Analisi I Teoria: Definizioni e Teoremi

Lemma per Induzione

1) Prima istante possibile: I₀ verificato e vera

2) Suppongo valido il passo n-esimo.

3) Ipotesi Induttiva: verifico passo n+1 se valido allora valido ∀ n ∈ ℕ

Disuguaglianza di Bernoulli (verificata per induzione)

(1+y)ⁿ + y·n ≤ x

t x = 1, ∀ n ∈ ℕ ∪ {0}

1. n=0 (1+x)⁰ = 1 ≤ t 0 √

Sostituendo n+1:

(1+x)ⁿ⁺¹ = t_n Somma binomiale per Hp (1+x)ⁿ+1 x ≤ x

Coefficiente Binomiale:

(ⁿ_k) = ^n!/(n-k)! k! n! = 1∙2∙3...n 0! = 1

Formula Binomio Newton:

(a+b)ⁿ = ∑(ⁿ_k) a^n-kb^k

Triangolo Tartaglia: 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1, 1 4 6 4 1

Funzione

Dati A, B ⊂ ℝ

Def: F: A → B ⟺ ∀ x ∈ A, f(x) associa uno ed uno solo elemento y ∈ B Immagine Codominio

Gr(F): ⊆ ℝ²

Funz. Suriettiva: B = F(A) ⟺ Funzione assume tutti i valori compresi nell'intervallo scelto.

Funz. Iniettiva: ∀ x₁, x₂ ∈ A^₊, x₁ ≠ x₂ ⟺ F(x₁) ≠ F(x₂)

Max, Min Assoluti:

Estremi di un insieme ima imgine (codominio) Max/Mnax

Teo Unicitá Estremo Sup:

Se ^_A⊂ℝ ammette estremo sup in ℝ ora Tale Estremo Ē !

Dim. per ass: Se L≠ Ē → 2 estremi superiori:per Def. di estremo:

L ∈ sup(A)_{(L≥x ∀x∈A)} → L - ε⁰ ∃x_i ∈ A: x_i > L - ε ↔

1. L ≥ x₁ ≥ L - ε
2. L ≥ x₂ ≥ L - ε
3. L ≥ x₃ ≥ L - ε
4. L ≥ x₄ ≥ L - ε

Essendo ε piccolo a piacereh e b possono solamente coincidere: ℓ↔ ℓ

Limite: F: A→ℝ ?

Dato: x ∈ Acc(A), Lm F(x) = L_x→x₀

∀ε>0 ∃δ>0 ➜ ∀x ∈ A, 0<|x-x₀|<δ ➜ |F(x)-L|<ε

Teo. Unicità Limite: F: A⊂ℝ→ℝ

x₀ ∈ Acc(A)∩ℝ

Se ∀L Lm F(x) = L_x→x₀ ➜ L limite è unico

Dim x Passiavo

∀ε>0 ∃δ₁>0, ∀x ∈ A, 0<|x-x₀|<δ₁ ➜ |F(x)-L₁|< ε/3

∃δ₂>0: ∀x ∈ A, 0<|x-x₀|<δ₂ ➜ |F(x)-L₂|< ε/3

Imponę ε = |L2 - L1|>0

❗∀x ∈ A

|x-x₀|<0 ➜ min(δ₁, δ₂)

∀∊∀ε→∃ ➜ Im

Disuguaglianza Triangolare

|L₁-L₂| = |L₂ + F(x)

Limite può

Teo Permanenza Segno: F: A⊂ℝ→ℝ

x₀ ∈ Acc(A)∩ℝ

∀ Lm F(x) = L_x→x₀ ➜ I = intorno

F(x) ⊑ 0 ➜ L ≤ 0

F(x) ⊒ 0 ➜ L ≥ 0

Teo del Confronto

Date f, g, h: ⊄ f ⊂ A⊂ℝ→ℝ

x₀ ∈ Acc(A)∩ℝ

F(x)⟥0: Conosc

∀ε>0 : g(x)<F(x)<h(x), ∀x ∈ <intorno (x0-δ x0+δ)...A\{x₀}

Lg^x→x₀ Lg^x→x₀ Lg^x→x₀ = L

Teo Confronto (Inf.+): Date F, g: ⊄ f A⊂ℝ→ℝ

x₀ ∈ Acc(A)∩ℝ

∀ M^{lim x→x₀}F(x) = +∞

Teo Limite Funz. Composte

Teo. Condizione Necessaria Convergenza

C.N. affinché Σa_n converga → lim a_n=0

Σa_n conv. ⇔ lim S_n = S ⇔ n^th lim S_n+1 = S

S_n+1 = S_n + a_n+1 → a_n+1 = S_n+1 - S_n

→ lim a_n+1 = lim S_n+1 - S_n = lim S_n+1 = lim S_n = S - S =0

⇒ lim a_n+1 = a_n = 0 ⇒ Σa_n può convegere

Teo. Assoluta Convergenza

Se Σ|a_n| (conv) → Σa_n < ∞ (conv)

Fisso a_n = b_n - c_n, di cui:

• c_n = |a_n| ∗ Σa_n se a_n ≥ 0
• Σa_n = Σ(b_n-c_n) = Σa_n|∗|a_n|
• b_n = a_n||

b_{n ≥} 0, in particolare ⇒ Q ≥ b_n |a_n|∗

Σ|a_n| converge per il^x somma_a di due Seni. convergenti

Σb_n = Σ(a_n+|a_n|) converge per cast. confronto

È stato dimostrato che Σb_n., Σc_n convergono ⇒ Σ(b_n - c_n) conv. V

Teo. degli Zeri

Dato f continuo f: [a,b∗] → [R . F(a)-F(b|)∗] < 0

Th: ⇒ ∃c ∈ (a,b): f(c)=0

Demo per Bisezione: Supponiamo f(a) < 0 ≤ f(b)

• passo punto Medio di [a:b∗]: c_{mid = a+b/2 lunghezza Intervalla [a,b] = b-a/2^N}
• passo
• C_mi = C_mid + b-a/2

⇒ f(C)₀ = 0 Fine

Se f(C)_{>0 ∗} Definisco [a,b∗]:[a] ∗, B_0]

Fine → ∃(F(C))∗ =[a], B₂ ∗ = &alef;

f(C)⁰ → Definisco [a:b⁰]:[a∗ b]

_λ ∗

Teo. Lim Successioni Monotone

lim inf a_n^sup| = {sup h)|∗: [a;b∗) per Algebra

∗(lim b-a/infin) = lim inf = Inf{a_n} ∈a[a;b∗]

lim {n ⇔ 1 - b-a∗

⇒ C'|^{∗ b-a} ∗_{a} ={a:b}_|∗

⇒ f(

∗∗f(cin;b-a)|∗

C.V.D

Punto di Flesso

Dati f: (a,b) → ℝ e x₀ ∈ (a,b), f derivabile

• x₀ è punto di flesso per f se:

funz. Concava in un intorno dx di x₀ per Cambia Tangente

funz. Convessa in un intorno sx di x₀ Verticale

Tangente Verticale

• Lim_x→x0 (f(x) - f(x₀)) = ±∞ ↔ x₀ punto x₀ Non x-x₀ Prop Derivabile

Teo:

Se f: (a,b)→ℝ ha flesso in x₀∈(a,b), f ∈ C²(a,b)

• f'(x₀) = 0

x₀ punto di flesso per Hp⇒∃ δ>0: f'(x)=

• f'(x)=

x₀ punto di Max (Min) locale per f'⇒Per Teo Fermat f''(x₀) = 0

Teo: punto di Max (Min)

Sia F: (a,b)→ℝ, F ∈ C²(a,b), con F'(x₀)=0 e F''(x₀)≠0

• Se F''(x)₀ > 0 ⇔ x₀ è punto di Min Locale Stretto
• Se F''(x₀)