Teoremi di Calcolo numerico

Esempio

Supponiamo di voler calcolare il polinomio interpolante di Lagrange passante per i punti (-1, 1), (0, 1), (1, -1), (3, 2) e (5, 6).

Polinomio di grado 4 (5 punti).

L_n(x) = l₀ y₀ + l₁ y₁ + l₂ y₂ + l₃ y₃ + l₄ y₄

l_n,k(x) = Π ^{n_i=0, i≠k} (x-x_i)/(x_k-x_i)

• k=0: l_n,0(x) = (x-0)(x-1)(x-3)(x-5) / (-1-0)(-1-1)(-1-3)(-1-5) = -x(x-1)(x-3)(x-5)/48
• k=1: l_n,1(x) = (x+1)(x-1)(x-3)(x-5) / (0+1)(0-1)(0-3)(0-5) = (x+1)(x-1)(x-3)(x-5)/15
• k=2: l_n,2(x) = (x+1)(x-0)(x-3)(x-5) / (1+1)(1-0)(1-3)(1-5) = -x(x+1)(x-3)(x-5)/16

• Esercizio pivoting totale

Cerca elemento in massimo modulo → (-2) → sposto a₂₂ in a₁₁ →

Pt scambio colonne → scambio x₁ e x₂

x₁ = y₂

x₂ = y₁

x₃ = x₃

l₂₁ = ¹⁄_-2 = ^{1⁄₂ = l₃₁}

(molti 1°riga per l₁ → allo 2°aggiungo la 1° l)

→ Matrice dono il primo passo

Elemento maggiore in modulo nella sottomatrice → 1 → 1 → scambio

scambio colonne

Interpolazione con Vandermonde

f(x) = sin(πx) + 2 cos(π√x)

x₀ = 1, x₁ = 7/2, x₂ = 3/2

Intervallo: [1/2, 3/2]

SOL

• f(x₀) = 1
• f(x₁) = -√2/2
• f(x₂) = -1

V = matrice di Vandermonde

V * â = [1, √2/2, -1]^T dove â = [a₀, a₁, a₂]^T

â vettore tale che:

• a₀ = 1 + 2√2
• a₁ = -22 - 16√2 / 3
• a₂ = 8 / 3 (1 + √2)

BISEZIONE

e_x: log₁₀(x²)+x-4=0

[1, 2]

a₀: 1, b₀: 2

c₁ = ^{a₀ + b₀}⁄₂ = ^1.5⁄₂ = 1.5

f(c₁) = 1.398

f(a₀) = -3

f(b₀) = 0.6

f(c₀)f(b₀) < 0 → a₁ = c₁ = 1.5 ; b₁ = b₀ = 2

c₂ = ^{a₁ + b₁}⁄₂ = ^{1.5 + 2}⁄₂ = ^3.5⁄₂ = 1.75

f(b₁) = 0.6 ; f(a₁) = -1.4 ; f(c₂) = 0.45

f(c₂)f(b₂) < 0 → a₂ = c₂ = 1.75 ; b₂ = b₁ = 2

c₃ = ^{a₂ + b₂}⁄₂ = ^{1.75 + 2}⁄₂ = 1.875

f(a₂) = -0.45 ; f(b₂) = 0.6 ; f(c₃) = 0.0616

f(a₂)f(c₃) < 0 → a ∈ (1.75, 1.875)

c₄ = ^{1.75 + 1.875}⁄₂ ≈ 1.8125