Teoremi dimostrati Analisi Matematica 1

√2 è irrazionale

Dim: per assurdo:

√2 si può esprimere come frazione q = m/n e

quindi √2 = m/n ∈ Q

con m, n ∈ Z⁺

q² = 2 ⇒ m/n² = 2 ⇒ m² = 2n²

m² è pari xkè è = 2 volte un numero

m è pari un numero pari (2k) elevato alla

seconda è ancora pari 2: 2k

per cui m = 2k xkè è pari con k ∈ Z⁺

m² = 2m² (2k)² = 2m² ⇒ 4k² = 2m² ⇒ 2k² = m²

ma m² è pari perché 2 volte un numero

m è pari (vedi loro _ic peolitk).

Ora si arriva ad una contraddizione

m e n sono entrambi pari ma io ho

supposto che fossero primi e ridotti ai minimi

termini ⇒ √2 ∉ b ma ∈ I.

C.V.D.

Q è denso in R

∃c ∈ I t.c. a < c < b con a, c, b ∈ ℝ

√2 è irrazionale

Dim: per assurdo:

√2 si può esprimere come frazione q = m/n e quindi √2 = m/n ∈ ℚ

con m e n ∈ ℤ⁺

q² = 2 ⇒ m²/n² = 2 ⇒ m² = 2n²

m² è pari xkè è 2 volte un numero ⇒

m è pari un numero pari (2k) elevato alla seconda è ancora pari 2:2k

per cui m = 2k xkè è pari con k ∈ ℤ⁺

m² = 2m² ⇒ (2k)² = 2m² ⇒ 4k² = 2m² ⇒ 2k² = m²

ma m² è pari perchè 2 volte un numero ⇒

m è pari (vedi sopra lo è perciò).

ora si arriva ad una contradizzione

m e n sono entrambi pari ma io ho supposto che fossero primi e ridotti ai minmi termini ⇒ √2 ∉ ℚ ma ∈ I.

C.V.D.

_ℚ è denso in ℝ

∀a ∈ ℝ t.c. a ≤ n ≤ b con a e b ∈ ℝ

Teorema caratterizzazione sup e inf (8.25)

Sia A totalmente ordinato e sia B ⊂ A sia a₀ ∈ A. Allora a₀ è l’estremo superiore di B ↔ ∀b ∈ B b ≤ a₀

↔ se a ∈ A e a < a₀ allora ∃b ∈ B t.c. a < b

Dim:

⇒ a₀ è estremo superiore di B ⇒ a₀ è maggiorante di B e anioni vale ∀

Poi dato che a < a₀, a non è un maggiorante di B xkè a₀ è il minimo maggiorante e quindi ∃b tale che non è vero il fatto che b ≤ a e dato che A è totale ordinato suffico che a < b vale ∃

↔ valgono ∀ e ∃. Allora per ∨ a₀ è un magg. di B sia ora a un maggiorante di B (suppostione se a fosse < a₀. Allora ∃b ∈ E t.c. a < b (per la ∃) ma ciò contraddice la supposizione che a sia un maggiorante) quindi affinché a sia un maggiorante a deve essere ≥ a₀ ⇒ a₀ è l’estremo superiore di B ovvero il + piccolo maggiorante.

Considerazioni simili valgono per l’inf.

c.d.

Famiglia o collezione di insiemi (F)

Insiemi di insiemi

U_A∈F = {x; ∃ A∈F t.c. x ∈A}

∩_A∈F A = {x; ∀ A∈F t.c. x ∈A}

Relazione tra elementi

Ogni sottoinsieme di A×B si indica con R

Restrizione

C ⊆ A f : A → B f|_C : C → B ∪ A

Restrizione di f a C

Relazione di equivalenza:

X insieme R relazione se gode di riflessiva, simmetrica, transitiva.

Ordinamento totale

Se ∀ x, y ∈ A si ha x ≤ y o y ≥ x

Insieme ordinato (totalmente)

Se si ha ordinamento (totale)

Densità (Q è denso in R)

Siano a, b ∈ R con a < b allora ∃ n ∈ Q t.c. a < n < b

Insiemi equipotenti: A ≃ B

• A = Ø e B = Ø A ≃ B
• ∃ f : A ↔ B esiste una f biiettiva.

INSIEME NUMERABILE

se è equipotente a ℕ

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA:

un eq polinomiale

della forma a_nx^m + a_m-1x^m-1 + ... + a₁x + a₀ = 0

ha m radici calcolate con la molteplicità.

SPAZIO METRICO:

X insieme X × X → ℝ (x; y) ∈ X × X

d = distanza, metrica:

∀ (x; y) si ha d(x; y) ≥ 0

d(x; y) = 0 ⇔ x = y

d(x; y) = d(y; x)

d(x; z) ≤ d(x; y) + d(y; z)

d(x; y) = |x - y| si chiama metrica euclidea.

Int(A) è l'insieme dei punti interni.

se ∃ r ∈ ℝ⁺ ; S (x₀, r) ⊆ A

è intorno.

INSIEME APERTO:

A è aperto ⇔ A = Ā

INSIEME CHIUSO

A è chiuso ⇔ X \ A = aperto.

Chiusura di un insieme:

A^- è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A.

A è chiuso &h