Teoremi e dimostrazioni Analisi e Geometria 1

2017/2018

Teoremi e dimostrazioni di

Analisi e Geometria 1

POLITECNICO DI MILANO PROF. GIANLUCA MOLA

GABRIELE MAZZOLARI ANALISI E GEOMETRIA 1

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Teoremi e dimostrazioni Analisi e Geometria 1

1° prova in itinere

 IRRAZIONALITÀ DELLA RADICE 2

Teorema: “Non esiste un numero irrazionale il cui quadrato è 2”

2 2

∄ ∈ ℚ ℎ = 2 ⟹ ∀ ∈ ℚ ≠ 2

2

∈ ℤ ↔

Lemma: 2

↔

Dimostrazione: PER ASSURDO

= ℎ , ( )

2

2 2 2 2 (

= = 2 ⟹ = 2 ⟹ ↔ ) ⟹

2

= 2 ∀ ∈ ℤ

2 2 2 2 2 2

= 2 ↔ 4 = 2 → 2 =

2

↔ ,

ℎè à (, ℎ ⟹ )

C.V.D.

 FORMULA DI DE MOIVRE

{0}

, ∈ ℂ \ → ∙ = ∙ [cos( + ) + ( + )]

Teorema: = (cos + )

= (cos + )

∙ = (cos + ) ∙ (cos + ) =

Dimostrazione: = ∙ (cos ∙ cos + cos ∙ + ∙ cos − ∙ ) =

(cos

= ∙ (cos ∙ cos − ∙ sin ) + ∙ sin + sin ∙ cos ) =

cos( + ) sin( + )

= ∙ [cos( + ) + ( + )]

n [cos(

(

= (cos + ) = + ⇒ + ) = ) + sin( )

Corollario (z ): C.V.D.

 TEOREMA DELLA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO

∈ ℂ, ≠ 0, ≥ 1, ∈ ℂ ℎ = ↔

Teorema: [cos( (cos

↔ ) + sin( ) = + sin )

1

{ }

, , … , = √ =

1 2

Ogni numero complesso non nullo ha n radici n-esime equispaziate sulla circonferenza goniometrica di raggio

ρ.

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Dimostrazione: {0}

= 0 = à

- 1° Caso: √0 [0,

(cos

≠ 0 0 ≠ = + sin ) > 0 ∈ 2)

- 2° Caso: [0,

= + sin > 0 ∈ 2)

(cos )

1

= =

√

=

↔{ ↔ ↔ = 0, 1, 2, … , − 1

{ 2

= + 2 , ∈ ℤ [0,

= + ∈ 2)

1

= + sin = 0, 1, 2, … , − 1

(cos )

2

= + = 0, 1, 2, … , − 1

2 2

1

= ( + ) + sin ( + )]

[cos

C.V.D.

 TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Teorema: ”se un limite esiste, allora è unico”

lim = , lim = ⟹ =

1 2 1 2

→+∞ →+∞ ≠ )

Dimostrazione: PER ASSURDO (

1 2

() () | |

∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ≥ − < (1)

1 1 1

() () | |

∀ > 0 ∃ ∈ ℕ ∀ ≥ − < (2)

2 2 2

Per la definizione di limite possiamo allora scrivere:

( ) ( ) ( ) ( )

∩ =

e

1 2 1 2

| − |

1 2 ( ) ( )

̅ < ∩ = ∅

Supponiamo ora che sia ̅ ̅

1 2

2

Si giunge all’assurdo in quanto un elemento non può appartenere all’insieme vuoto. C.V.D.

 TEOREMA SUI LIMITI DI SUCCESSIONI MONOTONE

(

) ⟹

Teorema: ∃ = sup = ( è + ∞)

(

) ⟹

∃ = inf = ( è − ∞)

{ } ⊂ ℝ

≥0

⟹ . = < + ∞

- 1° Caso: ⟹ . = = +∞

- 2° Caso:

(ℎè

< ( ) , sup = < +∞ ) ⟹

Dimostrazione: +1

∀ > 0 ∃() ≥ 0

ℎ < + ≤ < + ↔ − < − <

() () () ()

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≥ () ⟹ < ⟹ − < −

() ()

|

− < − < ↔ − | < ↔ lim =

()

→+∞ C.V.D.

 TEOREMA PERMANENZA DEL SEGNO

(<

lim = > 0 0) ⟹ ∃ ∈ ℕ ℎ ∀ ≥ > 0 (< 0)

Teorema: (1)

→+∞ (≤

≥ 0 0) ⟹ ≥ 0 (≤ 0) (2)

∀ > 0, ∃() ≥ 0 ℎ ∀ ≥ ()

Dimostrazione (1):

− < < +

( (̅)

> 0 ⟹ ̅ < ) ⟹ − ̅ > 0 ⟹ = ⟹ ∀ ≥ , 0 < − <

> 0 ⟹ − < < +

≥ 0

0<+ ∀ > 0

< 0, ℎ +

< 0 . ≥ 0 C.V.D.

> 0 < 0.

Dimostrazione(2): supponiamo per assurdo che

⟹ ∀ > 0 ∃ () ∈ ℕ ∀ ≥ () − < < + definizione d