Teorema di Cauchy
Se Γ ⊂ D ⇒ ∫Γ f(z)dz = 0 non deve recintare un buco di A. In caso l’integrale viene nullo anche se c’è in un giro intorno ad un buco, tranquillo, tutti entro!
Dimostrazione
∫Γ f(z)dz = ∫ab f(x(t),y(t)) - g(x(t), y(t)) dt = ∫ab [u(x(t),y(t)) + i v(x(t),y(t))][x′(t) + i y′(t)] dt = ∫Γ [u x′ - v y′] + i [u y′ + v x′] dt = ∫Γ (u dx - v dy) + i∫Γ v dx + u dy = ∫∫D (Vx + uy) dx dy + i ∫∫D Vx - uy dx dy.
Corollario
Se f è olomorfa e se A è semplicemente connesso ⇒ ∫ φ annullati minimali.
Teorema di Cauchy
∮γ: A ⊆ C ⇒ f olomorfa A connesso ∀ γ chiusa ⊆ A ⇒ ∃ D ⊆ A γ=∂D ⇒ ∮γ f(z) dz = 0.
Immagine: Sottotitolo: non deve presentare buchi di A. In caso l'integrale viene nullo anche se vai in un giro intorno ad un buco, tranquillo, tutti zeri!
Dimostrazione
∮γ φ(z) dz = ∫ab φ(x(t), y(t)) • φ'(x(t), y(t)) dt = ∫ab [u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t))] • [x'(t) + i y'(t)] dt = ∫γ (u x' − v y') + i (uy' + v x') dt = ∫γ (u dx − v dy) + i ∫γ v dx + u dy = GG = ∬D (Vx + uy) dx dy + i ∬D Vx - V dx dy ⇒ (CR 2) φ(z) = (u(x,y) + i v(x,y)) y(t) = (x(t), y(t)).
Corollario
Se φ è olomorfa e se A è semplicemente connesso ⇒ ∮ f annullato primitiva. Il teorema di Cauchy vale anche se δ=δ1∪δ2 => ∮δ1 φ = ∮δ2 φ ∮δ2 1/z = 2πi.
Formula integrale di Cauchy
φ(z0) = 1/2πi ∮ φ(z) / (z - z0) dz ∀ φ che circonda z0. Il valore di φ in un punto viene deciso dalla curva che gli gira intorno.
∮ ez/(z2-5) dz = { 0 se φ non circonda 5, 2πi · e5 se φ circonda 5.
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