Teorema del differenziale totale

Teorema del Differenziale Totale

Sia f: D → ℝ | D ⊆ ℝ² | D aperto

Se f ∈ C¹(D) (esistono e sono continue le derivate parziali)

Allora f è differenziabile in D

Dimostrazione:

Sia p₀ = (x₀, y₀) ∈ D

Dobbiamo dimostrare che:

       lim

       (_h1, h₂) → (0,0)

       f(x₀ + θh₁, y₀ + θh₂) - f(x₀, y₀) - f_x (x₀, y₀ ) h₁ - f_y (x₀, y₀ ) h₂

        ÷ √(h₁² + h₂²)

Osserviamo graficamente:

Effettuiamo l’incremento in 2 direzioni, uno su x, uno su y.

Aggiungiamo e sottraiamo la stessa quantità:

  lim

  (_h1, h₂) → (0,0)

[f(x₀ + θh₁, y₀ + θh₂) - f(x₀ + θh₁, y₀)] + [f(x₀ + θh₁, y₀) - f(x₀, y₀)] - f_x (x₀, y₀) h₁ - f_y (x₀, y₀) h₂

        ÷ √(h₁² + h₂²)

Se consideriamo f(x₀ + θh₁, y₀ + θh₂) - f(x₀ + θh₁, y₀) ci ricorda la derivata parziale in y poiché x₀ + θh₁ è fissato. Applichiamo Lagrange:

_{f(b) - f(a)}---------

(b-a) = f' (c)  ⇒  f(b) - f(a) = f' (c) (b-a)

Se consideriamo f(x₀ + θh₁, y₀) - f(x₀, y₀) ricorda la derivata parziale in x poiché y₀ è fissato.

  lim

( h₁, h₂ ) → (0,0)

f_y (x₀ + θh₁, λ) h₂ + f_x (p₁, y₀) h₁ - f_x (x₀, y₀) h₁ - f_y (x₁, y₀) h₂

            ÷ √(h₁² + h₂²)

Poiché per ipotesi ha derivate parziali continue possiamo mettere in evidenza:

  lim

( h₁, h₂ ) → (0,0)

[ f_X(p₁, y₀) - f_X(x₁, y₀) ] ÷ √(h₁² + h₂²) + [ f_y (x₀ + θh₂, λ) − f_y (x₁, y₀) ] ⋅ h₂ ÷ √(h₁² + h₂²) = 0

Che è uguale a 0. Perché?

Teorema del Differenziale Totale

Sia f: D→ℝ | D⊆ℝ², D Aperto

Se f ∈ C¹(D) (esistono e sono continue le derivate parziali)

Allora f è Differenziabile in D

Dimostrazione:

Sia P_o = (x_o, y_o) ∈ D

Dobbiamo Dimostrare che:

_{(h1, h2)→(0,0)} lim f ( x o + h 1 , y o + h 2 ) - f ( x o , y o ) - f x ( x o , y o ) h 1 - f y ( x o , y o ) h 2 h 1 2 + h 2 2 = 0

Guardiamolo graficamente:

EffeTuiamo l'incremento in 2 direzioni, uno su x, uno su y.

Aggiungiamo e sostruiamo la stessa quantità:

_{(h1, h2)→(0,0)} lim [ f ( x o + h 1 , y o + h 2 ) - f ( x o + h 1 , y o ) + f ( x o + h 1 , y o ) - f ( x o , y o ) - f x ( x o , y o ) h 1 - f y ( x o , y o ) h 2 ] h 1 2 + h 2 2 = 0

Se consideriamo f(x_o+h₁, y_o+h₂) - f(x_o+h₁, y_o) ciò mi ricorda la derivata parziale in y poiché x_o+h₁ è fissato. Applichiamo Lagrange:

f ( b ) - f ( a ) ( b - a ) = f ' ( c ) ⇒   f ( b ) - f ( a ) = f ' ( c ) ( b - a )

Se consideriamo f(x_o+h₁, y_o) - f(x_o, y_o) ricorda la derivata parziale in x poiché y_o è fissato.

_{(h1, h2)→(0,0)} lim [ [ f y ( p o , λ ) h 2 + f x ( p 1 ) h 1 - f x ( x o , y o ) h 1 - f y ( x o , y o ) h 2 ] h 1 2 + h 2 2 = 0 poiché per ipotesi ha derivate parziali continue, possiamo mettere in evidenza:

_{(h1, h2)→(0,0)} lim f x ( p y ) - f x ( x o , y o ) [ | h 1 2 + h 2 2

Che è uguale a 0. Perché?