Teoremi principali per Analisi 1

Teorema del Confronto dei Limiti

Sia _x0 ∈ ℝ { ± ∞ } un p.to di accumulazione per il dominio di f. 3 funzioni f, g e h, definite in un intorno I di _x0.

Supponiamo inoltre che:

• ∀ x ∈ I → f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
• lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 h(x) = l → l ∈ ℝ

Allora:

• lim_x→x0 g(x) = l

Teorema della Permanenza del Segno

Sia c ∈ ℝ un p.to di accumulazione per il dominio di f.

Se il limite per x→c è uguale a l ∈ ℝ, allora esiste un intorno di c contenuto nel dominio di f(x), in cui la funzione assume lo stesso segno del limite.

• lim_x→c f(x) = l > 0 → f(x) > 0   ∀ x ∈ I_c
• lim_x→c f(x) = l < 0 → f(x) < 0   ∀ x ∈ I_c

Il limite deve esistere (finito o infinito) e dev'essere diverso da ∅.