Analisi 1 - Teoremi fondamentali

Analisi 1: Teoremi fondamentali

▪ Teorema di Weiestrass per successioni

▪ Disuguaglianza triangolare

▪ Teorema fondamentale dell’algebra

▪ Teorema degli zeri

▪ Teorema della permanenza del segno

▪ Teorema di unicità del limite

▪ Teorema dei carabinieri

▪ Teorema di Weiestrass

▪ Teorema dell’Hopital

▪ Funzione derivabile in un punto

▪ Teorema dei valori intermedi

▪ Teorema di Fermat

▪ Teorema di Rolle

▪ Teorema di Cauchy

▪ Teorema di Lagrange

▪ Disuguaglianza triangolare applicata agli integrali

▪ Teorema fondamentale del calcolo integrale

▪ Teorema della media

Successioni

Teorema di Weiestrass per successioni

{ }

Sia una successione limitata allora esiste una sua sotto successione convergente

{ }

Dimostrazione

➢ { }

Per ipotesi limitata

→ ∃ , t.c.:

0 0 ≤ ≤ ∀

0 0

➢ Considero il punto medio dell’intervallo I, di estremi ,

0 0

−

0 0

=

0 2

➢ Divido l’intervallo I in due sezioni { }

e prendo quella con infinti elementi di , in questo caso la sezione delimitata da ,

0 0

➢ Rinomino in (in questo caso)

0 1

➢ Ripeto questa operazione k volte

Ottenendo due successioni:

• { } : , , … ,

0 1

• { } : , ,

0 1,…

➢ Tali che: ≤ ≤ ≤

+1 +1

{ } { }

→ essendo limitate e monotone sono convergenti

➢ { }

Considero una nuova successione prendendo un elemento di per ogni intervallo ,

{ }

chiamo la nuova successione { } , sottosuccessione di

➢ Si avrà che: ≤ ≤ ∀

➢ Per il teorema del confronto tra successioni:

Se = =

→+∞ →+∞

Allora =

→+∞

➢ Prendo = =

→+∞ →∞

➢ Considero −

0 0

− =

2 −

0 0

→ − =

2

→+∞ →+∞

→− = 0

▪ =

➢ Per il teorema del confronto tra successioni

→ =

→+∞

➢ { } { }

Dato che sono congruenti

→ m è un numero finito

→ { } è convergente

Numeri complessi

Disuguaglianza triangolare | | || ||

+ ≤ +

Dimostrazione

▪ Si ha −|| || −|| ||

≤ ≤ e ≤ ≤

−|| || || ||

→ − ≤ + ≤ +

▪ Si hanno due casi: | |

1) + ≥ 0 → + = +

−|| || | | || ||

→ − ≤ + ≤ +

| | || ||

→ + ≤ + verificata

−| |

2) + ≤ 0 → + = +

−|| || −| | || ||

→ − ≤ + ≤ +

+|| || | | −|| ||

→ + ≥ + ≥ −

+|| || | |

→ + ≥ + verificata

Teorema fondamentale dell’algebra

() ()

Sia un polinomio di grado . Allora ha almeno una soluzione in

≥ 1 ℂ

Enunciato

() { }

Sia un polinomio. Allora esistono numeri complessi e numeri

= + ⋯ + …

{ }

natirali con e , t.c.:

… ∈ ℕ ≤ ≤

+ ⋯ + =

() ( ) ( )

= − … −

Dove ()

radici di

… =

molteplicità delle radici

… =

Limiti

Teorema degli zeri

() () () ()

[, [,

Sia determinata nell’insieme e sia . Allora esiste t.c.

] ⋅ < ∈ ] =

Dimostrazione

c

Per trovare uso il metodo della bisezione.

➢ [ ]

Ottengo una sequenza di intervalli , con le seguenti proprietà:

1) ≤ e ≥

+1 +1

−

2) − =

2

( ) ( )

3) ⋅ < 0

• Per la 1), con → +∞ → e =

1 2

• Per la 2), con → +∞ − = 0 → = =

1 2

• Per la 3), con → +∞ 2

( )

< 0 → assurdo

➢ Considero ( ) ( )

=

→

( ) ( )

=

→

➢ ( ) ( )

Dato che non possono essere concord