Teoremi e definizioni di Analisi 1 e 2

Se X è un insieme totalmente ordinato, A ⊆ X

un elemento K di X è un MAGGIORANTE di A se è più grande di tutti gli elementi di A

∀ x ∈ A x ≤ k

Se X è un insieme totalmente ordinato, A ⊆ X

Un elemento k di X è un MINORANTE di A se è più piccolo di tutti gli elementi di A

∀ x ∈ A x ≥ h

m ∈ X il MASSIMO di A ⊆ X se ∀ m ∈ A e m è un maggiorante di A

m ∈ X il MINIMO di A ⊆ X se ∀ m ∈ A e m è un minorante di A

f : X → Y è SURIETTIVA

(se gli elementi di X sono associati a tutti gli elementi di Y, codominio = insieme delle immagini)

f : X → Y si dice INIEITTIVA se ∀ x₁, x₂ ∈ X

f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂

(di ogni elemento x ∈ X è associato a un solo elemento di Y)

(le funzioni iniettive si intersecano al massimo una sola volta con la retta y allo x della x)

Data una funzione f: X → Y È INVERTIBILE se ammette un INVERSA cioè se ∀ y ∈ Y è

associata {∀ x ∈ X | f(x) = y}

- una funzione è invertibile se e solo se è strettamente monotona.

Si dice ESTREMO SUPERIORE DI A (sup. A, minimo dei maggioranti) il numero L t.c. :

1. ∀ x ∈ A x ≤ l
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A : l - ε ≤ x

Si dice ESTREMO INFERIORE DI A (inf. A, massimo dei minoranti) il numero L t.c. :

1. ∀ x ∈ A x ≥ l
2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A : l - ε ≥ x

Se X è un insieme totalmente ordinato, A ⊆ X

un elemento K di X è un MAGGIORANTE di A se è più grande di tutti gli elementi di A

∀ x ∈ A

x ≤ k

Se X è un insieme totalmente ordinato, A ⊆ X

Un elemento h di X è un MINORANTE di A se è più piccolo di tutti gli elementi di A

∀ x ∈ A

x ≥ h

m ∈ X il MASSIMO di A ⊆ X se m ∈ A e m è un maggiorante di A

m ∈ X il MINIMO di A ⊆ X se m ∈ A e m è un minorante di A

f : X → Y è

SURIETTIVA

(se gli elementi di X sono associati a tutti gli elementi di Y, codominio = insieme delle immagini)

f : X → Y si dice

INIEITTIVA

se ∀x₁, x₂ ∈ X

Y_X1 ∈ Y_X2 f(x₁) = f(x₂) ⟹ X₁ = X₂

(ogni elemento è associato a un solo elemento di Y, le funzioni iniettive si intersecano al massimo una sola volta con le rette || all'asse delle x)

Se dice

ESTREMO SUPERIORE DI A (sup A, minimo dei maggioranti il numero l t.c.:

1. ∀ x ∈ A
2. x ≤ l
3. ∀ E > 0
4. ∃ x ∈ A : l - E ≤ x

Se dice

ESTREMO INFERIORE DI A (inf A, massimo dei minoranti il numero l t.c.:

1. ∀ x ∈ A
2. x ≥ l
3. ∀ E > 0
4. ∃ x ∈ A : l - E ≥ x

A si dice FINITO se ∃ m ∈ ℕ t.c. A ∈ {1, ..., m} sono in corrispondenza biunivoca.

A è INFINITO se non è finito

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: ∀x,y ∈ ℝ : |x+y| ≤ |x| + |y|

X ⊆ ℝ è SIMMETRICO ⇔ (∀ x ∈ X ⇔ -x ∈ X)

f è PARI se f(-x) = f(x)simmetria rispetto all'asse delle y

f è DISPARI se f(-x) = -f(x)simmetria rispetto all'origine

f: X ⊆ ℝ → ℝ è LIMITATA se I_f è un insieme limitato cioè se &frac1;k ∈ ℝ t.c.

h ≤ f(x) ≤ k   ∀x ∈ X

x̅ si dice PUNTO DI MASSIMO se x̅ ∈ dom f e f(x̅) = max f(x)   x ∈ X

f: X → ℝ x̅ ∈ X è un PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO per f ⇔ f(x̅) ≥ f(x) ∀x ∈ X e X

f(x̅) = max f(x)   x ∈ Xx̅ ∈ Λ è un PUNTO DI MASSIMO RELATIVO per f ⇔ ∃ U(x̅) t.c. f(x̅) ≥ f(x)

∀x ∈ U(x̅) ∩ Λ X

FUNZIONI MONOTONE:

f: X ⊆ ℝ → ℝ si dice STRETTAMENTE MONOTONA CRESCENTE nel suo dominio X ⇔ ∀x_1,x_2 ∈ X,

x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) < f(x_2)

ecc. (monotona crescente ≤, monotona decrescente ≥, strettamente monotona decrescente >)

INTORNO:

0 ∈ &Reals;, d>0, I_d(0) = {x ∈ &Reals; : |x-x₀| < d}

• X ⊂ &Reals;
• x₀ ∈ X → x₀ si dice INTERNO a X ←→ ∃ I_d(0) ⊆ X
• Se x₀ ∈ interno a C_&Reals; X, si dice ESTERNO a X
• Se x₀ non è interno né esterno a X si dice che x₀ è un PUNTO DI FRONTIERA
• Xº si dice INTERNO DI X e denota l'insieme dei punti interni di X