Teorema di Gauss e Potenziale Elettrostatico

Flusso di un vettore

dϕ_ds(v) = v ⋅ m̂ dsϕ_S(v) = ∫ v ⋅ m̂ ds

Angolo piano

dϑ = dℓ_⊥2 ⋅ m̂

Angolo solido

dΩ = ds_r² ⋅ r̂ ⋅ m̂

Teorema di Gauss

Applicando le definizione di flusso, dove al posto di v inseriamo il vettore E otteniamo il teorema di Gauss. Si ricorda che le superficie è chiusa.

Se Q è interna:

ϕ_S(E⋅) = ∫_S E⋅ m̂ ds = ∫_S ¹/_4πε₀ q_r² r̂ ⋅ m̂ ds = ^q/_4πε₀ ∫_S ^r̂/_r² ⋅ m̂ ds= ^q/_4πε₀ ∫_S dΩ = ^q/_4πε₀ 4π = ^q/_ε₀

ϕ_S(E⋅) = ^Q_int/_ε₀

Se Q è esterna:

ϕ_S(E⋅) = ∫_S E⋅ m̂ ds = ^q/_4πε₀ ∫_S ^r̂/_r²⋅ m̂ ds = ^{[q_EST/_4πε₀] [∫₁ r̂/_r²⋅m̂ ds + ∫₂ r̂/_r²⋅ m̂ ds]}= 0

Flusso di un vettore

d_S ↓_n̂⃗ dS_S ^(↓) = ∫ ^↓n̂ ds

Angolo piano

df = ^dl↓ ^̂n

Angolo solido

d = ^ds_r²n̂^̇⃗

Teorema di Gauss

Applicando le definizioni di flusso, dove al posto di ↓ inserire il vettore E↓ otteniamo il Teorema di Gauss. Si ricorda che la superficie è chiusa.

Se Q è interna:

_S ^(E↓) = ∮_S E↓n̂ ds = ∮_S ^{(1/4πE_O) (q/r2) n̂} ds = ^q/_4πEO ∮ _S ^{r̂ ⋅ n̂} ds= ^q/_4πEO ∮_S d =^q/_4πEO 4π =^q/_EO

_S ^(E↓) = ^q_INT/_EO

Se Q è esterna:

_S ^(E↓) =∫_S E↓n̂ ds= ^q/_4πEO ∫_S ^r̂/_r² n̂ ds = [^q_EST/_4πEO ∫₁ ^{r̂ ⋅ n̂}/_r² ds] + [^q_EST/_4πEO ∫₂ ^{r̂ ⋅ n̂}/_r² ds]= 0

Esercizio 1

• q₁ = 3μC
• q₂ = -2μC
• q₃ = 5μC
• q₄ = -4μC

Il campo elettrico totale è dato dalla somma di tutti i campi elettrici: Dunque il flusso di Φ ( ) su S : Φ_S() =

Esercizio 2

Spesso il teorema di Gauss può tornare utile per ricavare il campo elettrico. Immaginiamo di avere un filo carico uniformemente con densità di carica λ. Supponiamo di racchiudere la carica all'interno di una superficie di Gauss. Lungo l'asse x è tutto simmetrico e quindi Ex=0. Il flusso totale è dato dalla somma dei flussi che attraversano tutte le superfici.

ϕ_Stot = ϕ_Slat + ϕ_SBase1 + ϕ_SBase2

ϕ(E) = ∫_slat E^→ n^→ ds = ∫_lat E(r) τ^→ _m^→ ds = E(r) 2π r h

Dalle varie note con facilità che lungo le superfici di base i vettori E^→ ed n^→ sono tra loro perpendicolari; il trattamento di un prodotto scalare loro fornisce dunque 0. E^→ ∙ n^→ = 0

ϕ_Base (E^→) = ∫E^→ n^→ ds = E(r) τ^→ m^→ ds

Infine ϕ_Schlusa = ϕ_Lat + ϕ_Base1 + ϕ_Base2 = E(r) 2π rh = _qint⁄_ε0

Le cariche che si distribuisce lungo il filo, ovvero lungo l'altezza del cilindro è definita come: q_int = λ l

Sostituendo: E(r) = _{λ l}⁄_{2π r ε0 l} = ₁⁄_ε0 = _λ⁄_{2π ε0 r}

Esempio 3

30/09/2016 6 > 0

E_z = $\frac{6}{\varepsilon_0}$ lo scopo rimane sempre quello di costruire una superficie che sia // o ⟂ ad E^→, e che naturalmente sia chiusa, affinché valga il Teorema di Gauss. Anche in questo caso E^→ ha solo componente verticale

φ_chuosa = ∫_S1 E^→ m̂ ds + ∫_S2 E^→ m̂ ds + ∫_SL E^→ m̂ ds= 0 → E₁ = E₂(⊥)(φ_n m̂ ⟂ E^→)

E = E(l₂)_S1 + E(l₂)_S2 = 0 = 2 E(l_z) S q_int = 6 S → 2 E(l_t) S = $\frac{6 S}{\varepsilon_0}$E(l_t) = $\frac{6}{2\varepsilon_0}$

Esempio 4

dq = ρ dτρ(_r⃗^b) = ρ   Omogeneo

ρ(_r⃗^b) ⁡ ⁡ ρ   se   0 ≤ r ≤ R          0   se   r > R

E(_r⃗) = E(r) n̂

φ(E_Schiuma) = ∫_Schiuma E n̂ ds = ∫_Schiuma E(n) n̂ n̂ ds = ∫_Schiuma E(n) ds = = E(r) ∫_Schiuma ds = E(r) 4π r²

φ_Schiuma(E^r) = E(r) 4π r² = q_int / ε₀r R   E(r) 4 π r² = ρ 4/₃ π R³ / ε₀   ⇒   E(r) = ρ R³ / 3 ε₀ r²

Divergenza di un vettore

div ∇^**v** (x,y,z) = V_x (x,y,z)/x + V_y (x,y,z)/y + V_z (x,y,z)/z

Teoria della divergenza

∫_Schiusa ∇^**v** **n** dS = ∫_V div ∇^**v** d³x

Appl_ico il T_eor_eia Φ_Schiusa (**E** ) = ∫_Schiusa **E** **n** dS = q_int/ε₀ = ∫_V ρ(**r**)/ε₀ d³x

div **E** = ρ(**r**)/ε₀ → I Equaz_ion_e di Maxw_ell (Vuoto _Carch_e F_egit_e)

La div_Erg_enza è una quant_ità scal_ar_e che d_et_ermina l_e t_end_enz_a d_ell_e lin_e di fluss_o di un campo v_ettorial_e a confluir_e v_erso una sorg_ent_e o div_erg_er_e (div_erg_er_e) da _esso.

Esempio

≤ R E() = K * n_^̂ = K² > R E() = K/²

1. div (K²̂) = K div (²̂) = 3K = /ε₀ → K= ρ/ε₀ → E()= n̂/3ε₀K div (/²) =

Lavoro di una carica

Utilizzando le definizione esposte in Fisica I si può definire il lavoro di una carica dove _F rappresenta la FORZA DI COULOMB

L_AB = ∫_A^B _F · d_s = ∫_A^B _{Qq r{hat}}/r² · d_s{hat}

Considerando che d_s{hat} = dr₂/r₃ d_s{hat} = dr₂/r₃ d_s{hat} = _r d_l/ r₃ = dr₂/r₂ = d(-1/r)

Allora L_AB = 1/4πε₀ Q_q ∫_Bg/l2 = 1/4πε₀ Q_q(-1/r_B 1/r_A) = U_A - U_B

L'ultima relazione si ottiene perché E_{hat}s è Conservativo

Forza elettromotrice

Definita come il rapporto tra lavoro e unità di carica. Più avanti si vedrà nel dettaglio. Essa è in grado di dare una "spinta" agli elettroni.

∮₉ d_L = ∮_{9 F}d_s{hat} = ∮₉ E_{hat}d_s{hat} = ∮₉ d_U = ∮E_{non cons} d_s = _ε

Potenziale elettrostatico

Pietà già in elettrostatica considerando questa nuova grandezza fisica

V_de = U₉J = VOLT = POTENZIALE ELETTRICO

U(_r{hat})₉ = U(_r{hat})₉ + ∫_r0^r{hat} E_{hat}^T d_s ⇒ V(_r{hat}) = V(_r{hat}) + ∫_r0^r{hat} E_{hat}^T d_s{hat}

Si ricorda che il potenziale V è une grandeza scalare.

Esempio 1

V(\vec{r}) = V(\vec{r_0}) + \int_{r_0}^{r} \vec{E} \cdot \vec{ds} = V(\vec{r_0}) + \int_{r_0}^{r} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r'^2} dr' = = V(\vec{r_0}) - \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} \right) = V(r_0) + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{1}{r_0} \right)

V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}

U(\vec{r}) = qV

Esempio 2

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{d/2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{-d/2}

Il campo elettrico totale: \vec{E} = \sum_{i=1,N} \vec{E_i}

V = V_0 + \int_{r_0}^{r} \left(\sum_{i=1,N} \vec{E_i} \right) \cdot \vec{ds'} = V_0 + \sum_{i=1,N} \left( \int_{r_0}^{r} \vec{E_i} \cdot \vec{ds'} \right)

Se V_0 = 0 \Rightarrow \sum_{i=1,N} V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum \frac{Q_i}{r_i}

Esempio 3

\left| \vec{E} \right| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_+}{(d/2)^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_-}{(d/2)^2}

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_+}{d/2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_-}{-(d/2)} = 0

Esempio 4

Anello dQ = λRdθ λ = Q/ 2πR

Il campo elettrico E = 0 sempre per questioni di simmetria

dV = 1/ 4πε₀ λRdθ = λdθ/ 4πε₀

Integrando V = ∫₀^2π λ/4πε₀ dθ = λ/2ε₀

Svolgendo questo esercizio con dei dati noti: λ = 1 μC/m ⇒ V = 10⁶/2.89 × 10¹² = 56 kV

R = 6 cm d = 8 cm r = √(z² + R²)

V(z) = ∫_R^∞ 1/4πε₀ dQ/z = 1/4πε₀ ∫_R^∞ λRdθ/√(R² + z²) = λR/4πε₀√(R² + z²) |_π = λR/2ε₀√(R² + z²)

Dunque sostituendo: in 0 ⇒ V(0) = 56 kV in d ⇒ V(d) = 34 kV ΔV = 22 kV

Esempio 5

Dat: Q = 1mC R = 9cm SFRA ρ(_r) = ρ = Q / (4πR³/3) (r ≤ R) ρ = 0 (r > R)

SE r ≤ R 4πr²E(r) = (Q / (4πR³/3)) = Qr / (4πε₀R³) ⇒ E(r) = Qr / (4πε₀R³)

SE r > R 4πr²E(r) = Q / ε₀ ⇒ E(r) = Q / (4πε₀r²)

Da queste relazioni posso descrivere l’andamento di E: V

SE r > R V(r) = 1 / (4πε₀) (Q / r)

SE r ≤ R V(r) = V(R) + ∫_R^r E ds = Q / (4πε₀R) + ∫_R^r Qr / (4πε₀R³) = = 1 / (4πε₀) (Q / R + Q / (4πε₀R²) [-1 / 2r²]_R = + ( - ^Q⁄_4πε0R² ) ( ^r⁄₂ - ^r3 ⁄₂ )² + ^Q⁄_4πε0R + ( - ^Q⁄ 4πε₀R² ) ( ^r2 ⁄₂ + ^Qρ1 ⁄_8πε0R¹ ) )= + ( - ^Q⁄_4πε0R ) ( ^R⁄₂ - ^{r2⁄₂ ) + Q⁄_4πε0R ( 3 - r2 ⁄₂₂ )} V ( R ) = ^Q⁄_4πε0R [( 3 - 1 ) - ^Q⁄_4πε0R

Gradiente di V

dV = _∂V⁄_∂x dx + (_∂V⁄_∂y) dy + _∂V⁄_∂z dz

- Eds = - ( E_x dx + E_y dy + E_z dz )

E_x = - _∂V⁄_∂x E_y = - _∂V⁄_∂y E_z = - _∂V⁄_∂z

E = x̂ E_x + ŷ E_y + ẑ E_z = - ( x̂ _∂⁄_∂x + ŷ _∂⁄_∂y + ẑ _∂⁄_∂z) V = - grad V E = - grad V [E = - grad (^U⁄₉ )]

div E = + ^ρ⁄_ε0 = div ( grad V ) = - ( _∂/∂x) ( grad V_x ) + _∂/∂y ( grad V_y ) + _∂/∂z ( grad V_z ))= _{∂² V}⁄_∂x² + ^{∂2 V}⁄_∂y² + ^{∂2 V}⁄_∂z² = - ∇² V

div E = - ∇² V ∇² V = ^ρ⁄_ε0 P ≠ 0 POISSON ρ = 0 LA PLACE

Esempio

Voglio calcolarmi il valore della carica Q.

V(r̲) = αx²α = 10^{5 V}/_m²

E(μ) = 2 KV Q(μ) = 2 ^C/_m²

Parto dalla definizione di E^⃗, ovvero: E^⃗ = - grad V = - (x̂ ∂V/∂x + ŷ ∂V/∂y + ẑ ∂V/∂z)

Ma ∂V/∂x, ad esempio è uguale a: ∂αx²/∂x = α ∂(x²+y²+z²)/∂x = 2αx

Quindi: E^⃗ = - (x̂ 2αx + ŷ 2αy + ẑ 2αz) = - (2 α r̲)

Poiché non conosco le cariche nello spazio, calcoliamo la densità attraverso le seguenti relazioni: ρ/_ε₀ = div E^⃗ = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = (2I-2αx)/∂x + (2I-2αy)/∂y + (2I-2αz)/∂z = -6 α ⇒⇒ -6 α = ρ/ε₀ ⇒ ρ(r̲) = -6 α ε₀ = -5,3 μ ^C/_m³