Teorema fondamentale del calcolo integrale con esempi

2) Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Data f continua in [a, b], si dice funzione integrale di f in [a, b] la funzione:

Funz. integrale di F in [a, x]

F(x) = ∫_a^x f(t) dt

Enunciato

Se f è continua in [a, b] e F è la sua funzione integrale in [a, b], allora:

1. F è derivabile e risulta F'(x) = f(x), dunque F è la primitiva di f
2. ∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

G è una qualsiasi primitiva di f

Formula Fondamentale del Calcolo Integrale

Dim.

1. Poiché F è derivabile, calcoliamo il lim del rapp. incrementale

lim_h→0 (F(x+h) - F(x))/h

= lim_h→0 1/h (∫_x^x+h f(t) dt - ∫_x f(t) dt) =

2) Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Data f continua in [a, b], si dice funzione integrale di f in [a, b] la funzione:

F(x) = ∫_a^xf(t) dt

Enunciato

Se f è continua in [a, b] e F è la sua funzione integrale in [a, b], allora:

1. F è derivabile e risulta F'(x) = f(x), quindi F è una primitiva di f
2. ∫_a^bf(x) dx = G(b) - G(a)

G è una qualsiasi primitiva di f

Dimostrazione

1. Poiché F è derivabile, calcoliamo il lim del rapporto incrementale

lim_h→0 (F(x+h) - F(x))/h = lim_h→0 (1/h( ∫_a^x+hf(t) dt - ∫_a^xf(t) dt )) =

Per l'additività degli integrali definiti:

= ^lim_h→0 ¹/_h (^x+h∫_α f(t) dt + ^b∫_x+h f(t) dt - ^b∫_α f(t) dt)

=

= ^lim_h→0 ¹/_h ^x+h∫_x f(t) dt

Per il Teorema della media integrale ∃ c ∈ [x, x+h] t.c.

^x+h∫_x f(t) dt = f(c) (x+h-x)

Allora: ^lim_h→0 ¹/_h · f(c) (h) = ^lim_h→0 f(c) = f(x)

Abbiamo dimostrato che F è derivabile e F'(x) = f(x)

Sia G una primitiva di f

Calcoliamo G(b): = F(b) + c = ^b∫_α f(t) dt + c

Calcoliamo G(a): = F(a) + c = ^a∫_α f(t) dt + c = c

Calcoliamo G(b) - G(a) := ^b∫_a f(t) dt + ℓ - ℓ

NOTAZIONE:

^b∫_a f(x) dx = G(b) - G(a) = [_a^G(x)]