Analisi 1, Prof. Ambrosio Vincenzo, Teoremi e dimostrazioni

1. Insieme numerico, campo, ordinato, completo
2. Proprietà insiemi
3. Funzione
4. Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva
5. Funzione composta
6. Funzione crescente, decrescente e monotona
7. Funzione inversa
8. Valore assoluto
9. Punti interni, esterni e di frontiera
10. Punti di accumulazione o isolati
11. Limite
12. Intorno sferico e proprietà
13. Teorema di unicità del limite
14. Teorema della permanenza del segno
15. Limite destro e sinistro
16. Teorema del confronto (o dei carabinieri)
17. Proprietà dei limiti
18. Teorema di limitatezza locale
19. Maggiore, minore, massimo, minimo, sup, inf
20. Teorema sui limiti delle funzioni monotone
21. Successioni
22. Teorema sui limiti delle successioni
23. Trascendente e algebrico
24. Teorema ponte

25) o-piccoli, o-grandi

26) principio di cancellazione degli o-piccoli

27) funzioni infinitesime e infinite

28) funzioni continue

29) teorema di esistenza degli zeri

30) principio di induzione

31) teorema valori intermedi

32) teorema di Weierstrass

33) somme di successioni

34) criterio del confronto

35) criterio del confronto asintotico

36) assoluta convergenza

37) teorema di Riemann

38) criterio della radice

39) criterio del rapporto

40) teorema di Cesaro

41) criterio di Leibnitz

42) funzioni derivabili, differenziabili

43) teorema funzione derivabile – continua

44) derivata del prodotto di due funzioni

45) derivata del rapporto di due funzioni

46) derivata di una funzione composta

47) punto di massimo, minimo locale (o relativo)

48) teorema di Fermat

49) teorema di Rolle

Relazioni d'ordine:

R ⊂ A

1. aR a   (proprietà riflessiva)
2. aR b ∧ bR a ⇒ a = b   (proprietà antisimmetrica)
3. aR b ∧ bR c ⇒ aR c   (proprietà transitiva)

Funzioni:

Siano X, Y insiemi non vuoti. Una funzione f da X in Y è una corrispondenza univoca da X in Y,

ovvero associa ad ogni x ∈ X uno e uno solo elemento y ∈ Y.

Tale elemento è detto valore della funzione in x e si scrive y = f(x).

X = dom f

graf f = { (x, f(x)) ; x ∈ X } ⊆ X × Y

im f = f(X) = { f(x) ; x ∈ X } ⊆ Y

Funzione iniettiva:

f : X → Y è iniettiva se:

∀ x₁, x₂ ∈ X : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

∀ x₁, x₂ ∈ X : x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Funzione suriettiva:

f : X → Y è suriettiva se:

f(X) = Y

Funzione biiettiva:

f : X → Y è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

∀ b ∈ B ∃! a ∈ A : f(a) = b

Teorema del Confronto (o dei Carabinieri)

Supponiamo di avere tre funzioni f, g, h: X → ℝ,

Se x₀ ∈ I(x₀) e supponiamo che:

1. I(x₀): ∀x ∈ I(x₀) ∩ X \ {x₀} ⇒ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
2. lim_x→x0 f(x) = l, lim_x→x0 h(x) = l

Allora lim_x→x0 g(x) = l

Limiti Notevoli:

1. lim_x→x0 K = K
2. lim_x→x0 x = x₀
3. lim_x→x0 x² = x₀²
4. lim_x→x0 x³ = x₀³
5. lim_x→0 sen x = 0
6. lim_x→x0 sen x = sen x₀
7. lim_x→0 cos x = 1
8. lim_x→x0 cos x = cos x₀
9. lim_x→0 ^{sen x}/_x = 1
10. lim_x→0 ^{1-cos x}/_x² = 1/2
11. lim_x→+∞ ¹/_xⁿ = 0
12. lim_n→+∞ (1 + ¹/_n)ⁿ = e
13. lim_x→−∞ (1 + ¹/_x)^x = e
14. lim_α→0 ^α/_senα = 1
15. lim_x→0 ^{ex − ex₀}/_{x − x0}
16. lim_x→0 ^(1+x)1/x/_e = α
17. lim_x→0 ^log(1+x)/_x = 1
18. lim_x→0 ^{arctg x}/_x = 1

FORME DI INDECIOSIONE:

0/0

∞/∞

0•∞

∞ - ∞

0⁰

1^∞

∞⁰

FUNZIONI INFINITESIME E FUNZIONI INFINITE:

lim_x→x₀ F(x) = lim_X→x₀ G(x) = 0

G(x) = o(F(x)) per x → x₀

G(x) è un infinitesimo di ordine superiore ad F(x)

lim_x→x₀ F(x) = lim_X→x₀ G(x) = ∞

G(x) = o(F(x)) per x → x₀

F(x) è un infinito di ordine superiore a G(x)

lim_x→x₀ G(x)/F(x) = 0

ALGEBRA DEGLI o-PICCOLI:

• o(f₁) + o(f₁) = o(f₁)
• o(O(f₁)) = O(o(f₁)) = o(f₁)
• o(f₁)·O(g₂) = o(f₁g₂)
• o(f₁)·o(g₂) = o(f₁g₂)
• O(f₁)·O(g₂) = O(f₁g₂)
• f·o(g₂) = o(fg₂)
• O(f₁) + O(f₁) = O(f₁) (se nella definizione richiedo solo l'esistenza di C maiuscolo)

lim_x→x₀ (g₁(x) + g₂(x))/f(x) = l₁ + l₂

• l₁ + l₂ ≠ 0 → O(g₁) + O(g₂) = O(g₁)
• (O(g₂) vero)
• l₁ + l₂ = 0 → non so se O(f)
• (l₁ = -l₂) è un O(g₂) vero

2) inf {f(x) | x ∈ [a_n, b_n]} = min {inf {f(x) | x ∈ [a, ^a+b⁄₂]}, inf {f(x) | x ∈ [^a+b⁄₂, b]}}

Costruisco [a_n, b_n] ↓ inf {f(x) | x ∈ [a, ^a+b⁄₂]} = inf {f(x) | x ∈ [^a+b⁄₂, b]}

b_n - 2a_n = ^b-a⁄_2ⁿ

lim_n→+∞ a_n = α , lim_n→+∞ b_n = β

β - α = lim_n→+∞ b_n - 2a_n = 0 => α, β ∈ X_n ∈ [a, b]

2a xᵒ} ≥ f(xᵒ)

l_- ≤ f(x) ≤ l₊ con l_- ≠ l₊

CRITERIO DI LEIBNITZ:

\(\sum_{{n=1}}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n, \, a_n \geq 0\)

1) \(a_n \geq 0\)

2) \(a_{n+1} \leq a_n\)

Sia \(l = \lim_{{n \to +\infty}} a_n = \inf \{ a_n \in \mathbb{N} \} \) allora:

1. se \(l = 0 \Rightarrow \sum_{{n=1}}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) è convergente
2. se \(l > 0 \Rightarrow \sum_{{n=1}}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) è indeterminata

Invece di calcolare \(\lim_{{n \to +\infty}} S_n\) calcolo: \(\lim_{{n \to +\infty}} S_{2n}\) e

\(\lim_{{n \to +\infty}} S_{2n+1}\) e provo che questi due limiti siano finiti,

esistano e siano uguali:

• \(S_{2(n+1)} = S_{n+2} = S_{2n+2} = S_{2n} + a_{2n+2} = S_{2n} + \left( \overline{a_{2n+1} - a_{2n+2}} \right) \Rightarrow S_{2n}\)

\(\{ S_{2n} \}_{n \in \mathbb{N}}\) è una successione crescente \(\Rightarrow \exists \lim_{{n \to +\infty}} S_{2n} = 5' \)

• \(S_{2n+4} = S_{2n} + a_{2n+4} = S_{2n+2} - \left( a_{2n} - a_{2n+4} \right) \leq S_{2n-1} = S_{2(n+1)}\)

\(\{ S_{2n+4} \}_{n \in \mathbb{N}}\) è una successione decrescente \(\Rightarrow \exists \lim_{{n \to +\infty}} S_{2n+1} = 5''\)

\(S_{2n} \leq S_{2n+4}\)

\(\left( S_{2} \leq S_{4} \leq S_{6} \Rightarrow S_{3} \leq S_{5} \leq S_{n} \right)\)

\(\left( S_{4} \Rightarrow S_{3} \Rightarrow S_{5} \Rightarrow S_{7} \Rightarrow S_{9} \Rightarrow \ldots S_{2n} \right)\)

\(5'' - 5' = \lim_{{n \to +\infty}} S_{2n+4} - S_{2n} = \lim_{{n \to +\infty}} a_{2n+4} = l \quad \Rightarrow \quad l = 0 \quad \text{conv.}\)

\(l > 0 \quad \text{indet.} \)

\(S = \sup \{ S_{2n} \, | \, n \in \mathbb{N} \} = \inf \{ S_{2n} \, | \, n \in \mathbb{N} \} \)

\(S - S_{2n} \leq S_{2n+4} - S_{2n+4} \leq a_{2n+4} \)

\(\forall n \, |S - S_n| \leq a_{2n+4} \quad (\text{errore massimo})\)