Teoremi dimostrati Analisi Matematica 1

√2 è irrazionale

Dim: per assurdo :

√2 si può esprimere come frazione m/n e quindi √2 = m/n ∈ ℚ

con m e n ∈ ℤ⁺

m²/n² = 2 → m² = 2n²

m² è pari xkch è = 2 volte un numero → m è pari (vedi sopra il perché).

Ora si arriva ad una contraddizione

m e n sono entrambi pari ma io ho supposto che fossero primi e ridotti ai minimi termini → √2 ∉ ℚ ma ∈ ℐ.

C.V.D.

ℐ è denso in ℝ

∀ a ∈ ℐ t.c. a < n < b con a e b ∈ ℝ

Teorema caratterizzazione sup e inf (8.25)

Sia A totalmente ordinato e sia B ⊆ A sia a₀ ∈ A allora a₀ è l'estremo superiore di B ⇔ ∀ b ∈ B b ≤ a₀

⇔ se a ∈ A e a < a₀ allora ∃ b ∈ B t.c. a < b

Dim:

→ a₀ è estremo superiore di B → a₀ è maggiorante di B e quindi vale ∀

Poi dato che a < a₀, a non è un maggiorante di B xké a₀ è il minimo maggiorante e quindi ∃ b t.c. a < b vale il fatto che B ⊆ A

E dato che A è totale ordinato significa che a < b vale ⇑

← valgono ∀ e ⇑. Allora per ∀ a₀ è un mag...

di B sia ora a un maggiorante di B (supposizione se a fosse a₀. Allora ∃ b ∈ B t.c. a < b (per la ⇑) ma ciò contraddice la supposizione che a sia un maggiorante. Quindi affinché a sia un maggiorante a deve essere > a₀ → a₀ è l'estremo superiore di B ovvero il + piccolo maggiorante.

Considerazioni simili valgono per l'inf.

c.d.

Teorema permanenza del segno

X sp. metrico A ⊂ X x₀ ∈ D(A) f: A → ℝ

Se lim_x→x₀ f(x) = λ e λ > 0 (λ < 0) ⇒ ∃ intorno V di x₀ in X tale che ∀x ∈ (A ∩ V) ⇒ f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0)

Teorema

X sp. metr., A ⊂ X, x ∈ X Allora x ∈ Ā ⇔ ∃ una succ. in A λ.c. x_m →_m→+∞ X

Teorema

X e Y A ⊂ X x₀ ∈ D(A) f: A → Y y₀ ∈ Y

lim_x→x₀ f(x) = y₀ ⇔ ∀ (x_m)_m∈ℕ ∈ A si abbia che x_m → x₀ e f(x_m) → y₀

Limite di vettori

f(x) = (y(x), h(x) ...)

lim_x→x₀ f(x) = (lim_x→x₀ y(x), lim_x→x₀ h(x) ...)

Limite complesso

f: A → ℂ λ ∈ ℂ

lim_x→x₀ f(x) = λ ⇔ { Re f(x) → Re λ Im f(x) → Im λ }

Continuità e Complessi

f: X → C f.e. continua ⇔ Ref: X → ℝ e

Imf: X → ℝ son continue in x₀

Teorema 30.1

A C ℝ f: A → ℝ f monotona e f(A) sia

un intervallo ⇒ f è un intervallo.

Teorema

I intervallo f: I → ℝ continua e

immetta allora f è strettamente monotona

(non ha pianerottoli) e f⁻¹ è continua.

Continuità uniforme

(X, d) e (Y, ρ) sp. metrici, f: X → Y si dice

uniform. cont. se

∀ε ∈ ℝ⁺ ∃δε ∈ ℝ⁺ ; ∀x¹, x²∈X con

d(x¹, x²) ≤δε si ha ρ(f(x¹), f(x²)) ≤ε.

In termini profani; la f non si impenna o

non si abbissa violentemente, c'è una

leggera variazione delle y associata a una

piccola variazione delle x

Uniformemente continua ⇒ continua

(Lipschitziana)

Funzione lipschitziana se ∃ L > 0 t.c.

ρ(f(x¹), f(x²)) ≤ L d(x¹, x²)

Teorema della caratterizzazione dei compatti (I) e teorema di Weierstrass (II)

1. X spazio metrico

K ⊂ XK è compatto → K è limitato e chiuso

2. X spazio metrico compatto, f: X→ℝ continua allora f ha max e min.

Dim: f(X) è compatto poiché se X è compatto lo è anche la sua immagine = f(X) (34.2)Quindi f(X) è limitato per (I) → i suoi estremi sono reali → e appartengono alla frontiera di f(X) e dato che f(X) è chiuso per (I) gli estremi appartengono a f(X) quindi sono max e min.

▲ C’è differenza tra punto di max (min) e max (min)

x₂ e x₁ sono rispettivamente punti di max e minf(x₂) e f(x₁) sono rispettivamente max e min.

Derivate e o piccolo

f derivabile ⇔ ∀ x ∈ A, {x₀} si ha

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

Dimostrazione:

f'(x₀) = lim_x→x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) → (f(x) - f(x₀)) / (x-x₀) = f'(x₀) + o(1)

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

se f è derivabile in x₀ ⇒ f è continua

Dim

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

lim_x→x₀ f(x) = lim_x→x₀ [f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)] = f(x₀) c.v.d.

Def di contatto di ordine n tra 2 funzioni nel punto x₀.

f eg sono derivabili n volte

f(x₀) = g(x₀)

f'(x₀) = g'(x₀)

...

f⁽ⁿ⁾(x₀) = g⁽ⁿ⁾(x₀)

Teorema di Cauchy

Siano f e g: [a,b] → R continue in [a,b] e derivabili in ]a,b[

allora ∃ c ∈ ]a,b[ t.c.

f'(c)/g'(c) = (f(b)-f(a))/ (g(b)-g(a)) o f'(c)(g(b)-g(a)) = g'(c)(f(b)-f(a))

ovvero il rapporto delle derivate rispettivamente f(x) e g(x) calcolate in c sia uguale al rapporto della differenza rispettivamente di f(x) e g(x) calcolate ai loro estremi.

Dimostrazione

Sia φ(x) = f(x)(g(b)-g(a)) - g(x)(f(b)-f(a))

φ è continua x/truffe di funzioni continue e derivabile in ]a,b[

Constatano che φ(a) = φ(b)

φ(a) = f(a)g(b) - f(a)g(a) - g(a)f(b) + g(a)f(a)

φ(b) = f(b)g(b) - f(b)g(a) - g(b)f(b) + g(b)f(a)

Si applica Rolle ⇒ φ continua, φ(a) = φ(b)

⇒ ∃ c t.c. φ'(c) = 0

φ'(c) = f'(c)(g(b)-g(a)) - g'(c)(f(b)-f(a)) = 0

⇒ f'(c)(g(b)-g(a)) = g'(c)(f(b)-f(a))

C.V.D.

TEOREMA DI DARBOUX

I intervallo di R, f: I→R se f ammette primitiva allora f(I) è un intervallo

Dimostrazione:

Siano y₀, y₁ ∈ f(I) e sia y t.c. y₀ < y < y₁ devo dimostrare che y ∈ f(I) ovvero che ∃ c ∈ I t.c. f(c) = y.Poiché y₀ e y₁ ∈ f(I) ⇒ ∃ x₀, e x₁ ∈ I t.c. f(x₁) = y₁ e f(x₀) = y₀

Sia g: I→R e g è primitiva di f ovvero g' = f costruiamo h: I→Rh(x) = g(x) - yx h è continua e derivabileh'(x) = g'(x) - y = f(x) - y

Il mio scopo è dimostrare che esiste a, b ∈ I con a < b t.c. h(a) = h(b) ⇒ a ≠ bTeorema di Rolle si stabilisce che h'(c) = 0f(x) - y = 0 f(x) = y.

Come si dimostra?

h non è monotona perché:h'(x₀) = f(x₀) - y = y₀ - y < 0

h'(x₁) = f(x₁) - y = y₁ - y > 0

⇒ h non è monotona.

ALTRI TEOREM

• f continua f ≥ 0 e ∫_a^b f = 0
• allora f = 0
• f ma {x ∈ [a, b] ; f(x) ≠ 0} FINITO ⇒ f ∈ R_[a,b] e ∫_a^b f = 0
• sia {x ∈ [a, b] ; f(x) ≠ g(x)} FINITO se f ∈ R_[a,b] ⇒ g ∈ R_[a,b] e
• ∫_a^b f = ∫_a^b g
• f ∈ R_[a,b] ⇒ |f | ∈ R_[a,b] e
• |∫_a^b f | ≤ ∫_a^b |f |

SI DICE LOCALMENTE INTEGRABILE

se f : I → R         ∀ J ⊂ I, I compatto

⇒ LIMITATO e CHIUSO, si ha f ∈ R_J

Integrazione per Parti

f, g : [a, b] → ℝ continue e le loro derivate sono continue su [a, b]

∫_a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]_a^b - ∫_a^b f'(x)g(x) dx

Dimostrazione

f(x)g'(x) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x) - f'(x)g(x)

ho sommato e tolto la stessa quantità è lo sviluppo della derivata del prodotto:

f(x)g'(x) + f'(x)g(x) = [f(x)g(x)]'

ora passiamo agli integrali:

∫_a^b f(x)g'(x) = ∫_a^b [f(x)g(x)]' - ∫_a^b f'(x)g(x)

↓

[f(x)g(x)]_a^b si semplifica ∫₀^b d/dx

C.V.D.

Es: ∫₀¹ x e^x dx = [x e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x⋅1 dx

f(x) = x ↔ f'(x) = 1

g(x) = e^x g'(x) = e^x

Es: ∫_a^b x² ln(x) dx = [ln(x)⋅x³/3]_a^b - ∫_a^b 1/x ⋅ x³/3 dx

f(x) = ln(x) ↔ f'(x) = 1/x

g(x) = x³/3 ↔ g'(x) = x²