Analisi 1, Prof. Ambrosio Vincenzo, Teoremi e dimostrazioni

Insieme numerico, campo, ordinato, completo

1) Insiemi numerici, campi, ordinati e completi.

Proprietà degli insiemi

2) Proprietà degli insiemi.

Funzione

3) Funzione.

Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva

4) Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.

Funzione composta

5) Funzione composta.

Funzione crescente, decrescente e monotona

6) Funzione crescente, decrescente e monotona.

Funzione inversa

7) Funzione inversa.

Valore assoluto

8) Valore assoluto.

Punti interni, esterni e di frontiera

9) Punti interni, esterni e di frontiera.

Punti di accumulazione o isolati

10) Punti di accumulazione o isolati.

Limite

11) Limite.

Intorno sferico e proprietà

12) Intorno sferico e proprietà.

Teorema di unicità del limite

13) Teorema di unicità del limite.

Teorema della permanenza del segno

14) Teorema della permanenza del segno.

Limite destro e sinistro

15) Limite destro e sinistro.

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

16) Teorema del confronto (o dei carabinieri).

Proprietà dei limiti

17) Proprietà dei limiti.

Teorema di limitatezza locale

18) Teorema di limitatezza locale.

Maggiorante, minorante, massimo, minimo, sup, inf

19) Maggiorante, minorante, massimo, minimo, sup, inf.

Teorema sui limiti delle funzioni monotone

20) Teorema sui limiti delle funzioni monotone.

Successioni

21) Successioni.

Teorema sui limiti delle successioni

22) Teorema sui limiti delle successioni.

Trascendente e algebrico

23) Trascendente e algebrico.

Teorema ponte

24) Teorema ponte.

O-piccoli, o-grandi

25) O-piccoli, o-grandi.

Principio di cancellazione degli o-piccoli

26) Principio di cancellazione degli o-piccoli.

Funzioni infinitesime e infinite

27) Funzioni infinitesime e infinite.

Funzioni continue

28) Funzioni continue.

Teorema di esistenza degli zeri

29) Teorema di esistenza degli zeri.

Principio di induzione

30) Principio di induzione.

Teorema valori intermedi

31) Teorema valori intermedi.

Teorema di Weierstrass

32) Teorema di Weierstrass.

Somme di successioni

33) Somme di successioni.

Criterio del confronto

34) Criterio del confronto.

Criterio del confronto asintotico

35) Criterio del confronto asintotico.

Assoluta convergenza

36) Assoluta convergenza.

Teorema di Riemann

37) Teorema di Riemann.

Criterio della radice

38) Criterio della radice.

Criterio del rapporto

39) Criterio del rapporto.

Teorema di Cesaro

40) Teorema di Cesaro.

Criterio di Leibnitz

41) Criterio di Leibnitz.

Funzioni derivabili, differenziabili

42) Funzioni derivabili, differenziabili.

Teorema funzione derivabile ➔ continua

43) Teorema funzione derivabile ➔ continua.

Derivata del prodotto di due funzioni

44) Derivata del prodotto di due funzioni.

Derivata del rapporto di due funzioni

45) Derivata del rapporto di due funzioni.

Derivata di una funzione composta

46) Derivata di una funzione composta.

Punto di massimo, minimo locale (o relativo)

47) Punto di massimo, minimo locale (o relativo).

Teorema di Fermat

48) Teorema di Fermat.

Teorema di Rolle

49) Teorema di Rolle.

Teorema di Lagrange

• Teorema di Lagrange
• Teorema di Cauchy
• Criterio di monotonia (derivate)
• Punti stazionari
• Teorema di de l'Hopital
• Funzioni convesse, concave
• Polinomio di Taylor, Polinomio di McLaurin
• Derivate n-esime (applicazione del teorema di Peano)
• Integrale di Leibnitz
• Integrale di Riemann
• Relazione tra somme delle partizioni
• Funzione Riemann-integrabile
• Additività rispetto all'intervallo di integrazione e proprietà
• Teorema di Heine Cantor
• Permanenza del segno (integrali)
• Teorema della media
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Teorema di Dabboux
• Primitiva in senso generalizzato
• Teorema di Torricelli-Barrow
• Formula di integrazione per sostituzione
• Formula di integrazione per parti
• Scomposizione di Hermite
• Integrale indefinito

Integrale improprio

74) Integrale improprio.

Criterio del confronto (integrale improprio)

75) Criterio del confronto (integrale improprio).

Convergenza puntuale delle serie di potenze

76) Convergenza puntuale delle serie di potenze.

Convergenza uniforme delle serie di potenze

77) Convergenza uniforme delle serie di potenze.

Convergenza totale delle serie di potenze

78) Convergenza totale delle serie di potenze.

Teorema di Abel

79) Teorema di Abel.

Serie di derivate, serie di integrali

80) Serie di derivate, serie di integrali.

Serie di Fourier

81) Serie di Fourier.

Teorema di Dirichlet

82) Teorema di Dirichlet.

Polinomio di Legendre

83) Polinomio di Legendre.

Insiemi: proprietà

• Di idempotenza
• Commutativa
• Associativa
• Distributiva
• Di assorbimento

Unione

• A ∪ A = A
• A ∪ B = B ∪ A
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∪ (A ∩ B) = A

Intersezione

• A ∩ A = A
• A ∩ B = B ∩ A
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∩ (A ∪ B) = A

Relazioni di equivalenza

R ⊂ A × A ∀ a, b, c ∈ A

• ∀ a ∈ A ⇒ a R a (Proprietà riflessiva)
• ∀ a, b ∈ A ⇒ (a R b ⇒ b R a) (Proprietà simmetrica)
• ∀ a, b, c ∈ A ⇒ (a R b ∧ b R c ⇒ a R c) (Proprietà transitiva)

Una funzione è una particolare relazione

Una funzione è una particolare relazione.