Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, b]. La funzione F(x) = ∫_a^xf(t) dt è derivabile e la derivata vale F'(x) = f(x).

L'integrale è stato definito usando la variabile di integrazione t per non confonderla con l'estremo di integrazione che è x.

Vogliamo dimostrare che le derivate dell'integrale è la funzione di partenza. Quindi iniziamo col scrivere il rapporto incrementale della funzione F(x) che è:

^{F(x+h) - F(x)} / _h, sappiamo che F(x) = ∫_a^xf(t) dt

Allora F(x+h) = ∫_a^x+hf(t) dt

Sostituendo ciò alla relazione di rapporto incrementale ottengo: ¹ / _h [ ∫_a^x+hf(t) dt - ∫_a^xf(t) dt ]

Per le proprietà di additività dell'integrale possiamo scomporre ∫_x^x+h f(t) dt ed ottenere infine:

¹ / _h [ ∫_x^x+h f(t) dt + ∫_a^x+h f(t) dt - ∫_a^x f(t) dt ]

Possiamo elidere i due integrali perché sono di segno opposto. Per cui avrò ¹ / _h [ ∫_x^x+h f(t) dt ]

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, b], la funzione F(x) = ∫_a^x f(t) dt è derivabile e la derivata vale F'(x) = f(x).

L'integrale è stato definito usando la variabile di integrazione t per non confonderla con l'estremo di integrazione che è X.

Vogliamo dimostrare che la derivata dell'integrale è la funzione di partenza. Quindi iniziamo col scrivere il rapporto incrementale della funzione F(x) che è:

^{F(x+h) - F(x)} / _h, sappiamo che F(x) = ∫_a^x f(t) dt

Allora F(x+h) = ∫_a^x+h f(t) dt

Sostituendo ciò nella relazione di rapporto incrementale ottengo: ¹ / _h [ ∫_a^x+h f(t) dt - ∫_a^x f(t) dt ]

Per le proprietà di additività dell'integrale possiamo scomporre ∫_x^x+h f(t) dt ed ottenere infine:

¹ / _h [ ∫_x^x+h f(t) dt + ∫_a^x+h f(t) dt - ∫_a^x f(t) dt ]

Possiamo elidere i due integrali poiché sono di segno opposto. Per cui avrò ¹ / _h [ ∫_x^x+h f(t) dt ]