Teoremi con dimostrazione - seconda parte analisi 1

Il teorema del Lagrange e il resto secondo il Lagrange

¥Ks' ! "gigagecnfa) →seTORNANDO consideratolimiteALftp.TRF#fuggo IPOTESI Induzione→µ iIn -x.-oHxoIII. oe-i( n-)×X" - . LAGRANGERESTO SecondoIl del Lagrange citeorema secondorestoapplicandopermette piùipotesi restrittive, ,l'descrivere 'di modo accurato errorein piufunzione approssimatavienecon cui una Rf ACIRsia →: IN* → b)fab)(1) aIPOTESI ea Exo= , ,Cna (a)f2) EIPOTESIftp.tnfy.fntfqq-xyntta#HbT)Ho70 tec-tesi x: , !)enticalcolocuipunto inl' approssimazione_N dell'' origineINTORNOdell vale"mi" of xpA.f -=È )(infatti ' dinell 0 0,0 potenzeintorno, ,ad trascurabiliesponente sonomaggioreadrispetto esponentepotenzeaminoreDimostrazione funzioni ausiliarieconsidero due→ "" (a)ftp.tn regolaritàgec→g e= )nota( IRWH )) c'x × we→= - .di Tnfx)gfx ) dicontattoUNHANNOe→ tugordine Xoinn O=-derrate funzionicalcolando 2le delle Xo→

in:gnlx.to' g→gg == = . . . eranoIn !f) )wnt (' ntr= larisanando tesi→ "ftp..TN !)( nts.FI#igIwHginnico))Trix)µ - Èdiper contattoil→ puntoghignoIII. wlx) Ow →- Congper teorema di→ il t.c.gg#-=8H-9HwH-wcxsrelax )procedendo iterazioniperrecante I1alla iterazionent esima- t.fm#( (d)) gnt70 'tXoC- Xn c-, !( )ntsTEOREMA Fondamentale delINTEGRALECALCOLOb)fa IRagsia →: = , gel+ → fa b))1) GG fIPOTESI diPRIMITIVAsia su ,DEFINIZIONE txcfaib)' µE =cit flat=alla (b)=p)gfx2) Riemann IntegrabileIPOTESI da -DEFINIZIONEIÌ tapasGillifara -feritolimite dallaindipendenteNB → dalla deipartizione scelta cie (a))Glba)fazione c'cififamositest ti: -- =-DIMOSTRAZIONE ft)Gh alto)ala altri=- - be tntoa-TERMINISOTTRAGGOsommo INTERMEDIE→ Itaffete # ah-a)2ft )Gfto)afta) talentato 2Nvalore+ =--È a)Gfti) alti èG PRIMITIVA derivabile= →- . ÈG CONTINUA→ DERIVABILE b)fal'

intervallotutto ein ,neidi conseguenza )sottentranti ti -1, sdtoirleredhaiLAGRANGEdiApplico→ TEOREMAil70 ' ftp.Gfti-sfti-ti-Detti a) t.catii =-,l'quindi dellaargomento sommatoria :a)(d)ftiGaia) G'alti) ti- = - --=gpiÈe %FfIEI.ioRiemann idareici puntisono daldefiniti teoremaLagrangedit.GG/=%9CaXti-tif=snINTEGRALEVALORTEOREMA MEDIOtgActgsia : 1) è l'ha il ingIPOTESI f limitata xp e→ .RIEMANN INTEGRABILEl -VMZtesi )gf: = DX' MVMIPROPRIETA 1 e→ nn ela b))glx M Axe eme- ,agli integratipassando- Ibm ] ]dx ne ea %mila !mlddx ee % a)a)mlb (b-Mdxe- e- ]meb.at A) dxemMMIVE Em 2) èµ'PROPRIETA continua ilse: ,MI assunto✓ almenovienepuntouninÈf valeCONTINUA WIERSTRASSse → µesistonoquindi mevale barboni→ b)ZXE (t.cme ,ge ) n← e-MI✓I° FONDAMENTALETEOREMACALCOLO INTEGRALE"I FORMULAZIONE :f AEIR -7ITLsia : gff+ →faA) b)IPOTESI a = ,2) ha)gft ingIPOTESI limitata xp→ egft)

ricorsivaDEFINITIVAtale M→ .MdopoE)(• anta Lt<Mtz 2( E)E)( Lt Anas LtL• antalMtb E)( nAnte Lt• Mtntsltesta dapartireala partenzadiM serie con :, ÈÈbn n)Ilte⇐ dipende da nnon digeometricaSerie LALt Eragione :CONVERGEOpplicordo del confrontoteoremail ,brche anchededuco CONVERGECRITERIO CONFRONTOdelÈÌonedate ebreotbn cara o- . tn oppure- )definitiva(metra- 7nsdefinitivamente Maarabae 1ÈÈ bnDIVERGE DIVERGETESI se an: , 2to+ co AMCONVERGEIbn 2 CONVERGEse , NN ==Dimostrazione BNÌIIÈAN bnsia - an eI a- 50 :È significa fugganochedivergese an ,definizione di limiteper :@(d) (a)Abr amate tn BrANE④Hrbnare > 0@ MrMIterminiSommando dopoi eN£ Ibnean R =R =- BNAN e- BNan erema (d) Brad7msquindi Ma BNEtbr tu >BN parzialisuccessione somme→ DIVERGE bn diverge"TL CASOÈ BNbn buon BN =LCONVERGEse := maf) 7ms Mat.c.tnABE BeBNE>inoltre strettamentemonotoneBNAN e- crescertiAntares

definitivamenteAnta posato=- Arts s AN èAN CONVERGE→ successioneuna→ strettamentemonotona Lcrescente LIMITATA DABN LA- ENEdi È ANdon convergachedetto 2limiteSTESSOAllo ÷:MaDELLÀRADICETCRITERIOÈ termini positivisia seriean una ase # L L opjeelaseghfml.GL>fa1