Teoremi fondamentali Analisi I

Definiamo un intorno limitato di c

a c b

c può stare comunque tra a e b

es I(c) ∈ I(1,4) c è un qualsiasi numero compreso tra 1 e 4

c-δ c+δ

Intorno Circolare

In un intorno circolare c trovi in mezzo ai due "estremi" e s I(c,ε) ⟺ intorno circolare di raggio 2 di c

c-ε/2 c c+ε/2

In un intorno circolare un punto generico x si trova sempre a distanza minore _δ dell' raggio dell'intorno:

x ∈ I_(5)(c) ⟺ c-δ ≤ x ≤ c+δ

I_(δ⁺)(c) = ] c; c+δ [ intorno destro

I_(δ^-)(c) = ] c-δ; c [ intorno sinistro

Punti di Accumulazione

Un punto di accumulazione è un punto di un intorno contenente almeno un punto dell'intervallo considerato

I(0) nell'intervallo, A ⟺ 1/_n, _n∈ℕ

1/3 1/2 1

Nell'intorno di 0, mano a mano che n aumenta si accumulano punti sempre più vicino a 0, senza mai toccare 0. 0 è un punto di accumulo nell'intervallo A, ma non è incluso in A.

Definizione di Limite

f(x) = 1/x

per x → 0⁺ la funzione entra in un intorno sx di +∞

per x → 0^- la funzione entra in un intorno sx di 0

per x → +∞ la funzione entra in un intorno sx di 0

per x → −∞ la funzione entra in un intorno sx di 0

Sia f(x) → ℝ il lim f(x) = l

Per x di troppo ad un intorno di x₀, le funzione tende ad un intorno di l

e

lim_x→x0 f(x) = l con x₀ ε δ intorno di x

l ε ℜ         ] -∞ , +∞ [

se   e   solo   se    ∀I(l)    ∃I(x₀)

∀x ε I(x₀)    x   con   x ≠ x₀ appartenente Δ dom f(x) ε I(l)

detto    in    altri    termini    f(x)    ε I(l)        diritto    di    x    =    insieme    dei    punti    di    accumularsi

l' ipotesi    per    un    x       ∈    x         punto    di    accumulazione    per    x    con    x ≠ x₀    ossia    che nell'intorno    vi    saranno    altri    punti    I(x₀) ∩ X ≠ ø non contare    un    valore    nullo

1. se   l   ε   ℜ     ≤    I(l) = ] l − ε; l + ε[
2. l   separato                ε f(x) ] l − ε; l + ε[
3. se   l = ±∞             ε  I(∞) = ] ∞ − ε;   ] ∩ [u] ∩ [ −∞ ; +∞ ]
4. f(x)    ε I(∞)         ≤ I(f(x))        x   =   ∞
5. x   =   ±∞                                                 x ∈ Iρ(∞) = ] -∞ ; p  [ ∩ [p ; +∞ ]
6. Iρ(∞)  ⇒    sinistro    ;                                          x  ∈  Iρ(∞)    ⇔     |x| > p

ROLLE

f continua, definita e limitata [a,b] e derivabile ]a,b[

f(a) = f(b)

∃ c ∈ ]a,b[ : f'(c) = 0

tg = 0 ⇔ f'(c) = 0

DIM

f(x) continua [a,b] il teorema di Weierstrass dice che

ha massimo e minimo assoluti

∃ c ∈ [a,b] : f(c) = M f(x) per definizione m ≤ M

f(c) = M f(x) ⇒ f(c₁) ≤ f(c₁)

DISTINGUO 2 CASI

1. m = M f(x) costante ⇒ S retta parallela all'asse x

   f(x) = k ∀ x ∈ [a,b] ⇒ f'(x) = 0 ∀ x ∈ [a,b]

   la f' è ovunque 0

2. m < M almeno uno dei 2 è interno a [a,b] visto che

   f(a) = f(b)

   chiamo c il punto c ∈ ]a,b[

   f(c) = m f(x)

   la f' esiste in ]a,b[ per quanto detto sopra quindi ∃ f'(c)

   e c è un estremo relativo f'(c) = 0

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Sia y = f(x) continua in [a, b]

F(x) = ∫_a^x f(t) dt è una primitiva di f(x)

Dimostrazione

Occorre dimostrare che F'(x) dx = f(x)

Sia x₀ ∈ [a, b]

F(x₀) = ∫_a^x₀ f(t) dt

F(x₀ + h) = ∫_a^x₀+h f(t) dt

ΔF(x₀) = F(x₀ + h) - F(x₀) = ∫_x0^x₀+h f(t) dt = ∫_a^x₀+h f(t) dt - ∫_a^x₀ f(t) dt

= h ⋅ f(ξ) (Teorema della media)

∃ ξ ∈ [x₀, x₀+h] ⋅ ∫_x0^x₀+h f(t) dt = (x₀ + h - x₀) ⋅ f(ξ) = h ⋅ f(ξ)

per h → 0 ⇒ ξ → x₀

Da cui si evince che ∫_a^b f(t) = F(b) - F(a) con F(t) primitiva di f(t)