Teorema di Bernoulli, Idraulica

Teorema di Bernoulli

Correnti quasi uniformemente variate

Il teorema di Bernoulli è l'unione che conserva l'energia meccanica in un sistema chiuso. Riprendiamo l'equazione indefinita della dinamica, parzializzata ad un fluido perfetto: "Equazioni di Eulero" _ρ(_F - _A) = grad P. Facciamo semplificazione a questa equazione. Supponiamo che il fluido sia pesante, quindi la forza coincide con la gravità F = g. Poi supponiamo asse Z verticale e rivolto verso il basso → F = -g grad z. Ammesso anche che il fluido sia incomprimibile → ρ = Costante. Quindi le 3 ipotesi sono: fluido perfetto, pesante, incomprimibile. Possiamo sviluppare la nostra espressione ed otteniamo.

Interpretazione geometrica ed energetica

Per interpretare il teorema di Bernoulli, consideriamo una traiettoria. Possiamo definire la terna intrinseca alla traiettoria formata da: vettore tangente alla t traiettoria, vettore normale e vettore binormale. Il vettore binormale è normale sia a t che a n. Quindi, su una traiettoria è possibile stabilire un sistema di riferimento locale che si chiama terna intrinseca alla traiettoria e che è costituito dal vettore tangente t, dal vettore normale n e dal vettore binormale b.

Applicazioni notevoli

Le applicazioni del teorema di Bernoulli comprendono l'estensione ai moti vari, l'estensione ai fluidi reali e l'estensione ad una corrente. Inoltre, vi è il coefficiente di regolaggio e lo scambio d'energia tra una corrente ed una macchina idraulica.

Estensione al moto vario

Possiamo estendere il teorema di Bernoulli a fluidi comprimibili, considerando l'ipotesi che conservazione dell'energia meccanica in un sistema chiuso sia valida. Riprendiamo l'equazione indeterminata della dinamica particolarizzata ad un fluido perfetto "equazioni di Eulero" _ρ(→F - ↑A) = grad P.

Estensione ai fluidi reali

Facciamo semplificazione a questa equazione: supponiamo che il fluido sia pesante, quindi la forza coincide con la gravità F = g. Supponiamo asse z verticale e rivolto verso l'alto → F = -g grad z. Ammettiamo che il fluido sia incomprimibile → ρ = costante. Quindi le 3 ipotesi sono: fluido perfetto, pesante, incomprimibile.

Estensione ad una corrente

Possiamo sviluppare la nostra espressione ed otteniamo:

• -F - ρA = grad P
• Al posto di F possiamo sostituire -grad z
• -ρg grad z - ρA = grad P

Dividiamo tutto per ρ_g che sappiamo essere uguale a γ, quindi:

• -grad z - A/ρ_g = 1/ρ_g grad P
• -grad z - A/γ = 1/γ grad P

Coefficiente di ragguaglio

Sfruttiamo l'ipotesi di fluido incomprimibile → ρ = costante, quindi:

• -grad z - 1/γ dV/dt = 1/γ grad P

Scambio di energia tra una corrente idraulica

Grad (z + P/γ) = -1/g dV/dt. Posso proiettare questa equazione vettoriale lungo la terna intrinseca alla traiettoria e quindi otteniamo 3 equazioni scalari:

1. ∂/∂s (z + P/γ) = -1/g dv/dt
2. ∂/∂n (z + P/γ) = -1/g v²/R
3. ∂/∂b (z + P/γ) = 0

La prima è la derivata lungo l'asse s (V. il modulo della velocità). La seconda è la derivata lungo la normale, dove abbiamo l'accelerazione centrifuga che vale v²/R. Lungo la binormale, invece, l'accelerazione non ha componenti. Abbiamo ottenuto 3 equazioni scalari: la prima relativa alla traiettoria, la seconda relativa alla normale, la terza alla binormale.

V.T di Bernoulli per i fluidi comprimibili

Discuteremo con grande dettaglio della prima equazione, che è conduttiva al teorema di Bernoulli. Però, prima discutiamo delle altre e iniziamo l'argomento che ci porterà alle correnti gradualmente variate. Lo studio e la definizione delle correnti gradualmente variate parte dall'analisi del sistema delle due equazioni: ∂/∂n (z + P/γ) = -1/g v²/R.

Cosa dice questa equazione?

Dice che lungo il piano normale alla traiettoria, nonostante a sua una velocità, la distribuzione delle quote piezometriche lungo la binormale è una distribuzione di tipo idrostatico. Cioè, lungo la binormale vale l'equazione trovata per l'idrostatica: z + _p/_δ = costante. Non è scontato perché adesso il fluido sta muovendo.