Teorema "Zeri di funzione" e teorema di "Weierstrass" - Analisi matematica

Dimostrazione

Se abbiamo terminato la dimostrazione, $(f(c)) = 0$. Se consideriamo il sottointervallo $[a, b]$ in cui $f(c) \neq 0$, continua a valere che agli estremi la funzione assume valori di segno discorde. Il valore può essere positivo o negativo. Avremo quindi due sottointervalli: $[a, c]$ e $[c, b]$. Dobbiamo considerare quello che ha gli estremi di segno discorde (in base al valore assunto da $f(c)$).

Chiamiamo questo sottointervallo $[a, b_1]$. Prendiamo il punto medio di questo intervallo: $c_1 = \frac{a + b_1}{2}$. Di nuovo, se abbiamo terminato la dimostrazione, $(f(c_1)) = 0$. Se consideriamo il sottointervallo $[a, b_1]$ in cui $f(c_1) \neq 0$, definiamo in cui la funzione assume valori di segno discorde agli estremi.

Andando avanti in questo modo, costruiamo una successione di intervalli che otteniamo ogni volta dimezzando l'ampiezza dell'intervallo precedente e costruendo un nuovo intervallo in cui $(f(a))(f(b)) < 0$. Osserviamo come l'estremo possa

spostarsi soltantoa nverso destra e l'estremo possa spostarsi soltanto versob nsinistra e inoltre, ovviamente, .<ba n nQuindi avremo: .<ba ≤ a ≤ a ≤ a ≤ b ≤b ≤ b1 2 n n 2 1Le due successioni sono entrambe limitate ea e bn nmonotone (rispettivamente monotona crescente emonotona decrescente).∃ ∈ ∃ ∈=x =xlim a R lim a RQuindi, e (per il teorema).n 0 n 1n →+∞ n →+∞ −alim b +1n n−1Osserviamo che n →+ ∞( )− = −a =lim b lim a lim bn n n n 2n →+∞ n →+∞ n →+∞lim b−a , quindi significa che . Nota che ( )=x −ax bn →+∞¿ =0 1 0 n nn2corrisponde all'ampiezza dell'intervallo .[ ]a , bOgni intervallo si ottiene dimezzando il precedente.Vogliamo dimostrare adesso che è il valore tale chex 0.( ) =0f x 0Notiamo che è continua e , quindi( ) ∀<0f a nf n( )( ) ( ) (ipotesi di continuità).=f

flim f a lim a x ≤ 0n n 0n →+∞ n →+∞

Analogamente, dato che ,( ) ∀>0f b nn( )( ) ( ) . Allora, se deve essere sia=f =flim f b lim b x ≥ 0 ( )f xn n 0 0n →+∞ n →+∞che , allora .( ) ( ) ( ) =0f x ≥ 0 f x ≤ 0 f x0 0 0 □

Ricorda: le ipotesi del teorema sono tutte essenziali per poter concludere con certezza che la funzione ammette un zero nell’intervallo.

Inoltre, le ipotesi sono sufficienti a garantire l’esistenza di tale che ma non necessarie (esistono( ) =0f x( )∈x a , b 00funzioni che nonostante non verifichino le ipotesi, hanno punti in cui si annullano).

Corollario:

Siano due funzioni continue.[ ]f , g : a , b → R

Se e (o viceversa), allora tale che( )∃( )> ( ) ( )< ( ) x a ,bf a g a f b g b 0.( ) ( )=gf x x0 0

Teorema dei valori intermedi

Sia un intervallo (non necessariamente chiuso e illimitato) e sia continua in . Allora assume inf : I → R I ftutti valori compresi tra e , con

Corollario: Sia un intervallo e sia continua in$\subseteq I\; R\; f\; :\; I\; \to \; R$. Allora l’immagine è un intervallo (l’ipotesi di( )I f Icontinuità e l’ipotesi di intervallo sono entrambeessenziali).

Se una funzione è continua in un intervallo, la monotoniastretta e l’invertibilità sono equivalenti (una funzionestrettamente monotona è invertibile).

Teorema sulla monotonia e invertibilità

Sia un intervallo e sia continua ed invertibile.$\subseteq I\; R\; f\; :\; I\; \to \; R$

Allora è strettamente monotona in $f\; I$.

Grazie a questo teorema possiamo affermare che, se, con intervallo , è una funzione continua, alloraf : I → R Iè invertibile in e è strettamente monotona in $f\; I\; f\; I$.