Teoremi enunciati e dimostrati

Teoremi

• V sp. vett. su K W ⊂ V se W < V ➔ 0 ∈ W

  Dim

  W < V ➔ W ≠ ϕ ➔ ∃ v ∈ W v = (v₁, ..., v_n) / chius. per prodott. ➔ ∀ λ ∈ K ∃ λ v ∈ W e v v = W anche con 0 ➔ 0 v ∈ W ➔ 0 ∈ W

• ∑ a_i x_i = b eq. lineare in n incognite ➔ W = { (x₁, ..., x_n) ∈ Kⁿ | ∑ a_i x_i = b } se b = 0 ⬄ è sott. vett. se b ≠ 0 NON è sott. vett.

  Dim

  se b = 0 ➔ (0, ..., 0) i soluz ➔ W ≠ 0 0 a₁ + 0 a₂ + ... + 0 a_n = 0 se b ≠ 0 ➔ (0, ..., 0) NON i soluz 0 a₁ + 0 a₂ + ... + 0 a_n + b ➔ W ¬ V

• W è chiuso per comb. lin ⬄ è chiuso per somma e prodotto

  Dim

  somma e prodotti somno particolari comb. lin , reale se W è chiuso per somma e prodotti ∀ λ_i ⊂ K ∃ λ₁ w₁ + ... + λ_i w_i ∈ W ∑ λ_i w_i ∈ W ➔ comb. lin. ∈ W

• ϕ ≠ W ⊂ V è sott vett ⬄ è chiuso per comb. lin.

∀ sp. vett. su ℝ

n₁,...,nₙ ∈ V lin dip ⟺ uno de loro si esprime come comb lin degli altri

DIM

⇐ ∃ i ni è comb lin degli altri n ⇒ ∃ λᵢ | Nᵢ = ∑ₖ₌ᵢ λₖ Nₖ

∑ λₖ Nₖ = 0 è comb. lin. nulla non banale

⇒ vett. sono lin. dip.

⇒ n₁,...nₙ non tutti nulli (∃ i | λᵢ ≠ 0) tolti che

∑ λᵢ Nᵢ + ∑_ₖ₊ᵢ λₖ Nₖ = 0

1. Nᵢ = - ∑_ₖ₊ᵢ ^{- λₖ}/_λᵢ Nₖ comb. lin. dei Nₖ

∀ sp. vett. su ℝ

n₁,...nₙ lin ind ⇒ ogni sottinsieme dei {nᵢ} è formato da vettori lin. ind.

DIM

se ∃ comb. lin. nulla non banale di un (lin dip.), allora n₁,...,nₙ non sono lin. ind.

• V sp. vett. su ℝ
• I ⊆ V
• n₁,...,nₙ ∈ V GENERANO e nᵢ si è comb. lin. di elementi di I
• n₁,...nₙ generano V ⇒ I genera V

DIM

prendiamo w₁ⱼ ∈ I e λ₁ⱼ ∈ ℝ | nᵣ = ∑ λⱼₖwⱼ

dato che nᵣ generano, ∃ k₁,... kₙ | nᵣ = ∑ kᵢnᵢ

dato che wⱼ = ∑ kᵢⱼ wⱼ I genera V

V sp. vett. su K

{v_i} i.b. <=> ∀ v ∈ V ∃! {λ_i} t.c. ∑ λ_iv_i = v

AX = b ha soluzione unica ∀ b

V sp. vett. di dim. finita su K

W ⊆ V => dim (W) ≤ dim (V)

Dim

Sia W₁...W_s una base di W => dim (W) = n e w₁...w_s l.m. dim. ind.

(estensione a base) ∃ n₁...n_s w₁...w_n...v_s i b. e base di V

dim (V) = n + s = dim (W) rs

dato che s ∈ N ∃s > 0 => dim (V) ≥ dim (W)

V sp. vett. su K

v₁...v_n ∈ V

insieme ordinato (V₁...v_n) è base di V <=> ∀ v ∈ V ∃! λ₁...λ_n t.c. v = ∑ λ_iv_i

(coordinata ordinata)

Vettore (1...n ∈ K) è vettore delle coordinate

di v rispetto alla base (v₁...v_n)

V sp. vett. su K

I ⊂ V I ≠ o

span (I) = sottospazio generato da I

• il piu piccolo sottospazio di V contenente I
• l'intersezione di tutti i sottospazi contenenti I
• l'insieme di tutte le combinazioni lineari di elementi di I

• V, W sp. vett. su K
• f ∈ Hom (V, W)

f iniettiva <=> Ker f = {0}

DIM

• se f è iniettiva ∃! f(0) => f(0) =0 Ker f = {0}
• se Ker f = {0}

f(x) = f(y) => f(x) - f(y) =0 => f (x-y) = 0

(x-y) ∈ Ker f , ma poichè Ker f = {0} => x-y=0 -> x=y

2. f è suriettiva <=> Im f = W

DIM

tautologica

IN COORDINATE:

• Ker f: AX = 0
• Im f: AX = b

• V, W sp. vett. su K
• f ∈ Hom (V, W)

LEMMA INIETTIVITÀ

• v₁, ... vn lin ind ∈ V
• f iniettiva => f(v₁) ... f(vn) lin ind ∈ W

• V, W sp. vett. su K
• f ∈ Hom (V, W)

LEMMA SURIETTIVITÀ

I un generatore di V > f(I) genere Im f

f suriettiva => f(I) genere W

Un'applicazione affine è una funzione

\(f:\mathbb{K}^h \rightarrow \mathbb{K}^h\)

del tipo \(f(X) = AX + b\)

termine di traslazione parte lineare

Esse preservano le combinazioni affini

• \((h+1)\) punti \(X_0, \ldots, X_h \in \mathbb{K}^h\) affinemente indipendenti

\(\Rightarrow \forall Y_0, Y_h \in \mathbb{K}^h \exists ! f:\mathbb{K}^h \rightarrow \mathbb{K}^h | f(X_i) = Y_i\)

Esse e in affinità \(\Rightarrow Y_0 \ldots Y_h\) sono affinemente indipendenti

Dim

vogliamo:

\(\circled{1} f(X_i) = AX_i + b\)

\(\circled{2} f(X_0) = AX_0 + b\)

\(Y_i - Y_0 = AX_i + b - AX_0 - b = A(X_i - X_0)\)

\(A\) (parte lineare) manda \(X_i : X_0 \rightarrow Y_i - Y_0\)

troviamo applicare dim \(A\):

siano \(V, W\) sp. vett. su \(\mathbb{K}\) dati \(v_1, \ldots, v_m \in V\) e \(w_1 \in W\)

\(\exists ! f: V \rightarrow W | f(v_i) = w_i\)

scelte \(B_V\) base di \(V\) e \(B_W\) base di \(W\)

\(A\) = \(\begin{bmatrix} [w_1]_{B_W} & \cdots & [w_n]_{B_W} \end{bmatrix} M_{\begin{bmatrix} [v_1]_{B_V} & \cdots & [v_n]_{B_V} \end{bmatrix} }\)

matrice associata a \(f = M_{B_W}^{B_V}(f) = A{M^{-1}}\)

troviamo \(b\):

\(f(x) = Y_0\)

\(AX_0 + b = Y_0\)

\(b = Y_0 - AX_0\)

\(f(x) = AX + b = AX + (Y_0 - AX_0) = A(X - X_0) + Y_0\)

Distanza

X insiemed(x,y) con x,y ∈ X è una funzione tale che

1. d(x,y) ≥ 0
2. d(x,y) = d(y,x)
3. d(x,x) = 0 ⟷ d(x,y) = 0 ⟷ x=y
4. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

Norma

‖v‖ = √⟨v,v⟩ = √q(v)

|⟨v,w⟩| ≤ ‖v‖ ‖w‖

Dim

Considero f(t) = ‖v+tw‖² ≥ 0 ∀ t ∈ ℝ

(√⟨v+tw⟩,⟨v+tw⟩)² = ⟨v+tw⟩, ⟨v+tw⟩ =

= ⟨v,v⟩ + t²⟨w,w⟩ + 2t⟨v,w⟩

‖v‖² = a⟨v,w⟩ = b‖v‖¹² = c

f(t) è un polinomio di secondo grado sempre positivo (prod. scal. definito positivo) ⟹ Δ ≤ 0

⟨v,w⟩² - ‖v‖² ‖w‖² ≤ 0 ⟹ ⟨v,w⟩ ≤ ‖v‖ ‖w‖

f: R² → R³

f(x, y) = (2x - y, 2y, x)

A =

(

2 -1

0 2

1 0

)

B₁ =

(

1 0

0 1

)

B₂ =

(

1 0

0 1

)

w₃ =

(

1

0

)

B₁ =

(

0 1 0

0 1 0

1 0 1

)

(

0 0 1 1 0

1 0 1 0 1

0 1 0 1 1

)

(1 0 0 1 0 1 0)

V sp. vett. su C

v₁, ..., v_n, iv₁, ..., iv_m