Teoremi e definizioni, Metodi Matematici per l'ingegneria 1

Limite definizione

Un numero a ∈ ℝ che sta "vicino" ai termini della successione che hanno indice "grande". ∀ ε ∈ ℝ⁺, ∃ J : m > J, a - ε n.

Successione definizione

È una funzione che associa ad ogni n(n ∈ ℕ), uno e uno solo numero reale a_n. Una funzione che associa da ℕ → ℝ, f(a_n) ∈ ℕ → ℝ.

Se ∀ ε > 0 → ∃ J : a - ε n J - ε < a_n - a < ε → |a_n - a| J₁, J₂.

Poniamo J = max tra J₁ e J₂, ossia J = max{J₁, J₂}, per cui |a_n - b| < ε.

Per relazioni valgono contemporaneamente e si fa con la disuguaglianza triangolare: |a - b| = |a - a_n| + |a_n - b| ≤ |a - a_n| + |a_n - b| ≤ ε + ε = |a - b|, |a - b| < |a - b| si giunge ad un assurdo.

Disuguaglianza triangolare: |x/y| < y/x |z| ≤ |x + y| < |x| + |y|.

Limite definizione

Un numero α ∈ ℝ che sta "vicino" ai termini della successione che hanno indice "grande". ∀ε ∈ ℝ, ∃ 𝕁: m > 𝕁, a - ε e anche a + ε a - ε, a + ε, ∃𝕁 a - ε, a + ε, m = ∞ (... sta nell'intervallo ...).

Successione definizione

È una funzione che associa ad ogni n(n ∈ ℕ) uno e uno solo numero reale a_n. Una funzione che associa da n^m → ℝ, (a_n): ℕ → ℝ. Dici allora appure che successione converge a a. Se ∞ → 0 ⇒ ∃𝕁: a - ε e anche a + ε per ogni ∞ - ε ≡ → a - ε a + ε &ForwardArrow; intorno di a.

Unicità del limite successione

Una successione convergente non può avere 2 limiti distinti. Il limite, se esiste, è unico.

Dimostrazione

Ipotesi: a equiv a=' asserendo che ammette due limiti distinti. Tesi: il limite non è unico - Position ε = √a - b∛ - 2ε = |a - b|. Per definizione di limite → m → ∞, |a_n - a| < ε ∀ m > √2. Supp. x asserendo che ammette due limiti distinti. Possiamo dire di massimo tra ∛, &x; t ed a_n equiv ori a_n - b(c/a_n).

Le relazioni valgono contrapposizioni e si fa con le disuguaglianza triangolare: |a - b| ≤ |a - m|(a - m)|a - c| |a - b| ≤ (a - a₁) + (a_n - a) = (a₁ - a) + (a_n - a) ≤ ε + ε ≤ == |a - b| si giunge ad un assurdo.

Disuguaglianza triangolare

^|x_y^||z

Unicità del limite (3) - Funzioni

Se la funzione f(x) ammette il limite per x → c, questo è unico.

Supp. Assurdo: Ipotesi: lim_x→c f(x) = e lim_x→c f(x) = e’ e ≠ e’. Tesi: il limite non è unico.

Poniamo ε < |e - e’|. Per definizione di limite:

1. I’(c): ∃ |f(x) – e| < ε/2
2. I’’(c): ∃ |f(x) – e’| < ε/2

I(c) = I’(c) ∩ I’’(c) : |f(x) – e| + |f(x) – e’| < ε |a - b| ≤ |a| + |b| (disuguaglianza triangolare) |e - e’| = |(f(x) – e’) - (f(x) – e)| ≤ |f(x) – e’| + |f(x) – e| < ε ε < |e - e’| < ε.

Teorema della permanenza del segno (successioni)

Se il Lim a_n = a > 0, allora esiste un numero s tale che a_n > 0 per ogni n > s.

Ipotesi: E Lim a_n = a > 0 Tesi: a_n > 0 per ogni n > s

Dimostrazione

Poiché a > 0, possiamo porre ε = a / 2 > 0. Esiste un numero s per cui: |a_n - a| < ε → |a_n - a| < a / 2 che equivale a_n > a - a / 2 = a / 2 > 0 ∀ n > s.

Corollario 1

Se Lim a_n = a e a_n > 0 per ogni n allora a > 0.

Corollario 2

Se Lim a_n = a, Lim b_n = b, e se a_n ≥ b_n allora a ≥ b.

Teorema dei carabinieri (successioni)

Siano a_n, b_n, c_n 3 successioni tali che: a_n ≤ c_n ≤ b_n ∀ n ∈ IN. Se il Lim a_n = Lim b_n = a, allora anche Lim c_n = a.

Ipotesi: a_n ≤ c_n ≤ b_n ∀ n ∈ IN Lim a_n = Lim b_n = a. Tesi: Lim c_n = a.

Dimostrazione

Sappiamo che per ogni ε > 0 ∃ u₁: |a_n - a| < ε ∀ n > u₁ ∃ u₂: |b_n - a| < ε ∀ n > u₂ a.