim_h→0 f(c) → F'(x) = f(x)