Teorema "Zeri di funzione" e teorema di "Weierstrass" - Analisi matematica

Teoremi per le funzioni continue

Teorema degli zeri

Definizione

Sia una funzione continua \( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) e siano \( f(a) < 0 \) e \( f(b) > 0 \). Allora, ammette almeno uno zero in \( (a, b) \); cioè, \(\exists x \in (a, b)\) tale che \( f(x) = 0 \).

Nota: L’ipotesi significa che agli estremi dell’intervallo \( [a, b] \) la funzione assume valori di segno discorde (funzione definita in un intervallo chiuso).

Dimostrazione

Supponiamo che \( f(a) < 0 \) e \( f(b) > 0 \). Prendiamo il punto medio dell’intervallo \( [a, b] \): \( c_0 = \frac{a+b}{2} \). Se \( f(c_0) = 0 \), abbiamo terminato la dimostrazione.

Se consideriamo il sottointervallo di \( [a, b] \) in cui \( f(c_0) \neq 0 \), continua a valere che agli estremi la funzione assume valori di segno discorde. Il valore di \( f(c_0) \) può essere positivo o negativo. Avremo quindi due sottointervalli: \( [a, c_0] \) e \( [c_0, b] \). Dobbiamo considerare quello che ha gli estremi di segno discorde (in base al valore assunto da \( f(c_0) \)). Chiamiamo questo sottointervallo \( [a_1, b_1] \).

Prendiamo il punto medio di questo intervallo: \( c_1 = \frac{a_1+b_1}{2} \). Di nuovo, se \( f(c_1) = 0 \), abbiamo terminato la dimostrazione.

Se consideriamo il sottointervallo di \( [a_1, b_1] \) in cui \( f(c_1) \neq 0 \), definiamo un nuovo intervallo in cui la funzione assume valori di segno discorde agli estremi. Andando avanti in questo modo, costruiamo una successione di intervalli \( [a_n, b_n] \) ottenuti dimezzando l’ampiezza dell’intervallo precedente e costruendo un nuovo intervallo in cui \( f(a_n) \cdot f(b_n) < 0 \).

Osserviamo come l’estremo \( a_n \) possa spostarsi soltanto verso destra e l’estremo \( b_n \) possa spostarsi soltanto verso sinistra e inoltre, ovviamente, \( a_n < b_n \). Quindi avremo: \( a \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n \leq b_n \leq \ldots \leq b_2 \leq b_1 \leq b \).

Le due successioni sono entrambe limitate e monotone (rispettivamente monotona crescente e monotona decrescente).

Quindi, \( \exists \lim_{n \to +\infty} a_n = x \in \mathbb{R} \) e \( \exists \lim_{n \to +\infty} b_n = x \in \mathbb{R} \) (per il teorema).

Osserviamo che \( \lim_{n \to +\infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \to +\infty} b_n - \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \).