Teoremi e dimostrazioni Analisi 1 prof. Ambrosio

Insiemi e funzioni

Proposizione

∃c∈ℚ: c² > 2 (ℝ non completo) PA: 3 c∈ℚ. c² = 2 ⇒ m: m∈ℤ c= m/n ⇔ c² = non posso semplificare Supponiamo k² = 2k ⇒ Assurdo. Ora considero A = [x∈ℝ: x² < 2] ⊂ ℚ, B = [x∈ℝ: x² > 2] ⊂ ℚ. Per l'assioma di completezza ∃c tc a≤c≤b e poichè 2c tc c² = 2.

E (c ¹/_n)∃m ∀3 ⇒ min dell’insieme dei maggioranti (ad∃A⊂ℝ) ∃c tc a≤c ≤b B = [x:A∀a≤ba≤x≤cBC∩BC

1. 1 + Th 3 estremo superiore a
2. Disunione Per prop. di Archimede (m-b)<0 ⇒

Disuguaglianza Bernoulli: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx ∀x ∈ Suppongo vero per n e dimostro per n+1: (1+x)ⁿ⁺¹ Lo tessero perché

Insiemi e funzioni

Prop. ∉ ℚ. ℂ ℤ (ℚ non è completo) ∃ m, n ∈ ℤ, ℂ = 2 ⇒ 2 minore di ∈ ℤ e = ℂ ⇒ (2k - )² = 2², m^{2 2}∃ ² = → Contraddizione Sostituzione: ( + ¹/)² ∈ ℝ∃ |a| = ()^x2 - 2Th ₂ estremo superiore ∀ ( ∃ ∈ ℝ: ): ) Contraddizione Bernoulli: ( + ) ^{∃ P ∈ N: |a_n - a| < ε ∀ n > p} => ∃ x ∈ N: |a_n - a| < ε ∀ n > x

Ponendo P = max { p, x }, le relazioni valgono ∀ n > P ∀ n > P => |a_n - a| < ε |a_n - b| < ε Usando la disuguaglianza triangolare (|x + x₁| ≤ |x| + |x|) |a-b| = |(a-a_n) + (a_n - b)| ≤ |a-a_n| + |a_n - b| < ε + ε = |a-b| => |a-b| < |a-b| Assurdo

Teorema: successione convergente è limitata

∃ fisso: ε = 1 Hp: a_n → a ∃ N ∈ n |a_n-a| < ε = 1 |a_n-a| < 1 -> |a_n| < |a| + 1 ∀ n ∀ ≥ N

Sia T_o max {|a₁|, |a₂|, ...,|a_n-1| allora |a_n| ≤ MM = max {|a|, |a₁|,...,|a_N|} ∀ n ≤ N. Prefrequenza Assego ⇒ a_n → a a > 0 => ∃ ∈ N -> 0 < a < a_n ∀ n >= p => &there; ∀ n > p ∀ M > 0, ∃ n > N -> a > a_n ≥a_n ≤ a_n→a₀ x a_n ≤ a >0 | a_n→∀n>N ∀ n > N

Corollario

ε = a_n > 0, a > 0 ∀ N >= N allora a > 0 b) P.A. a > 0 allora M Permeazione Assego. ∃ P ∈ N: a ₁ → ϕ ∀ n > p ASSURDO (l' ^{(nε N)})

Conclusione

Siano a_n, b_n Te succ. te: aa_n ≤ c ≤ b_n Da _n ≤ b_n Allora c≠ lim = ° che succ confe c = b_n = 0 (ineh) ∀ fisso ε e ≥ ea_n→x ε < ε a_n→x a_n - b_n ≤ ε ∀ n ≥ p Rouse r > max{|a₁|, |a₂|} → b_n → a_n → c ≤ a_{n scnson t}

Limite del prodotto di una successione

è limitata per una infitucienne (a)_n suce. _{iuc =>} b _{n b1} > 0 (con) è limitata 3 N : |b_n| < E Fisso E =0. → poucome b_n >0 ∃ N |a_n| · |b_n| ≤ U a_n ≤ b_n T≥ b_n 0 Fisso b_n ≥ 0 n Implter |a_n||b_n| ≤ ε |r t| ≤ ε→ ε |b_m ≤ ε |b_n| b_n >> Impopuil ≈ l ^(x_n)

Limiti notevoli

→ a_n ≤ inf = 0 b₀ 0 a⇒ lnn0 |a₁| ≤ x

Teorema sulle successioni monotone

Hp an cresce. e limit., posto ℓ=Sup a_n fissato ε>0, Per le prop.sup ∃n̅ estremo sup ℓ-ε<a_n, per ∀n>n̅ risulta a_n ≤ a_n+1 dunque ℓ≥a_n ℓ-ε < a_n ≤ ℓ ⇒ a_n → ℓ (per n→∞) Se cres. e non. lim. scrivo h>0 ∃N∈N(a_n> h ∀n> N) stesso discorso con e^-a_n

Numero di Nepero e

è ℓ di a_n con a_n=(1 + ¹/_n)ⁿ Calcoliamo: a_n = (1 + ¹/_n)ⁿ è monotona cresce. Ten. des climi a_n→a_n+1=^{(1 + 1/_n)n+1/_{(1 + 1/n)n} = (1+ 1/_n)}(1+¹/_n) (1+¹/_{n - 1} ) =...(n² + n )/ (n²-1 + n-1)(n² + n)/((n ² -1) + n-1) → (1+¹/_n-1) ⁿ

Usando le dis. Bernoulli con x = ^-1/_n²: ( 1+ ¹/_n)ⁿ → a_n ≥ a_n¹-^1/n

Corollario

2a_n + (1 + ¹/_n)ⁿ è limitato. Definiano b_n = (1 + ¹/_n)ⁿ Vergiunque ^a_n +1≤b_n.a_n + (1 + ¹/_n)ⁿ_nⁿ² →→ ⁿ²/ +1

Usando le dis. Bernoulli con x = ¹/_n, si verificano che b_n è strett. decres. limits essendo n+1≥2 e bn+1=,5 riselta 2∆>^{a_n è limitata} Criterio del Rapporto a_n succ. conv. Allora Lx _an 0 < a₀≤x <1 → b_n→1/b

Serie

Condizione necessaria per la conv. di una serie: Sia S = ₌₀^∞ somma della serie; S_n = ₌₀ somme parziali n-esima S_n+1 = S_n + a_n+1 ⇒ a_n+1 = S_n+1 - S_n

Annulla L_n = Lim S_n Se Lim S_n = S ⇒ Lim a_n = S - S = 0

Criterio del confronto

(_n), (_n) due succ. 0 Se S conv. ⇒ S conv. Se S div. ⇒ S div.

Serie: S te ridotte n-esime (S-1 = ₌₀^-1 a e t = _{=0 Somme successive:} Se S conv. ⇒ Lim S = Lim t = T ℝ S conv. ⇒ + t = 0 S div. ⇒ Lim S_n = +∞ (t) ₀ S = 0, = 1, (_n)=0 T Ø S div. ⇒ lim. +∞

Criterio del rapporto

(_n≥0) Lim a_n+1 e _n allora Se r <1 ⇒ S _n converge Se r >1 ⇒ S _n diverge

Poniamo per semplicità r ≥1: a_n+1 ≤ (r+1 ^- 1) a_n V n>N₁ Il limite è di base: _Δ a_n = _{(n+1 ^- 1) a} n Poniam per applicati _{Δ: n-1} ≤ r^-n a₃+: _{(r+1 ^- 2)} n aa_n = (r+1 ^- 2) a = + (r+1 ^- 2) a a_n+1 = (_{n+1 ^-} - 2) a +('s)

Criterio radice

Si (_n) una succ te a_n≥0 ∀ n∈ℕ, supponiamo che l Allora S _n Se r  converge Se r  > 1 ⇒ S diverge Se ∃ l lim _|| = 1 ∀ ∈ ℕ t_| a Se < 1: f _ℕ n t -∈[1,<]= - ≤ = (r+1 ^- ) _{t -1} + (t ^{-1) r}

Se X - [x₀], X₀ → x ∈ Vₙ e xₙ → x = x₀ ∧ xₙ ≠ x Th sulle f(x) monotoni cresceni: f : (a,b) = L, poiché f è cresa m b a (x): f(x) ≤ f(x₀). Th 3 dop: f(x): R continua tc f(x); f(b) Valori intermedi: e ∈ C([c(b)]) allora f assume tutti valon compresi fra f(a) e f(b). Corollario: ∈^1(), allora F([]) è un intervallo di estremi inf e sup . ∃ Se è luocale cost su = () = () = cost f(c) per ∈(,). → ∃(,) c = f(b) - f(a) = Weirstass()(ab) allora ∃ ._()= (fx_)= (__)

Mostriamo che _ () cioe verificata. Sono cio = () Poi che ε continue

_

Dice continua un intervallo I. Allora Ineiettiva →. _{..mietite culo.} Definitiva () ↛ x → Segue ∧ %c(t)⁽)x∈(₀