Teoremi della funzione implicita

Teoremi della funzione implicita

Problema: esplicitare in un'equazione del tipo f(x,y) = 0 una variabile

Esempio: x³ - 4 = 0 ⇔ x³ = 4 ⇔ x=3√4

Problema generale

Data f(x,y) = 0 possiamo ricavare y = ψ(x) e/o x =φ(y)? Ovvero: f(x,y) = c (ricavandole ponendo f(x,y) = f(x,y) - c al primo caso). In generale non è sempre possibile ricavare una variabile in funzione dell'altra.

Es. f(x,y) = x² + y² - 1 f(x,y) = 0 x² + y² = 1

Supponendo x₀ > 0, y₀ > 0 posso scrivere localmente in I(x₀) y = ±√1-x². Analogamente in J(y₀) posso scrivere x = ±√1-y². Allora abbiamo esplicitato le variabili localmente. Globalmente non è possibile, ad esempio: y = ±√1-x². Anche localmente non è sempre possibile esprimere una variabile in funzione dell'altra. Ad esempio in I(P₁) posso esplicitare y = 1-x², ma non posso esplicitare la x. Analogamente in I(P₂) posso esplicitare la x ma non la y.

A volte non possiamo esplicitare né l'una né l'altra variabile. Esempio: f(x,y) = 0 ⇔ x² - y² P₀ = (0,0) In I(P₀) non posso esplicitare né x né y.

Primo teorema del Dini (per funzioni a due variabili)

Sia A ⊂ ℝ² aperto e f: A → ℝ f ∈ C¹(A). Sia P₀ = (x₀, y₀) ∈ A / f(x₀, y₀) = c, c ∈ ℝ funzione.

• Se _df/_dy (x₀, y₀) ≠ 0 allora esistono a, b > 0 ed esiste un'unica funzione (ψ: [x₀ - a, x₀ + a]) → (y₀ - b, y₀ + b) x → φ(x) tale che f(x, φ(x)) = c, ∀ x ∈ (x₀ - a, x₀ + a) Inoltre φ ⊂ C¹(I) e φ(x₀) = y₀
• Se _df/_dx (x₀, y₀) ≠ 0 allora esistono a, β > 0 ed esiste un'unica funzione (ψ: [y₀ - β, y₀ + β]) → (x₀ - x, x₀ + x) y → φ(y) tale che f(y, φ(y)) = c, ∀ y ∈ (y₀ - β, y₀ + β) e φ(y₀) = x₀

Oss: se ∇f(x₀, y₀) ≠ (0,0) allora una o entrambe le condizioni del teorema di Dini valgono.

Supponiamo che f ⊂ C¹(A), A aperto, f(x₀, y₀) = c e che _df/_dy (x₀, y₀) ≠ 0, allora per il teorema del Dini posso esplicitare localmente, ovvero per x ∈ I, I = (x₀ - a, x₀ + a) {(x,y) / f(x,y) = c} ∩ {I x J} è: il grafico della funzione y = φ(x). Diciamo che l'equazione f(x,y) = c definisce implicitamente y come funzione di x in un intorno di p₀ (oppure che posso esplicitare la x in funzione della y in un intorno di p₀).

Proprietà

Se A aperto, f: A ⊂ R² → R, f ⊂ C¹(A) sia p₀ = (x₀, y₀) e Af(x₀, y₀) = c con c ∈ R finito.

• Se _df/_dx (x₀, y₀) ≠ 0 e y = ψ(x) è la funzione definita implicitamente da f(x, μ) = c, per (x₀ - a, x₀ + a) allora esiste un o_∝’∝ tale che ψ'(x) = _-(df/dx)(x,ψ(x))_/(_df/dy)(x,ψ(x)), ∀x ∈ (x₀ - a’, x₀ + a’) In particolare, ψ’(x₀) = _-df/dx(p₀)_/df/dy(p₀)
• Se _df/_dx (x₀, y₀) ≠ 0 e x = ξ(y) è la funzione definita implicitamente da f(x,y) = c per y₀ - β, y₀ + β, allora esiste 0_∝’∝β tale che:ψ'(y) = _-df/_dy(u_{1,u1)/df/dx(u1,u1)}, ∀y ∈ (_y0-β,y0+β)

In particolare ψ'(y₀) = _-df/dy(p₀) + _df/dx(p₀)

Dimostrazione

Per il 1^o teorema del Dini: y= ψ(x) / f(x, ψ(x)) = c, ∀x ∈ (x₀-a, x₀+a) e ψ(x)∈C¹ x (x₀-a, x₀)

Deriviamo ambo i membri dell’equazione in (D1). Per il 1^o membro vale la chain rule: d/_dx (f(x, ψ(x))) = d/_df x(x, ψ(x)) .1 + d/_df (x, ψ(x)) . dψ'(x)

Derivo il 2^o membro di dx c=0, ∀x ∈ (x₀-a, x₀+a) → d_f/_dx(x, ψ(x)) + d/_df(x, ψ(x)) . ψ’(x) = 0 (D2)

Per ipotesi _df/_dy (x₀, ψ(x)) ≠ 0 avevo _df (x₀, ψ(x)) ≠ 0 perché quindi f(x,e) e ψ(e di domne c= c¹ e salto x₀-a, x₀+a), allora per il teorema di permanenza del segno ∃{a’ 0_∝’∝a] tale che _df/_dx (x₀, ψ(x)) ≠ 0 ∀x ∈ (x₀-a, x₀+a). Questo ci permette di dividere entrambi i membri di (D2) per _df/_dx (x, ψ(x)) ottenendo, ∀∈ (₀−₁′, ₀+₁′)

Osserviamo che la curva definita localmente in un intorno di ₀ da (,())= o =() ha forma parametrica: { = =() ed ha retta tg ′()=(1,′()) ⟂ ∇(₀,₀) per =₀ per l'equazione ∇(₀,₀)⋅(1,′(₀))=0

Secondo teorema di Dini

Sia ⊆ℝ³ aperto, ∈¹() Sia P₀=(₀,₀,₀)∈ tale che (₀,₀,₀)= con c∈ℝ finab.(P₀∈= {(,,)∈ │(,,)=)} superficie di livello c).

1. Se (₀)≠0 allora esistono ,,⟩0 ed esiste un'unica funzione ℎ₁: (₀−,₀+)×(₀−,₀+) ⟶(₀−,₀+) tale che ((,,ℎ₁(,))= ∀(,)∈(₀−,₀+)×(₀−,₀+) ℎ₁ è di classe ¹ su × e si ha ℎ₁(₀,₀)=₀ e ∇(₀,₀,₀)⋅
2. Se (P₀)≠0 allora ,,⟩0 ed è un'unica: (₀−,₀+)×(₀−,₀+)/(₀−,₀+)/ tale che (,,)=,∀((,)∈×)

La funzione è di classe ¹ su × ed ℎ (ℓ(,₀)=₀ e vale ∇(₀,₀,₀)=

Osservazione

Se _P(P₀) ≠ (0,0,0) allora una delle 3 conclusioni precedenti vale e dunque l'equazione Ɣ (x,y,z)  definisce in forma implicita in un intorno di P una superficie del tipo z=h (x,y) oppure y=g (x,z) oppure x=f (y,z). Dunque, forma esplicita localmente una variabile in funzione delle altre due.

Proprietà

Se A  R³ aperto, f  C¹ (A), f: A  R, P₀: (x₀, y₀, z₀) ∈ A / f (x₀, y₀, z₀) = c. Se ∇f (P₀) ≠ 0 l'equazione Ɣ (x,y,z) = c rappresenta localmente in un intorno di P₀ una superficie regolare e il cui piano tangente in P₀ è dato da:

π: dx f (P₀) (x-x₀) + dy f (P₀) (y-y₀) + dz f (P₀) = 0 (D1)

Equivalentemente ∇f (P₀), (P-P₀) = 0, P: (x,y,z)

Dimostrazione

Le ipotesi del 2° teorema del Dini sono verificate. Supponiamo dz f (P₀) ≠ 0, allora esiste un'unica funzione h :IJK ⤐ H(x₀, y₀, z₀): {f (x, y, h (x,y)) = c 。∀(x,y) ∈ IJ}. In cl_class (IJK) ed è una superficie cartesiana: z = h_1 (x,y), quindi è una superficie regolare e h ammette piano tangente:

z = z₀ + dx h (x₀, y₀) (x-x₀) + dy h (x₀, y₀) (y-y₀) con z₀ = h₁(x₀, y₀).

Quindi per la formula (D3): z=z₀ - (x-x₀) - dx h (x-x₀)

Conseguenza dei Dini

Def: Ɣ f: A → R, A aperto f  C¹ (A), _C∈ A l'equazione Ɣ (x,y,z) definisce una superficie regolare _∈ A.