Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy

Enunciato:

Supponiamo \( f(x), g(x) \) due funzioni continue in \([a, b]\) e derivabili in \( (a, b) \).

Se \( g'(x) \neq 0 \) per ogni \( x \in (a, b) \), esiste un punto \( x_0 \in (a, b) \) tale che

\[ \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]

Hp:

1. \( f(x), g(x) \) continue in \([a, b]\)
2. \( f(x), g(x) \) derivabili in \( ]a, b[ \)
3. \( g'(x) \neq 0 \quad \forall x \in ]a, b[ \)

Ts:

\(\exists x_0 \in ]a, b[, \quad \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

La dimostrazione consiste nel creare una funzione ausiliaria che soddisfi le tesi del teorema di Rolle:

3) \( f(c) = f(b) \)

La funzione viene chiamata \( S(x) \) ed è definita come:

\( S(x) = f(x) - k g(x) \)

Naturalmente \( f(x) \) e \( g(x) \) soddisfano le ipotesi 1) e 2) di Cauchy, creando questa funzione ausiliaria bisogna fare in modo che essa soddisfi le 3 ipotesi di Rolle, e tramite il teorema di Rolle verrà dimostrato Cauchy.

In particolare bisogna fare in modo che \( S(a) = S(b) \)

• \( S(a) = f(a) - k g(a) \)
• \( S(b) = f(b) - k g(b) \)

\( \Rightarrow \quad f(a) - k g(a) = f(b) - k g(b) \)

\( k g(b) - k g(a) = f(b) - f(a) \)