Teoremi e definizioni di Analisi 1 e 2

A

Se X è un insieme totalmente ordinato _A ⊆ _X

Un elemento k di X è un MAGGIORANTE di A se k è più grande di tutti gli elementi di A

• ∀ x ∈ A x ≤ k

Se X è un insieme totalmente ordinato _A ⊆ _X

Un elemento k di X è un MINORANTE di A se k è più piccolo di tutti gli elementi di A

• ∀ x ∈ A x ≥ k

m ∈ X è il MASSIMO di A ⊆ X ⇔ ∀ x ∈ A x ≤ m e m è un maggiorante di A

m ∈ X è il MINIMO di A ⊆ X ⇔ ∀ x ∈ A x ≥ m e m è un minorante di A

f : X → Y è SURIECTIVA

(t elementi di X sono associati a tutti gli elementi di Y, l’codominio è insieme delle immagini)

f : X → Y si dice INIECTIVA se ∀ x₁, x₂ ∈ X

f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂

• (il singolo elemento x ∈ X è associato a un solo elemento di Y)
• (le funzioni successive si intersecano al massimo una sola volta con la retta y alle sue stelle x)

Data una funzione f (x) : X → Y è INIERTILE si ammette un inversa ed è a ∈ Y

si dice che f (Y) dy (x )

→ { x ∈ X : f (x ) ≤ y}

- una funzione è inieertibile e si diminuisca se         è strettamente monotona

Se dice ESTREMO SUPERIORE DI A (sup.A, minimo dei maggioranti il numero l) t.c.:

1. ∀ x ∈ A x ≤ l
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A : l - ε < x

Si dice ESTREMO INFERIORE DI A (inf.A, minimo dei minoranti il numero l) t.c.:

1. ∀ x ∈ A x ≥ l
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A : l - ε > x

A si dice FINITO se ∃ n ∈ ℕ t.c.

A è {x₁, ..., x_n} sono in corrispondenza biunivoca

A è INFINITO se non è finito

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE:

∀x, y ∈ ℝ: |x + y| ≤ |x| + |y|

X ⊆ ℝ è SIMMETRICO ⇔ (x ∈ X ⇔ -x ∈ X)

f è PAR se f(-x) = f(x)

simmetria rispetto all'asse delle y

f è DISPARI se f(-x) = -f(x)

simmetria rispetto all'origine

f: X ⊆ ℝ → ℝ è LIMITATA se ∃ I ⊆ ℝ è un insieme limitato cioè ∃ᵢ^K ∈ ℝ t.c.

h ≤ f(x) ≤ k ∀ x ∈ X

x̄ si dice PUNTO DI MASSIMO se x̄ ∈ dom f e f(x̄) = max f(x) x∈X

f:X→ℝ x̄∈X è un PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO per f ⇔ f(x̄) ≥ f(x) ∀x∈X

f(x̄)=max f(x) x∈X

x̄∈ X è un PUNTO DI MASSIMO RELATIVO per f ⇔ ∃ U(x̄) t.c. f(x̄) ≥ f(x) ∀x ∈ U(x̄)∩X

FUNZIONI MONOTONE:

f:X→ℝ si dice STRETTAMENTE MONOTONA CRESCENTE nel suo dominio X⇔ ∀x₁, x₂∈X

x₁ x si dice PUNTO CRITICO o STAZIONARIO

f: [a,b[ → ℝ, x ε]a,b[

Supponiamo che ]a, ε ℝ : ∀ hε ℝ : x+h ε]a,b[

Δ f(x)=|f(x+h) - f(x)=Ah + o(h) per h → 0

In questo caso si dice che f è DIFERENZIABILE in x

La funzione lineare h → Ah si dice DIFFERENZIALE di f in x e si denota con il symbol/d

d_f(x) h ⇔ allora d_f(x)(h) = Ah

f: [a,b[ → ℝ, una funzione F: [a,b[ → ℝ derivabile si dice PRIMITIVA di f

∃ F'(x) = f(x) ∀ x ε ]a,b[

f: [a,b[ → ℝ, x₀ ε ]a,b[ | ∃ I(x₀) ε ℝ {+∞} U {} -∞}

Si dice che x₀ è un PUNTO DI FLESSO se ∃ I'(x₀) dove f' è conserva/conserve e f''(x₀)

dove f' è concavo/convey

Se ∃ f''(x₀) e x ≈ x₀ è un flesso => f'(x₀) = 0

Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti

{a_n}

N → ℝ

n ↦ a_n

Se ∃lim a_n = l ∈ ℝ ⇒ {a_n}_{n ∈ N} è limitata

Dim.

Dalla definizione di limite fisso ε = 1

∃ N ∈ ℕ t.c. ∀ n ∈ ℕ n > N : |a_n - l| < 1

Risulta |a_n| = |a_n - l + l| ≤ |a_n - l| + |l| < 1 + |l|

Si pone M := max{|a₀|,|a₁|,...,|a_n-1|,1+|l|} e risulta |a_n| ≤ M

∀ n ∈ ℕ ⇔ {a_n}_n è limitata

Teorema di Bolzano

I ⊂ ℝ, f continua, I intervallo di qualunque naturaAllora f assume tutti i valori compresi fra inf f e sup f.

Dim:∃ inf f, sup f: ∀ x₁ x₂ ⊂ I t.c. inf f ≤ f(x₁) ≤ c ≤ f(x₂) ≤ sup f

Poiché g(x)= f(x)-c è definita in Iè continua (differenza di funzioni continue)

• -g(x₁) = f(x₁)-c < 0
• -g(x₂) = f(x₂)-c > 0

per il teorema degli zeri applicato a g ∃ x̄ ∈ ]x₁, x₂[ t.c. g(x)=0 cioè f(x̄)=c

Teorema degli zeri

f: I ⊆ ℝ → ℝ continua con I intervallo di qualunque naturaf(a)⋅f(b)<0 allora ∃ c ∈ ]a, b[ t.c. f(c)=0

Ruolo delle ipotesi

1. a, b, f(a)⋅f(b) > 0 f: [a, b] → ℝ f continua
2. f: ]a, b[ → ℝ, f(a)⋅f(b)<0, f non continua
3. f: X → ℝ, f continua, ∃ j ∈ X t.c. f(a)⋅f(b) < 0con X insieme qualunque, [a₁, b₁] ∪ [a₂, b₂] e continua nel suo intervallo

TEOREMA DI LAGRANGE

valore intermedio

f : [a, b] → ℝ

f è continua in [a, b] f è derivabile ]a, b[

{∃ c ∈ ]a, b[ : f'(c) = ()−()₋}

DIM:

Il teorema afferma che ∃ almeno un punto P (c, f(c)) del grafico t.c. la tangente in P è parallela alla retta passante per A (a, f(a)) e B (b, f(b))

Si considera ψ(x) := f(x) − {f(a) + ()−()₋ (x − a)}

è una retta

ψ è continua in [a, b] ψ è derivabile in ]a, b[

ψ(a) = f(a) − f(a) = 0

ψ(b) = f(b) − {f(a) + ()−()₋ (b − a)} = 0

Per il teorema di Rolle applicato alla funzione ψ ⟹ ∃ c ∈ ]a, b[ t.c. ψ'(c) = 0 ⟺{∃ c ∈ ]a, b[ t.c. f'(c) − ()−()₋} = 0

CASO a)

(x - x_o)ⁿ > 0   ∀ x ≠ x_o, (n è pari) => f(x) ≥ f(x_o) in (I_(xo) \ {x_o}) ∩ ]a, b[ <=>

<=> x_o è un minimo locale (in senso stretto)

CASO b)

(x - x_o)ⁿ > 0 , n dispari  ∼  x >> x_o.

f(x) - f(x_o) > 0    x >> x_o.

(x - x_o)ⁿ < 0 , n dispari , x < x_o.

h(x+f(x_o)) < 0   f(x) < f(x_o) => x_o non è un estremo relativo