Teorema di Bernoulli, Idraulica

Teorema di Bernoulli

• Correnti gradualmente variate
• Teorema di Bernoulli
• Interpretazione geometrica ed energetica
• Applicazioni notevoli
• Estensione al moto vario
• Estensione ai fluidi reali
• Estensione ad una corrente
• Coefficiente di ragguaglio
• Scambio di energia tra una corrente ed una macchina idraulica
• Teorema di Bernoulli per i fluidi comprimibili

Teorema di Bernoulli restituisce che

conservazione dell'energia meccanica in un sistema chiuso

Riprendiamo l'equazione indefinita della dinamica, particolarizzata ad un

fluido perfetto: "Equazioni di Eulero"

ρ ( ^F⁄_A ) = grad P

Facciamo semplificazione a questa equazione:

Supponiamo che il fluido sia pesante, quindi la forza coincide con la gravità F = g

Poi supponiamo asse z verticale e

verso verso l'alto → F = -g grad z

Ammettiamo che il fluido sia incomprimibile → ρ = costante

Quindi le 3 ipotesi sono: fluido perfetto, pesante, incomprimibile

Possiamo sviluppare la nostra espressione ed otteniamo

P = ρg z grad P

^αP_F = ^αP_A = grad P

al posto di ^αF possiamo sostituire - g grad z

- ρg grad z ^αA = grad P

dividiamo tutto per ρg, che sappiamo essere uguale a γ, quindi

- grad z ^αA = ¹/_ρg grad P

- grad z - ^αA_γ = ¹/_γ grad P

SFRUTTIAMO l'ipotesi di fluido INCOMPRIMIBILE

- grad z - ¹/_g d^{αV/dt = 1/_γ grad P}

grad (^{z + P}/_γ) = - ¹/_g d^αV/dt

Consideriamo una traiettoria

b

t

Possiamo definire la terna

intrinseca alla traiettoria

formata da:

1. vettore tangente alla curva

2. vettore normale

3. vettore binormale

e normale sia a

t che a n.

Nel caso di traiettorie cabrate e parallele:

_{PA PB}

---------- = ---------- = costante

δ δ

Questa LEGGE la possiamo estendere ad una CORRENTE - se e solo se la trubazione e' rettilinea, dove la varie traiettorie sono rettilinee e parallele.

Quando c'e' una curvatura cosa succede?

Le quote piezometriche diminuiscono lungo la NORMALE

La normale e' orientata sempre verso il centro di curvatura, quindi verso la concavita'.

Come disegno le diagramma delle pressioni?

Prendo la terra di sponda (intersezione tra il piano della figura e il piano della carte bidustriale), dalla retta di sponda tiro la linea delle pressioni.

Allora, questo punto (elemento di fluido) ha una sua energia potenziale che deriva dal fatto di avere una quota z, e sarà pari al peso del volume fluido per z, ma può avere una energia potenziale legata al fatto di avere una pressione p, perché questa pressione p lo può portare in alto di un'ulteriore quantità pari a _p/^γ.

Quindi alla sua quota geometrica z devo aggiungere la sua altezza piezometrica _p/^γ.

A questo punto possiamo tornare ad analizzare il nostro teorema di Bernoulli:

H = z + _p/^γ + _v²/^2g

Con riferimento all'unità di peso del fluido si ha:

Quando vale l'energia POTENZIALE?

ɛ_p = m·g·z = ₁/^g · g · z = z

...e l'energia potenziale dell'unità di peso.

Energia potenziale dovuta alla PRESSIONE:

ɛ_press = m·g·_p/^γ = ₁/^g · g · _p/^γ = _p/^γ

...energia di pressione per unità di peso.

Energia CINETICA:

ɛ_c = ₁/²mv² = ₁/² · ₁/^gv² = _v²/^2g

...energia cinetica per unità di peso.

Prendiamo un piano orizzontale e diciamo che z = 0. Chiamiamo h un piano che giace nella luce, che si chiama Battente, e supponiamo che questo serbatoio sia di grandissima capacità, oppure che qualcuno impugni l'acqua davanti. Cioè supponiamo che:

h = costante

Abbiamo necessità di svincolarci dalle variazioni temporali, perché l'applicabilità del teorema di Bernoulli è allo stato attuale limitata al modo permanente.

Se la luce è sagomata a spigolo vivo, le traiettorie più esterne devono una netta curva e poi troveranno una sezione.

x nella quale dopo aver effettuato questa netta curvatura per distaccarsi dai bordi a lama di coltello della nostra luce, si dispo- ranno SENSIBILMENTE PARALLELE.

Questa sezione è dove le nostre traiettorie si dispongono sensibilmente parallele, distanti a una distanza S₁ rispetto all'ughe della luce.

A questo punto, noi possiamo individuare un punto A, sufficientem- lontano dalla luce, e possiamo individuare un punto B che seppor- rera sezione CONTRATTA.

Chiamiamo sezione CONTRATTA: la prima sezione nella quale i filoni di fluido si dispongono sensibilmente paralleli, scalzato. La contrazione deriva dal fatto che le traiettorie più esterne si staccano nettamente dal piano sagomato e hanno una netta curvatura per poi disporsi parallelamente.

PROCESSO DI EFFLUSSO DA UNA LUCE IN PARETE VERTICALE

Vogliamo calcolare la portata che fuoriesce.

Se apro una paratoia a spigolo vivo, avrò la formazione a valle di una sezione contratta, cioè la prima sezione dove le rette si dispongono sensibilmente parallele.

Scegliamo 2 punti, uno piuttosto lontano e l'altro nel bel mezzo della sezione contratta.

Scriviamo il teorema di Bernoulli in riferimento alla traiettoria AB. (Eh sì Bernoulli si serve in queste traiettorie!!!)

Z_A + _PA/_δ + ^V_A2/_2g = Z_B + _PB/_δ + ^V_B2/_2g

Per il punto A è privo di velocità perché piuttosto lontano dal punto in cui l'acqua fuoriesce al di sotto della nostra paratoia. Quindi ^V_A2/_2g = 0

Per il punto B appartiene alla sezione contratta, ha una Z_B, ha una velocità e ha anche una PRESSIONE. La distribuzione è idrostatica, tuttavia non vuol dire che la pressione è nulla.

Tuttavia non è così immediato nel caso di una sezione verticale

Perché è vero che _P

_θ = costante. Però non è vero che Z sia costante

per i fari suoi.

Ragionamento più intuitivo è che nuovamente, se io guardo questa

sezione da fronte, io possa ragionare piano per piano su tutti i

piani orizzontali e dire che c’è l'eq dapper tutto =>

lo so quindi in ogni caso _Ps = 0.

A differenza delle altre volte troviamo la velocità del punto B, perché

in questa espressione compare esplicita, ne è la quota del punto B.

_VB = √2g (_h - _zB)

L’andamento delle velocità è PARABOLICO

Se la luce è una luce piccola io posso andare a prendere una velocità

media nella seziona , nel banchetto della luce.

Vogliamo calcolare la portata (_Q = v * A) ma v è la velocità in

questo caso non è costante, ma è variabile, quindi in teoria

dovrei procedere con l’integrazione della velocità sulla sezione.

Q = ∫^A√2gh_{z dz}

Se voglio evitare questa integrazione

Se la sezione contratta è abbastanza piccola, perché la luce che la

genera è piccola, posso confondere questo andamento con una

costante e dire che la velocità media.

velocità torricelliana vt = √2gh _g, posso ricavare allo velocità nel

e quindi dire che Q = μA √2gh_g.