Teoremi più importanti

1.

2. Proprietà Archimedea dei numeri reali

3. Proprietà di densità di q in r

4. Densità dei numeri irrazionali in r

5. Teorema di unicità del limite di una successione convergente

6. Teorema di esistenza del limite di una successione monotona

7. 6

8. Teorema di unicità del limite di funzioni

9. Teorema della permanenza del segno mostrare cosa succede se non vale l'ipotesi sul segno del limite

10. Teorema del confronto 1

11. Teorema del confronto 2

12. Teorema del doppio confronto

13. Teorema degli zeri (senza dimostrare)

14. Teorema dei valori intermedi 1

15. Teorema dei valori intermedi 2

16. Teorema di weiestrass (senza dimostrare)

17. Teorema sulla continuità di funzioni derivabili verificando che il viceversa è falso con un controesempio

18. scrivere la definizione di funzione derivabile in un punto

19. Formula di leibnitz derivata del prodotto

20. Teorema di fermat

21. 19

22. Teorema di rolle con controesempi nel caso in cui una sola delle ipotesi non sia verificata

23. Teorema di lagrange con significato geometrico e cinematico

24. Teorema di Cauchy (senza dimostrare)

25. Teorema di de l'hospital

26. Criterio di monotonia per funzioni derivabili

27. Polinomio di Taylor con resto di peano

28. con caso n=3

29. Enunciare la formula di taylor con il resto di Lagrange

30. scrivere e dimostrare lo sviluppo di Taylor in almeno una funzione elementare.

PROPRIETA ARCHIMEDEA DEI NUMERI REALI

∀x ε ℜ ∃n ε ℕ : n > x

DIMOSTRAZIONE

PER ASSURDO

I = sup ℕ

Tesi: I < +∞

Suppongo per assurdo che: I ε ℜ ( ℕ limitato superiormente)

∃nεℕ: n < I (I è il più piccolo dei maggioranti)

∀nεℕ ∃eεℕ :

n + 1 ≤ I

n + e > e ≡ 1 > I

n + 1 > I e maggiorante di I

∀εℕ n + ε > I − 1

n > I − 1 ≥ I − I e è il più piccolo dei maggioranti

∃m < I

COROLLARIO

∀b > 0

∃n ε ℕ :

n > b &Infin;

m ε A

In conclusione sup ℕ = +∞

PROPRIETA DI BUON ORDINAMENTO DI NA

ℕ è un insieme ben ordinato

∃e ∀A ∋ ℕ

∃min A

L if

∃A⊆ℕ

∀∃l ∃n : [V<∃∃Aℜ∃ℜA

ed è limitato superiormente allora

∃ max A se non ∃∃ℜ ∀∃∃infinito ]∃∃ ∃A [

limitato ∃niminf ∃max di A

Successioni Monotone

Una successione _n ∈ ℕ si dice monotona crescente(se ∀n ∈ ℕ _n)(se _n < _n+1)

_n ∈ ℕ si dice strettamente crescente (risp. decrescente) se_n < _n+1 ≥ 0 _n < _n+1 (se _n < _n+1)

Se _n ∈ ℕ_n = _n < _n+1

Teorema Fondamentale sull'Esistenza del Limite di una Successione Monotona

Se ( _n)_n ∈ ℕ una successione monotona di numeri reali, allora∀n ∈ ℕ ∃ lim _n

In particolare:1. Se _n è monotona crescente, allora lim _n→∞ = estremo superiore_n→∞ ≤ R se è limitato sup.

2. Se _n è monotona decrescente, allora lim _n→∞ = estremo inferiore_n→∞ ∈ R se è limitato inf._n→∞ ≥ 0 se è illimitato inf.

DimostrazioneSuppongo che ( _n)_n monotona crescente ( _nn)_n ∈ ℕ si è limitato sup_n→∞ ∈ ℕ della_n = _n ≥ 0Tesi∀_n ∈ ℕ ∃ lim _nn = ℂ_n < _nH

_n ≤ R∃ H ∈ R poiché la successioneè illimitato sup. ∃ H ∈ ℕ _n ≤ _n ∀n ∈ ℕpoiché _n = monotona crescente.

Quindi∀ _n ∈ ℕ _n ≤ M

1. DimostrazioneSe ( _n) si è limitata superiormente L = sup _n ∈ RTesi lim _n ≤ L(provo che è giusto candidato limite)∀ ε > 0L verifica la definizione di limite

∀ ε>0 ∃ _n ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ _n+1 ≤ L - ε < ε

Fissato ε>0 arbitrario,Tesi ∃ _n ∈ ℕ _n ∀n ≥ _n L-ε = L-ε è un maggiorante della successione= L sup _n n ∈ ℕ ∈ ℕ _n ≤ L+ε

Consideron ≥ L - ε Questo non è maggiorante della successione

II TEOREMA DEL CONFRONTO

X ⊂ R → R, x₀ ∈ D(g(x))

1. I intorno di x₀, tale che ∀x ∈ X ∩ I-{x₀} β(x) ≤ g(x)
2. Se _x→x0 lim β(x) = ±∞ ⇒ _x→x0 lim g(x) = ±∞
3. Se _x→x0 lim γ(x) = ±∞ ⇒ _x→x0 lim g(x) = ±∞

Dimostrazione:

Sia H ∈ R, poiché _x→x0 lim β(x) = +∞ ⇒ ∃ I intorno di x₀ tale che ∀x ∈ X ∩ I-{x₀} β(x) > M

∀ x ∈ X ∩ (I ∩ I')-{x₀}, γ(x) ≥ β(x) > M

⇒ _x→x0 lim γ(x) = +∞

Stessa dimostrazione per -∞

Corollario

X ⊂ R → R, x₀ ∈ D(g(x))

1. Se ε I di x₀∀ x ∈ X ∩ I, x ≠ x₀, β(x) ≥ 0 (risp ≤ 0)
2. Se _x→x0 lim β(x) = e

Allora e ≥ 0 (risp ≤ 0)

Dimostrazione

Pongo γ = 0 nel 2^o teorema del confronto

Osservazione

Se β(x) ≥ 0 (<0) ∀ x ∈ X ∩ I-{x₀} ⇒ _x→x0 lim β(x) = k ≥ l (<0)

La relazione ≤ ≠ passare al limite, ∑ no ⇒ passare con > l^t k

x² ≥ 0 ∀ x ≠ 0 _x→0 lim x² = 0 ≥ 0

Teorema di Weierstrass

β ⊂ ℝ^⊃ sono sempre definiti sup β(x) e inf β(x) = infg[λ(x₁)].

∀ x ∈ X g(x₁) = g(x₂) ^{∀ x̂sup g sup ĝ (x)}

Teorema

Sia f: [a,b] → ℝ, β continuaallora ∃ x₁ ∈ [a,b], ∃ x₂ ∈ [a,b] ∀ x ∈ [a,b]:

• g(x) ≤ g(x)

x₁ = punto di minimo per g in [a,b], g(x₁) = min_[a,b]g

x₂ = punto di massimo per g in [a,b], g(x₂) = max_[a,b]g

Se una successione è limitata esiste sempre una sottosuccessione convergente

Vale sugli intervalli chiusi e limitati soltanto

Una funzione può non ammettere min e max nel suo dominio ma esclusivamente la sua restrizione ad un intervallo chiuso e limitato ammette min e max.

Il Teorema non vale se β non è continua

Controesempio dell'inversa del teorema di Fermat

f(x) = x³ : ℝ → ℝ

f(x) è derivabile f'(x) = 3x² ≥ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ 0 ⇒ x = 0

x₀ = 0 è l'unico punto in cui f'(0) = 0, quindi unico candidato ad essere di minimo o massimo locale.

x₀ = 0 non è né di minimo né di massimo locale.

Supponiamo per assurdo x₀ = 0 di minimo locale.

∃ r > 0: ∀ x ∈ I(0, x) , x³ ≤ 0 = f(0)

ma x ∈ I(0, x) ∖ x < 0 | x³ < 0 = f(0)

Quindi x₀ = 0 non può essere di minimo locale.

Allo stesso modo x₀ = 0 non può essere di massimo locale.

∃ r > 0: ∀ x ∈ I(0, x) , x³ ≤ 0 = f(0)

ma x ∈ I(0, x) ∖ x > 0 | x³ ≥ 0 = f(0)

In conclusione esistono punti in cui si annulla la derivata prima che non sono né di minimo né di massimo locale.