Teorema di Bolzano Weierstrass

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Il teorema ha 2 enunciati differenti ma il concetto è equivalente.

1. Ogni insieme E ⊆ ℝ limitato e infinito (cioè con infiniti punti) ha almeno un punto di accumulazione
2. Ogni successione reale limitata possiede almeno una sottosuccessione (o successione estratta) convergente.

Dimostrazione del teorema n° 1

Dim.

Dato che l'insieme E è limitato esistano e e b tali che E ⊆ [c,b]

e si divide E in 2 intervalli di uguali dimensioni

[^a+1⁄₂,b], [^a+1⁄₂,^b]

in almeno uno dei 2 intervalli si avranno infiniti punti di E.

Chiamiamo tale intervallo (per esempio, [e₁, a+1]), otteniamo così degli intervalli [e₁, b₂] ecc.

Per rendere meglio l'idea, sono costruiti così:

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Il teorema ha 2 enunciati differenti ma il concetto è equivalente.

1. Ogni insieme E⊆ℝ limitato e infinito (cioè con infiniti punti) ha almeno un punto di accumulazione.
2. Ogni successione reale limitata, possiede almeno una sottosuccessione (o successione estratta) convergente.

Dimostrazione il teorema n° 1

Dim:

Dato che l’insieme E è limitato esistano e e b tali che E⊆[e,b] se si divide E in 2 intervalli di uguali dimensioni [e, (e+b)/2] e [(e+b)/2, b], in almeno uno dei 2 intervalli ci saranno infiniti punti di E.

Chiamiamo tale intervallo (per esempio, [e, (e+b)/2] = [e₁, b₁] e ripetiamo l'operazione precedente cioè lo dividiamo ancora in 2 parti uguali ottenendo così altri intervalli [e₁, (e₁+b₁)/2] e [(e₁+b₁)/2, b₁], come prima uno dei due deve contenere infiniti punti di E, supponiamo che sia il primo, lo rinominiamo e lo chiamiamo [e₂, b₂] eseguiamo nuovamente tale operazione ottenendo così degli intervalli … [e₃, b₃], [e₄, b₄], [e₅, b₅], ecc. ognuno contenuto nel precedente e lungo la metà di questo, in ciascuno dei quali cadono infiniti punti di E.

Per rendere meglio l'idea, sono costruiti così:

Allora consideriamo la successione così:

A = {e₁, e₂, e₃, e₄, ..., e_m, ...}

B = {b₁, b₂, b₃, b₄, ..., b_m, ...}

→ cioè gli insiemi formati rispettivamente dai primi e dai secondi estremi

Poniamo adesso metterli in ordine in questo modo

e₁ ≤ e₂ ≤ e_k ≤ e_i ≤ ... ≤ e_n ≤ ...

b₁ ≥ b₂ ≥ b₃ ≥ b₄ ≥ ... ≥ b_m ≥ ...

Come possiamo vedere tutti gli estremi a_i ≤ e_n sono uguali questo perchè la scelta dell'intervallo e l'ordinazione (io ho scelto sempre il contatto, ma se avessi scelto il tratto in qualche occasione voleva la relazione di < stratto, quando per convenzione si sceglie il ≤ lo stesso vale anche per i b₁, b_n).

Se adesso scegliamo un elemento di A e uno di B che chiamiamo rispettivamente e_k = b_j avremo che

e_k ≤ e_n ≤ b_n ≤ b_j

[copiare: se m fosse stato i e k = z ed x = 3 (blari casuali) avremmo avutoe₁ ≤ e_z ≤ e_x ≤ b_j]

Il numero b_j è esattamente un maggiorante per A e dunque

sup A ≤ inf B

Per la definizione di estremo superiore si ha che sup A ≤ e_m e inf B ≤ b_n cosicchè

0 ≤ inf B ≤ sup A ≤ b_m = b_σ = b_a e questo segue immediatamente che inf B = sup A = δ che è un punto di accumulazione per ∈.

Nota.

P.to di accumulazione

Un punto si dice di accumulazione per un insieme di punti se comunque io scelga intorno esso contiene sempre almeno un punto dell'insieme diverso dal nostro punto.

Vedremo perché δ ≠ di accumulazione

Per vedere ciò consideriamo un arbitrario intervallo I(β, ω) (intorno di cui esiste δ e raggio r) e facciamo vedere che esso contiene infiniti punti di ℇ

Poiché ℇ è contenuto in ciascuno degli intervalli [a_n b_n]

bisogna prendere n intero m in modo che 2^m > ^b-e/_π e cioè

facendo b - e otteniamo il numero di intervalli di raggio π che ci possono fare in b - e, se π fosse 2 o ^b-e/₂ = ¹⁰/₂ = 5, significa che

posso fare 5 intervalli di raggio 2 in b - e

Quindi se 2^m b - e e cioè 2^m > ^b-e/_π

Se ^b-e/_π è più piccolo di 2^m significa che più grande è m, più piccolo sarà π perché m indica il numero di divisioni quindi

se l'ampiezza b - e è divisa in tante parti, più sono tante e più piccole sono l'ampiezza di ciascuna di esse.

Quindi più è grande è m, più sarà sufficiente trovare e coprire n - esimo intervallino, incrementando m, diminuendo π.