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LIMITI
DEFINIZIONE = un numero ℝ che sta "vicino" ai termini della successione che haume indice "m grande".
∀ ε ∈ ℝ ∃(3): m > ν, a - ε < am < a + ε
a - ε, a + ε, ε > 0 (am sta nell'intervallo)
a + ε, a - ε = INTORNO di a
SUCCESSIONE
DEFINIZIONE = è una funzione che associa ad ogni m (m ∈ ℕ), uno e uno solo NUMERO REALE am.
Una funzione che associa da ℕ → ℝ, (an): ℕ → ℝ
diciamo allora che la successione converge ad a,
Se ∀ ε > 0 → ∃: σ: a - ε < an < a + ε per ogni n > σ
-ε < an - a < ε → |an - a| < ε
UNICITÀ DEL LIMITE (SUCCESSIONE)
Una successione convergente non può avere 2 limiti distinti. Il limite se esiste, è UNICO.
PER DIMOSTRAZIONE
Ip: lim am=a e lim bm=b mm → ∞ (a ≠ b (a > b)) Supp. x assurdo che ammette due limiti distinti.
Tesi: il limite NON è unico
Prendiamo ε = |a - b| / 2 → 2 ε = |a - b|
per definizione di limite → ∃:σ1: |an - a| < ε → ∃:σ2: |an - b| < ε ∀n > σ1, σ2
Ponendo ν il massimo tra σ1 e σ2 otteniamo ν = max {σ1, σ2} per cui |an - b| < (a - b), |an - a| < ε
Le relazioni valgono contemporaneamente e si ha con la DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE:
|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| = |an - a| + |an - b| ≤ ε + ε = (a - b)|
|a - b| < |a - b| si giunge ad un ASSURDO.
✱ DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE
x/√y x
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