Teoremi di Wierstrass dei valori intermedi delle funzioni

Teoremi: di Wierstrass, dei valori intermedi delle funzioni

Enunciamo, senza dimostrare, alcuni teoremi che esprimono proprietà importanti di cui godono le funzioni continue e ne illustriamo graficamente le conseguenze.

Teorema di Weierstrass

Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

Se alcune ipotesi del teorema non sono verificate, il risultato non è più vero come mostrano i seguenti controesempi.

Data la funzione y = f(x) definita nell'intervallo I, chiamiamo:

• Massimo assoluto di f(x), se esiste, il massimo M dei valori assunti dalla funzione in I;
• Minimo assoluto di f(x), se esiste, il minimo m dei valori assunti dalla funzione in I.

• La funzione è continua nell’intervallo limitato aperto ]2; 5]. Essa è priva di massimo e minimo in questo intervallo, in quanto gli estremi non appartengono all’intervallo.
• La funzione non è continua nel punto x = 2. Nell’intervallo [1; 3] essa assume minimo, ma è priva di massimo.
• La funzione è continua nell’intervallo illimitato [1; +∞[. Non vale il teorema di Weierstrass e la funzione è priva di minimo assoluto.