Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, b], la funzione F(x) = ∫_a^xf(t) dt è derivabile e la derivata vale F'(x) = f(x).

L'integrale è stato definito usando la variabile di integrazione t per non confonderci con l'estremo di integrazione che è x.

Vogliamo dimostrare che la derivata dell'integrale è la funzione di partenza.

Quindi iniziamo con scrivere il rapporto incrementale della funzione F(x) che è:

1. F(x+h) - F(x)

Allora F(x+h) = ∫_a^x+h f(t) dt.

Sostituendo ciò nella relazione di rapporto incrementale ottengo:

1. (1/h) [∫_a^x+h f(t) dt - ∫_a^x f(t) dt]

viene portato fuori dal segno di integrale poiché è una costante.

Per le proprietà di additività dell'integrale possiamo spezzare ∫_x^x+h f(t) dt ed ottenere infine:

1. (1/h) [∫_x^x+h f(t) dt]

Possiamo elidere i due integrali poiché sono di segno opposto.