Teoremi di Analisi

DERIVATE

Derivabilità e continuità

Se è derivabile in , allora è continua in . Di conseguenza se una funzione non è continua,

# #

allora non è derivabile. *

) ( )( ) )

() = ( + − + ( − →

è derivabile in se e solo se per .

# # # # # #

)

,($ .+)0,($

! !

lim

La derivata di è , se il limite esiste ed è finito. Per scoprire se una funzione è

+

+→#

lim ′().

derivabile in prima calcolo Se questo limite non esiste allora calcolo il rapporto

# $→$ !

,($)0,($ )

!

lim

incrementale, ovvero e questo limite è la derivata di in . è derivabile in se

# #

$0$

$→$ !

!

.* 0*

( ) ( ).

=

e solo se # #

Esistenza della derivata )

⊂ ℝ, ∈ (), : → ℝ. () = ( +

Sia è derivabile in se e solo se

# # #

* ( )( )

− + ( − ).

# # #

Somma e prodotto

⊂ ℝ, ∈ (), , : → ℝ

Sia derivabili in . Allora:

# #

* *

• ( ( ) ( )

+ + ) = + ′( );

è derivabile in e

# # # #

* *

• ( ( ) ( )(

∗ ∗ ) = ) + ( )′( );

è derivabile in e

# # # # # #

* "

)

! ! ,($

• !

) ( )

( ≠ 0, T U = −

Se allora è derivabile in e .

# # # #

)

, , ,($ !

Funzione inversa * ( )

, ∈ ℝ, : (, ) → ℝ ≠

Sia continua e strettamente monotona. Se è derivabile in e

# #

!

0! 0! * 0!

( ) ( )

0, = ( ) = = ( )′( ),

allora è derivabile in e . Ricordando che

# # # # #

" ($ )

, !

!

0! *

( ) ( ) =

la posso scrivere come .

# " $%

(, ))

, ('

!

Funzione composta

, ⊂ ℝ, : → , : → ℝ, ∈ () ∩ = ( ) ∈ () ∩ .

Sia e Se è

# # #

)

*($ *

( )W

∘ ) = V( ∗ ′( ).

!

derivabile in e è derivabile in , allora

# # # #

Fermat ⊂ ℝ, : → ℝ, ∈ ().

Sia Se è un punto di massimo o minimo locale, allora è

# #

* ( )

= 0.

derivabile in e deve necessariamente essere un punto interno ad affinché il

# # #

teorema sia valido.

Rolle , ∈ ℝ, : [, ] → ℝ [, ] (, ). () = (),

Sia continua in e derivabile in Se allora esiste

* ()

∈ (, ) = 0.

un punto tale che

Lagrange

, ∈ ℝ, : [, ] → ℝ [, ] (, ). ∈

Sia continua in e derivabile in Allora esiste un punto

,())0,(()

* ()

(, ) =

tale che .

)0(

Cauchy , ∈ ℝ, , : [, ] → ℝ [, ] (, ). ∈

Siano continue in e derivabili in Allora esiste un punto

* *

()(() ()

(, ) − ()) = ′()(() − ()). ≠ 0,

tale che Se allora

" (1)

, ,())0,(()

= .

" (1)

2 2())02(()

Massimo e minimo

: → ℝ, ∈ , \{ } .

Sia un intervallo, derivabile in e continua in Allora:

# #

* *

• () ()

≤ 0 ≥ 0

Se in un intorno sinistro di e in un intorno destro di , allora è

# # #

;

un punto di minimo locale per

* *

• () ()

≥ 0 ≤ 0

Se in un intorno sinistro di e in un intorno destro di , allora è

# # #

.

un punto di massimo locale per

Derivate seconde )

, ∈ ℝ, : [, ] → ℝ [, ] (, ). ′( = 0,

Sia continua in e derivabile in Se allora:

#

**

• ( )

≥ 0;

Se è punto di minimo locale, allora

# #

**

• ( )

≤ 0;

se è punto di massimo locale, allora

# #

**

• ( )

> 0,

se allora è punto di minimo locale;

# #

**

• ( )

< 0,

se allora è punto di massimo locale.

# #

De l’Hôpital

, ∈ ℝ, , : (, ) → ℝ (, ).

Siano derivabili in Se valgono:

• lim () = lim () = 0 lim () = ±∞ lim () = ±∞,

o e cioè sono in una forma

& & & &

$→( $→( $→( $→(

indeterminata;

*

• ()

≠ 0 ;

in un intorno destro di

" ($)

, ∗

• lim = ∈ ℝ

Esiste ,

" ($)

2

&

$→(

,($) 0

lim = .

allora Analogo risultato per .

2($)

&

$→(

Differenziabilità )

∈ ℝ ( + ℎ) = ( + ℎ + (ℎ) ℎ → 0.

è differenziabile in se esiste tale che per

# # #

= ′( ).

è derivabile in se e solo se è differenziabile in e

# # #

Taylor (, (,

, ∈ ℝ, : ) → ℝ, ∈ (, ), + 1 )\{ }

Siano derivabile volte in e volte in .

# # #

((&%) (&%

(3)($0$ )

, !

() = () + () () =

Allora ed esiste compreso tra e tale che .

# (4.!)!

Funzioni concave e convesse

: → ℝ,

Sia un intervallo, derivabile due volte. Le seguenti proposizioni sono equivalenti:

• è debolmente convessa

• ′ è debolmente crescente

**

• ≥ 0

Ciò vale in maniera analoga ma con >, cioè:

• è strettamente convessa

• ′ è strettamente crescente

**

• > 0

Retta tangente e funzione convessa

: → ℝ, ∀ ∈

Sia un intervallo, derivabile. Allora è convessa in se e solo se il grafico

#

)), )

( , ( ∀ , ∈ . () ≥ ( + ′( )( −

di è sopra la retta tangente nel punto cioè

# # # # #

)),

). ( , (

è concava se vale che il grafico di è sotto la retta tangente nel punto cioè

# # #

)

∀ , ∈ . () ≤ ( + ′( )( − ).

# # # #

Funzioni convesse e punti angolosi

∈ (), : ℝ → ℝ, \{ }. = { ∈ . < },

Sia un intervallo, derivabile in Siano

# # ! #

= { ∈ . > }. ,

Se è convessa in e e è un punto angoloso per allora è convessa

" # ! " #

0* .*

( )

≤ ( ),

in se e solo se cioè la tangente continua a ruotare nello stesso verso.

# #

INTEGRALI

Continuità

Se è continua o generalmente continua (limitata con un numero finito di punti di discontinuità),

allora è integrabile.

Somma e prodotto ||

, [, ] ∈ ℝ. + , ∗

Siano integrabili su e Allora e sono integrabili e si ha:

) ) )

• ( + )() = () + ()

∫ ∫ ∫

( ( (

) )

• ∗ () = ∗ ()

∫ ∫

( ( ) )

• () ≤ (), () ≤ ()

∫ ∫

Se allora ( (

) )

• | ()| ≤ |()|

∫ ∫

( ( ) 1 )

• < < , () = () + ()

∫ ∫ ∫

Se allora ( ( 1

Media integrabile )

!

: [, ] → ℝ inf () ≤ ∗ () ≤ sup ().

∫

Sia integrabile, allora (

)0(

[(,)] [(,)] )

!

∈ [, ] () = ∗ ()

∫

Se è continua, allora esiste un punto tale che .

(

)0(

Teorema fondamentale del calcolo integrale $

: → ℝ ∈ . () = ()

∫

Sia un intervallo, continua e Allora la funzione è una

(

* ()

, = ().

primitiva di cioè

Torricelli

: → ℝ ∈ . , ∈

Sia un intervallo, continua e Se è una primitiva di su allora esiste un

$ 9

ℝ () = () + ∀ , ∈ () = () − ()

∫ ∫

tale che e vale che .

( :

Estremi variabili 9($)

: → ℝ ⊆ ℝ, , : → () = ()

∫

Sia un intervallo, continua, derivabili. Sia .

:($)

* *

() ()

() = V()W ∗ − V()W ∗ ′().

Allora è derivabile e si ha * ()

() = () = , = ().

In particolare, se costante e si ha

Integrazione per parti !

, : → ℝ, ′

Sia un intervallo, continua e di classe (derivabile una volta). Se è una

, = − ∗ ′.

∫ ∫

primitiva di allora

Integrazione per sostituzione !

, : → ℝ φ: → ,

Siano due intervalli, continua e di classe . Se è una primitiva di

*

∫( ∘ φ) ∗ φ = ∘ φ + .

allora

C