Teorema del Dini
Sia f: D → ℝ, sia D aperto e regolare, D ⊆ ℝ2. Regolare significa ∂D = {gi(x, y) = 0} con gi ∈ C1(∂D). È l'insieme di punti dove la funzione vale 0. ∃ A ∋ ∂D con A aperto e gi ∈ C1(A).
Sia P0 = (x0, y0) ∈ ∂D tale che ∇g(x0, y0) ≠ (0,0). Allora ∂D è una curva vicino a P0, cioè: ∃ δ > 0 tale che ∂D ∩ Iδ(P0) è una curva.
Dimostrazione
Siccome per ipotesi il gradiente di g ≠ 0, ∇g(P0) ≠ (0,0), quindi:
( gx(x0, y0) gy(x0, y0) ) ≠ ( 0 0 )
Allora sicuramente una delle due derivate parziali deve essere ≠ 0. Consideriamo il caso gy(x0, y0) ≠ 0. Poiché diversa da 0, la derivata parziale può essere:
- gy(x0, y0) > 0
- oppure
- gy(x0, y0) < 0
Teorema del Dini
Sia f: D → ℝ, sia D aperto e regolare, D ⊆ ℝ2. Regolare significa ∂D = {q(x, y) = 0 | q ∈ C1(∂D)}. È l'insieme di punti dove la funzione vale 0. ∃ A ⊂ D, A aperto e q ∈ C1(A).
Sia P0 = (x0, y0) ∈ ∂D tale che ∇q(x0, y0) ≠ (0, 0). Allora ∂D è una curva vicino a P0, cioè: ∃ δ > 0 tale che ∂D ∩ Iδ(P0) è una curva.
Dimostrazione
Siccome per ipotesi: gradiente di q ≠ 0, ∇ q(P0) ≠ (0, 0), quindi:
\[\begin{pmatrix} q_x (x0, y0) \\ q_y (x0, y0) \end{pmatrix}\] ≠ \[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Allora sicuramente una delle due derivate parziali deve essere ≠ 0. Consideriamo il caso qy(x0, y0) ≠ 0. Poiché diversa da 0, la derivata parziale può essere:
- qy(x0, y0) > 0
- oppure
- qy(x0, y0) < 0
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![Funzioni implicite: Teorema del Dini]()
Funzioni implicite: Teorema del Dini
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Teorema, Pasolini
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Teorema di Inversione locale
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Teorema di Gauss Green
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